广东省广州市2020-2021学年高二下学期期中数学试题（word版 含答案）

2021广州市高二下期中考试

数学试卷

本试卷分选择题和非选择题两部分，共四大题22小题，共4页，满分150分，考试用时120分钟．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知，复数（i是虚数单位），则的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

2．4名同学分别报名参加学校的手工、绘画、机器人设计三个校本课程，每人限报其中一个课程，不同报法的种数是（    ）

A．81    B．64    C．24    D．16

3．已知10件产品中，有7件合格品，3件次品，若从中任意抽取5件产品进行检查，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有（    ）

A．35种    B．38种    C．105种    D．630种

4．曲线在处的切线如图所示，则（    ）

A．0    B．    C．1    D．

5．函数的导数是（    ）

A．     B．

C．    D．

6．有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（    ）

A．144    B．216    C．288    D．432

7．已知二项式展开式中项的系数为112．其中，则此二项式展开式中各项系数之和是（    ）

A．    B．1或    C．    D．1或

8．己知定义域为R的命函数的导函数为，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系正确的是（    ）

A．    B．    C．    D．

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）

9．已知的展开式中第5项与第7项的三项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（    ）

A．展开式中存在常数项                      B．展开式中第6项的系数最大

C．展开式中奇数项的二项式系数和为256       D．展开式中含项的系数为45

10．若复数z满足（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（    ）

A．              B．z的实部是2

C．z的虚部是1           D．复数在复平面内对应的点在第一象限

11．对于函数，下列说法正确的是（    ）

A．在上单调递减    B．有极小值e    C．有最小值e    D．无最大值

12．若函数在上有最大值，则a的取值可能为（    ）

A．    B．    C．    D．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．已知复数是纯虚数（i是虚数单位），则实数a的值为____________．

14．展开式中常数项为_________．

15．现有标号为①，②，③，④，⑤的5件不同新产品，要放到三个不同的机构进行测试，每件产品只能放到一个机构里．机构A，B各负责一个产品，机构C负责余下的三个产品，其中产品①不在A机构测试的情况有________种（结果用具体数字表示）．

16．已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为_________．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分10分）

已知函数．

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）试判断函数的单调性，并求出极值点与极值；

18．（本小题满分12分）

从下列三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．

①  ②  ③

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足条件_________

（1）求角B的大小；

（2）若，求b的值．

（注：第一问多种选择作答按照第一种选择解答判分）

19．（本小题满分12分）

若数列的前n项和．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

20．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若，求函数在区间的最值；

（2）若恰有三个零点，求a的取值范围．

21．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

22．（本小题满分12分）

已知．

（1）求的单调区间；

（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围．

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

7．解：展开式的通项为．

令，∴．∴，∴．

当时，令，则展开式系数和为．

当时，令，则展开式系数和为．故选：B．

8．利用定义域为R的奇函数，设，∴为R上的偶函数，

．∵当时，，

∴当时，．当时，，

即在单调递增，在单调递减．

，，

，∵，

∴，即．故选C．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．

9．解：由第5项与第7项的二项数系数相等可知，解得，

又展开式的各项系数之和为1024，则，，解得，

则的通项为：，

对于A，令，得，即的展开式中的常数项为第9项．

对于B，因为的展开式通项为，所以的展开式中项的系数最大即二项式系数最大，二项式系数最大为，故为第6项，所以B正确；

对于C，的展开式中二项式系数之和为，所以展开式中奇数项的二项式系数和为，所以C错误；对于D，令得，所以展开式中含项的系数为．所以D正确．故选ABD．

11．解：由题意可得函数的定义城为或，，

∴当时，，单调递增，

当或时，，单调递减，

∴的单调递减区间为，，故A错误；∵时单调递增，故无最大值，故D正确：当时取得极小值，其极小值为，无极大值．故B正确；

又当时，当时，，无最小值，故C错误．故选BD．

12．解：令，得，，

当时，；当或时，，

则的单调递增区间为，，单调递减区间为，

从而在处取得极大值为，由，得，

解得或，又在上有最大值，

所以，解得，结合选项可知，a的取值可能为．故选：ABC．

三、填空题

13．    14．    5．16    16．

13．∵复数是纯虚数，且，∴，解得．

15．解：根据题意，产品①不在A机构测试，则产品①必须在B机构或者C机构测试，

若产品①在B机构检测，有种情况，若产品①在C机构检测，有种情况，

则一共有种情况，故答案为：16．

16．解：构造，则，

所以是R上的单调减函数，又因为，，，

所以不等式可化为，由函数单调递减可得，

故不等式的解集为．

四、解答题

17．解：（1）由题可知：；所以：；

∴函数在点处的切线方程为：即，       4分

（2）因为函数的定义域，且；令，得，列表如下：

因此函数单调增区间是，单调减区间是；极值点为e，极大值为，无极小值．      10分

18．解：（1）选①，∵，∴，

∵，∴，∴，∵，∴，     6分

选②，∵，∴，

即，∴，∵，∴，

选③，，∴，

即，∵，∴，

∴，∵，∴，∴，∴       6分

（2）∵，∵，∴，

由余弦定理得，

∵，∴．              12分

19．解：（1）数列的前n项和．

时，，化为：，          3分

时，，解得．

∴数列是等比数列，首项为2，公比为2．∴．           5分

（2）．．            6分

数列的前n项和．

，           8分

∴，         9分

，

化为：．              12分

20．解：（1）若，则，，

令，得或，列表如下：

在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，          4分

所以的极大值为，的极小值为，，

故最大值为37，最小值为．            6分

（2），

当时，恒成立，在R上单调递减，

此时至多一个零点，不符合题意；               8分

当时，令，则，

所以当或时，；当时，；

所以在和上单调递增，在上单调递减，

所以极大值为，的极小值为．

因为恰有三个零点，所以，解得，

所以；综上所述，a的取值范围为．        12分

21．（1）证明：因为平面平面，且平面平面，

又，平面，所以平面，       2分

又平面，所以．

又，，、平面，所以平面．           4分

又平面，所以，

又因为M为中点，，所以，

又，、平面，所以平面，

又平面，所以平面平面．        6分

（Ⅱ）如图，设的中点为O，作交于E；连接，

因为平面，所以平面，

由，可得，        8分

以O为原点，以所在的直线为x，y，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，，

则．

所以．           9分

设平面的法向为，则，即，

令，得．由（Ⅰ）知，平面的一个法向量，

所以．          12分

由图可知，二面角是锐角，所以余弦值为．           12分

22．解：（1），          1分

当）时，单调递增，

当时，单调递减．        3分

故的单调递增区间为，单调递减区间为．          4分

（2），            5分

则，              7分

∵，∴设的根为，即有，可得，

时，，单调递减，

时，，单调递增，        10分

故，

解得；，故a的取值范围是．              12分