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安徽省合肥市2020-2021学年高二下学期期中理科数学试题（word版 含答案）
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这是一份安徽省合肥市2020-2021学年高二下学期期中理科数学试题（word版 含答案），共7页。试卷主要包含了有一段“三段论”推理是这样的，已知向量，则使成立的分别为，已知是虚数单位，，则，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前
高二年级期中考试
理科数学
本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数的虚部是（ ）
A． B．2 C． D．
2．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点．以上推理中（ ）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确
3．的展开式中的常数项为（ ）
A．8 B．28 C．56 D．70
4．已知向量，则使成立的分别为（ ）
A． B． C．，3 D．，3
5．已知是虚数单位，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
6．已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．命题“若，则”的逆否命题为真命题
B．“”是“”的必要不充分条件
C．若命题“”为假命题，则均为假命题
D．命题“，使得”的否定是：“，均有”
8．将甲、乙、丙、丁、戊5名护士派往四所医院，每所医院至少派1名护士，则不同的派法总数有（ ）
A．480种 B．360种 C．240种 D．120种
9．某学习小组有甲、乙、丙、丁四位同学，某次数学测验有一位同学没有及格，当其他同学问及他们四人时，甲说：“没及格的在甲、丙、丁三人中”；乙说：“是丙没及格”；丙说：“是甲或乙没及格”；丁说：“乙说的是正确的”已知四人中有且只有两人的说法是正确的，则由此可推断未及格的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．已知抛物线，直线过其焦点且与轴垂直，交于两点，若为的准线上一点，则的面积为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．50
11．宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李治、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其代表作有秦九韶的《数书九章》，李治的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．现有数学著作《数书九章》，《测圆海镜》，《益古演段》，《详解九章算法》，《杨辉算法》，《算学启蒙》，《四元玉鉴》，共七本，从中任取2本，至少含有一本秦九韶或杨辉的著作的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在报名的2名男教师和4名女教师中，选取3人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法有种___________．（用数字填写答案）
14．的展开式中的系数为___________．
15．函数的最小值为___________．
16．已知椭圆的左焦点为是上关于原点对称的两点，且，则的周长为___________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
求函数的单调区间与极值．
18．（12分）
如图，在正三棱柱中，，点分别为的中点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
19．（12分）
某中学将要举行校园歌手大赛，现有4男3女参加，需要安排他们的出场顺序．（结果用数字作答）
（1）如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？
（2）如果3位女生都相邻，且男生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？
20．（12分）
已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线交椭圆于两点，且，求的值．
21．（12分）
已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交于两点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）求以的准线与轴的交点为圆心，且与直线相切的圆的方程．
22．（12分）
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，恒成立，求整数的最大值．
高二理科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．16 14．70 15．1 16．14
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．解析：（1），
当时，，当时，，
的单调递减区间为，单调递增区间为在处取得极小值，无极大值．（10分）
18．解析：设的中点分别为O1，则，建立如图空间直角坐标系．．
（1）为的中点，，
从而，
故．
∴异面直线与所成角的余弦值为．（6分）
（2）为的中点，．
设为平面的一个法向量，则，即，不妨取，
设直线与平面所成角为，则，
∴直线与平面所成角的正弦值为．（12分）
19．解析：（1）根据题意，分2步进行分析：
①先将4名男生排成一排，有种情况，
②男生排好后有5个空位，在5个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，则3个女生都不相邻的出场顺序有种．（6分）
（2）根据题意，先分析3位女生都相邻的情况
①先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，
②将3名女生和4名男生的整体全排列，有种情况，
则3位女生都相邻的出场顺序有种，其中男生甲在第一个出场的顺序有种，
所以有种符合题意的出场顺序．（12分）
20．解析：（1）设椭圆的半焦距为，
∵椭圆的离心率为，
短轴的一个端点到右焦点的距离为
∴椭圆的方程为． 4分
（2），由 7分
设，则，
，
12分
21．解析：（1）由已知得点，∴直线的方程为，
联立消去整理得，
设，则，
，
∴抛物线的方程为．（6分）
（2）由（1）可得，直线的方程为，
∴圆的半径，
∴圆的方程为．（12分）
22．解析：（1），
∴切线方程为，即．（4分）
（2）时，恒成立，即对恒成立，
令，则，
令，则，
是增函数，
令，得，
．
为增函数，，当时，单调递减，
当时，单调递增，
时，取得最小值为，
，
∴整数的最大值为4．（12分）题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
B
A
B
C
A
C
A
B
D
D
绝密★启用前
高二年级期中考试
理科数学
本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数的虚部是（ ）
A． B．2 C． D．
2．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点．以上推理中（ ）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确
3．的展开式中的常数项为（ ）
A．8 B．28 C．56 D．70
4．已知向量，则使成立的分别为（ ）
A． B． C．，3 D．，3
5．已知是虚数单位，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
6．已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．命题“若，则”的逆否命题为真命题
B．“”是“”的必要不充分条件
C．若命题“”为假命题，则均为假命题
D．命题“，使得”的否定是：“，均有”
8．将甲、乙、丙、丁、戊5名护士派往四所医院，每所医院至少派1名护士，则不同的派法总数有（ ）
A．480种 B．360种 C．240种 D．120种
9．某学习小组有甲、乙、丙、丁四位同学，某次数学测验有一位同学没有及格，当其他同学问及他们四人时，甲说：“没及格的在甲、丙、丁三人中”；乙说：“是丙没及格”；丙说：“是甲或乙没及格”；丁说：“乙说的是正确的”已知四人中有且只有两人的说法是正确的，则由此可推断未及格的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．已知抛物线，直线过其焦点且与轴垂直，交于两点，若为的准线上一点，则的面积为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．50
11．宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李治、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其代表作有秦九韶的《数书九章》，李治的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．现有数学著作《数书九章》，《测圆海镜》，《益古演段》，《详解九章算法》，《杨辉算法》，《算学启蒙》，《四元玉鉴》，共七本，从中任取2本，至少含有一本秦九韶或杨辉的著作的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在报名的2名男教师和4名女教师中，选取3人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法有种___________．（用数字填写答案）
14．的展开式中的系数为___________．
15．函数的最小值为___________．
16．已知椭圆的左焦点为是上关于原点对称的两点，且，则的周长为___________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
求函数的单调区间与极值．
18．（12分）
如图，在正三棱柱中，，点分别为的中点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
19．（12分）
某中学将要举行校园歌手大赛，现有4男3女参加，需要安排他们的出场顺序．（结果用数字作答）
（1）如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？
（2）如果3位女生都相邻，且男生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？
20．（12分）
已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线交椭圆于两点，且，求的值．
21．（12分）
已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交于两点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）求以的准线与轴的交点为圆心，且与直线相切的圆的方程．
22．（12分）
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，恒成立，求整数的最大值．
高二理科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．16 14．70 15．1 16．14
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．解析：（1），
当时，，当时，，
的单调递减区间为，单调递增区间为在处取得极小值，无极大值．（10分）
18．解析：设的中点分别为O1，则，建立如图空间直角坐标系．．
（1）为的中点，，
从而，
故．
∴异面直线与所成角的余弦值为．（6分）
（2）为的中点，．
设为平面的一个法向量，则，即，不妨取，
设直线与平面所成角为，则，
∴直线与平面所成角的正弦值为．（12分）
19．解析：（1）根据题意，分2步进行分析：
①先将4名男生排成一排，有种情况，
②男生排好后有5个空位，在5个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，则3个女生都不相邻的出场顺序有种．（6分）
（2）根据题意，先分析3位女生都相邻的情况
①先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，
②将3名女生和4名男生的整体全排列，有种情况，
则3位女生都相邻的出场顺序有种，其中男生甲在第一个出场的顺序有种，
所以有种符合题意的出场顺序．（12分）
20．解析：（1）设椭圆的半焦距为，
∵椭圆的离心率为，
短轴的一个端点到右焦点的距离为
∴椭圆的方程为． 4分
（2），由 7分
设，则，
，
12分
21．解析：（1）由已知得点，∴直线的方程为，
联立消去整理得，
设，则，
，
∴抛物线的方程为．（6分）
（2）由（1）可得，直线的方程为，
∴圆的半径，
∴圆的方程为．（12分）
22．解析：（1），
∴切线方程为，即．（4分）
（2）时，恒成立，即对恒成立，
令，则，
令，则，
是增函数，
令，得，
．
为增函数，，当时，单调递减，
当时，单调递增，
时，取得最小值为，
，
∴整数的最大值为4．（12分）题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
B
A
B
C
A
C
A
B
D
D
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