2021届福建省名校联盟优质校高三大联考数学试题及答案

这是一份2021届福建省名校联盟优质校高三大联考数学试题及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三大联考数学试题
一、单项选择题
1.集合 ，那么 〔    〕
A.                       B.                       C.                       D. 
2.假设 (其中 为虚数单位)，那么复数 的共轭复数在复平面内对应的点位于〔    〕
A. 第一象限                           B. 第二象限                           C. 第三象限                           D. 第四象限
3. 是第四象限的角， ，那么 〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
4.一些二次曲面常常用于现代建筑的设计中，常用的二次曲面有球面､椭球面､单叶双曲面和双曲抛物面､比方，中心在原点的椭球面的方程为 ，中国国家大剧院就用到了椭球面的形状(如图 )，假设某建筑准备采用半椭球面设计(如图 )，半椭球面方程为 ，该建筑设计图纸的比例(长度比)为 (单位： )，那么该建筑的占地面积为〔    〕

A.                         B.                         C.                         D. 
5.假设 ，那么以下各式中一定成立的是〔    〕
A.               B.               C.               D. 且
6. 是平面向量，满足 ，且 ，记 与 的夹角为 ，那么 的最小值是〔    〕
A.                                      B.                                      C.                                      D. 
7.投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)〞.每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得1分.投入壶耳一次得2分，现有甲､乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口､壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为 ，投中壶耳的概率为 .四支箭投完，以得分多者赢请问乙赢得这局比赛的概率为〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
8.定义 在上的函数 ，其导函数为 ，假设 ，且当 时， ，那么不等式 的解集为〔    〕
A.                         B.                         C.                         D. 
二、多项选择题
9.直线 与双曲线 无公共点，那么双曲线离心率可能为〔    〕
A. 1                                        B.                                         C.                                         D. 
10.以下说法正确的选项是〔    〕
A. 设 ，那么“ 〞是“ 且 〞的必要不充分条件
B. 是“ 〞的充要条件
C. “ 〞是“ 〞成立的充要条件
D. 设 ，那么 “ 〞是“ 〞的充分而不必要条件
11.函数 ，以下结论正确的选项是〔    〕
A. 的最小正周期为                                       B. 函数 的图象关于直线 对称.
C. 函数 在 上单调递增                      D. 方程 在 上有7个不同的实根
12.如下列图，在棱长为 的正方体 中，过对角线 的一个平面交棱 于点 ，交棱 于点 ，得四边形 ，在以下结论中，正确的选项是〔    〕

A. 四边形 有可能是梯形
B. 四边形 在底面 内的投影一定是正方形
C. 四边形 有可能垂直于平面
D. 四边形 面积的最小值为
三、填空题
13.春节文艺汇演中需要将 六个节目进行排序，假设 两个节目必须相邻，且都不能排在3号位置，那么不同的排序方式有________种.(用数字作答)
14.数列 的前 项和为 ，那么数列 的通项公式为________.
15.假设函数 称为“准奇函数〞，那么必存在常数 ，使得对定义域内的任意 值，均有 ，请写出一个 的“准奇函数〞(填写解析式)：________.
16.不过原点的动直线 交抛物线 于 两点， 为坐标原点，且 ，假设 的面积的最小值为 ，那么 ________；直线 过定点，该定点的坐标为________.
四、解答题
17. 为等差数列， 为等比数列， 的前 项和为 ，且 ，
，
〔1〕求数列 ， 的通项公式；
〔2〕设 ， 为数列 的前 项和，求 .
18.在① ，② ，③ 三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解决该问题.
问题： 的内角 及其对边 ，假设 ，且满足___________.求 的面积的最大值(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
19.2021年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了?中华人民共和国民法典?，自2021年1月1日起施行.?中华人民共和国民法典?被称为“社会生活的百科全书〞，是新中国第-部以法典命名的法律，在法律体系中居于根底性地位，也是市场经济的根本法，为了增强学生的法律意识，了解法律知识，某校组织全校学生进行学习?中华人民共和国民法典?知识竞赛，从中随机抽取100名学生的成绩(单位：分)统计得到如下表格：
成绩
性别





男
5
14
16
13
4
女
3
11
13
15
6
规定成绩在 内的学生获优秀奖.
附：









〔1〕根据以上成绩统计，判断是否有 的把握认为该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别有关？
〔2〕在抽取的100名学生中，假设从获优秀奖的学生中随机抽取3人进行座谈，记 为抽到获优秀奖的女生人数，求 的分布列和数学期望.
20.如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ， ， ， ，点 是 的中点.

〔1〕求证： 平面 ；
〔2〕线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，假设存在，求出的 值，假设不存在，请说明理由.
21.椭圆 的离心率 ， 在 上.

〔1〕求椭圆 的标准方程；
〔2〕设为短轴端点，过 作直线 交椭圆 于 两点(异于 )，直线 交于点 .求证：点 恒在一定直线上.
22.函数 .
〔1〕假设 轴为曲线 的切线，试求实数 的值；
〔2〕 ，假设对任意实数 ，均有 ，求 的取值范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解不等式 得 ，
所以 ；
解不等式 得 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：C.

【分析】根据题意与一元二次不等式的解法求出集合A再由并集的定义即可得出答案。
2.【解析】【解答】解析：由 可得 ，
所以 的的共轭复数 ，根据复数的几何意义可知， 在复平面内对应的点为 ，位于第四象限.
故答案为：D

【分析】根据题意由复数的运算性质化简整理再由共轭复数的定义结合复数的几何意义即可得出答案。
3.【解析】【解答】因为 是第四象限的角，所以 ，
那么 .
故答案为：B.

【分析】首先与同角三角函数的平方关系结合角的取值范围即可求出sin的值，再由同角三角函数的商数关系代入数值计算出结果即可。
4.【解析】【解答】解析：求占地面积即求半椭球面的底面积，令 可得 ；
令 可得 ，
所以该半椭球面的底面是一个半径为 的圆，建筑时选的半径为 米那么建筑的占地面积为 平方米.
故答案为：D

【分析】根据题意结合条件建立空间直角坐标系，求出点的坐标由此求出半椭球面的半径，再结合半椭球的面积公式代入数值计算出结果即可。
5.【解析】【解答】解析：指数函数 在 上是单调递减的，
由 可知， .
所以 ，那么 .C符合题意；
，但不一定有 ，
那么不一定有 ，故 错误；
函数 在 上是单调递增的， .
那么 ，故 错误；
当 时，函数 在 上单调递减，
那么 .故 错误.
故答案为：C

【分析】根据题意与对数函数和指数函数的单调性以及不等式的根本性质对选项逐一判断即可得出答案。
6.【解析】【解答】由 得， ，所以 .
那么
令函数 ，因为 在 上单调递减.
又因为 ，故当 时， 取得最小值，最小值为 .
故答案为：B

【分析】由向量和数量积的运算性质结合题意整理即可得出构造函数结合函数的单调性由函数的单调性即可求出最值。
7.【解析】【解答】由题意，假设乙要赢得这局比赛，按照乙第三支箭的情况可分为两类：
〔1〕第三支箭投中壶口，第四支箭必须投入表耳，其概率为 ；
〔2〕第三支箭投入壶耳，第四支箭投入壶口､壶耳均可，其概率为 ，
所以乙赢得这局比赛的概率为 .
故答案为：A.

【分析】根据题意分2种情况讨论：①乙的第三支箭投中壶口，第四支箭必须投中壶耳，②乙的第三支箭投中壶耳，第四支箭投中壶口、壶耳均可，求出每种情况的概率，由互斥事件的概率公式计算可得答案．
8.【解析】【解答】令 ，那么 .
又由 ，所以 .
故 ，即 为定义在 上的偶函数；
当 时， ，所以 在 上单调递增，
又因为 为偶函数，故 在 单调递减，
由 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
故答案为：D.

【分析】 根据题意令g(x)=f(x)+sinx,根据条件判断g(x)的单调性和奇偶性,进一步得到,再解出不等式即可。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】双曲线的一条渐近线为 ，因为直线 与双曲线无公共点，故有 .
即 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：BC.

【分析】根据题意由双曲线的性质结合条件即可得出a与b的关系再由双曲线里的 a、b 、c 三者的关系由整体思想，即可求出离心率的取值范围。
10.【解析】【解答】对于A，当 且 时，可推出 且 时，即 成立，反之，当 时，例 满足条件，即不能推出 且 ，故 是 且 的必要不充分条件，A符合题意；
对于B，由 可得 ，反之， 不一定得 ，如 也满足 ，故 是 的充分不必要条件，B不符合题意；
对于C，当 时，满足 ，但 ，反之，假设 ，那么 ，故 是 成立的必要不充分条件，C不符合题意；
对于D，由 ，得 ，故 ，反之，由 ，得 ，推不出 ，故 是 的充分而不必要条件，D符合题意.
故答案为：AD

【分析】利用不等式的性质结合充分必要条件的定义即可判断出选项A与C，由余弦函数的定义结合角的取值范围即可判断出选项B错误；结合绝对值不等式的解法以及正弦函数的图象和性质，整理化简原式再由充分必要条件的定义即可判断出选项D正确；由此得出答案。
11.【解析】【解答】由题意，函数 ，
作出 在 上的图象，
将 的图象向下平移1个单位可得到 的图象，
将所得图象在 轴下方的局部沿 轴翻折，
如下列图，由图可知 的最小正周期为 ，故 正确；

曲线 关于直线 对称，故 正确；
函数 在 上单调递减，那么 错误；
方程 在 上有7个不同的实根，所以 正确.
故答案为：ABD.

【分析】根据题意化简函数f(x)的解析式作出函数的图象，结合正弦函数的图象对选项逐一判断即可得出答案。
12.【解析】【解答】过 作平面与正方体 的截面为四边形 ，

如下列图，因为平面 平面 ，且平面 平面 .
平面 平面 ，因此，同理 ，
故四边形 为平行四边形，因此A不符合题意；
对于B，四边形 在底面 内的投影一定是正方形 ，因此B符合题意；
对于C，当点 分别为 的中点时， 平面 ，又 平面 ，那么平面 平面 ，因此C符合题意；
对于D，当 点到线段 的距离最小时，此时平行四边形 的面积最小，此时点 分别为 的中点，此时最小值为 ，因此D符合题意.
故答案为：BCD

【分析】由题意和线面平行与垂直，面面平行与垂直的判定和性质，对每一选项进行分析即可．
三、填空题
13.【解析】【解答】将 捆绑，先确定 的位置，有 种可能，
再将剩余节目进行排序，有 种可能，
所以不同的排序方式共有 种.
故答案为：144.
【分析】根据题意由排列组合的定义结合条件计算出结果即可。
14.【解析】【解答】由 ，可得当 时， ，
那么 ，即 ，故 ，
所以 .
当 满足 .
故数列 的通项公式为 .
故答案为：

【分析】首先由数列前n项和公式以及定义求出数列的通项公式即可。
15.【解析】【解答】解析：由 ，知“准奇函数〞 的图象关于点 对称，假设 ，即 图像关于点 对称，如 向右平移两个单位，向上平移两个单位，得到 ，故其图象就关于点 对称.
故答案为： (答案不唯一)

【分析】根据题意由f〔x〕+f〔2a-x〕=2b，可得“准奇函数〞f〔x〕的图像关于点〔a，b〕对称，所有关于点〔2，2〕中心对称的函数均满足题意．
16.【解析】【解答】设直线与抛物线交于 两点， ，
因为 ，可得 ，
即 ，可得 ，
可得 ，所以 ，得到 ，
设 ，代入抛物线 中，可得方程 ，
由韦达定理得 ，所以 ，
所以面积
，当且仅当 时，等号成立，即 ，解得 ，
所以 ，此时直线 过定点〔0,8〕.

【分析】根据题意设出两个点的坐标再由直线与抛物线相交的性质结合韦达定理即可得到两根之和与两根之积关于m、p的关系式，结合三角形的面积公式结合根本不等式求出最小值即可。
四、解答题
17.【解析】【分析】(1)根据题意由等差数列和等比数列的通项公式整理条件，即可得到关于公比和公差的方程组求解出结果即可得出数列的通项公式。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，再由错位相减法即可得出答案。
18.【解析】【分析】根据题意分别选择条件 ① ② ③ ，利用正弦定理和余弦定理整理化简即可得到关于a与b的代数式，并把关系式代入到余弦定理由此求出sinA,再由三角形的内角公式结合二次函数的性质即可求出最值。
19.【解析】【分析】(1)由条件的图表中的数据结合观测值的公式计算出结果，再与标准值进行比较即可得出结果。
(2)根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。
20.【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线由三角形内的几何计算关系求出边的大小，再由余弦定理以及勾股定理代入数值计算出垂直关系，再由线面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到夹角的余弦值再由同角三角函数的平方关系整理即可得到关于的方程求解出的值即可。

 
21.【解析】【分析】(1)根据题意由点在椭圆上把点的坐标代入到椭圆的方程再结合椭圆里a、b、c的关系计算出a、b、c的值由此得到椭圆的方程。
(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，再由斜率的坐标公式代入计算出结果由此即可判断出点T在直线上。

 
22.【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，再由曲线与x轴相切的性质整理即可得出令代入计算出m的值即可。
(2)首先由导函数的正负情况得出函数的单调性，构造函数整理条件得到
再由二次函数的性质结合题意恒成立，由根本不等式即可求出m的取值范围。