甘肃省永昌县2020-2021学年高二下学期期中理科数学试题（word版 含答案）

甘肃省永昌县2020-2021学年第二学期期中试题

高二数学（理科）

一、选择题（每小题5分，共计60分）.

1.抛物线的准线方程是(     )                                      

   A．       B．           C．           D．

2.已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)

A. 2  B. 4              C. 4  D.6 

3.已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则（    ）

A． B． C．2  D．4

4.设是双曲线左支上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于(　　)

A.             B.             C.              D.

5.定积分 (　　)

A.1   B.2   C.3    D.4

6.设F1，F2是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为（    ）

A.                 B.              C.                D.

7.若点为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，则的最小值为（    ）

A．2 B． C．  D．

8.已知函数的导函数为偶函数，则的图象在点处的切线方程为（  ）

A． B．

C． D．

9.已知是椭圆上的一点，是坐标原点，是椭圆的左焦点且，，则点到该椭圆左准线的距离为（    ）

A．6 B．4 C．3 D．

10．函数且的图象大致是（　　）

 B．

          A                        B                        C                   D

11.设直线与轴交于点，与曲线交于点，为原点，记线段，及曲线围成的区域为．在内随机取一个点，已知点取在内的概率等于，则图中阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．

12.已知F1，F2是双曲线：的左、右焦点，A是的左顶点，P为上位于第一象限内一点，，，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（每小题5分，共计20分）.

13.已知椭圆与双曲线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为___________.

14.已知椭圆，则以点为中点的弦所在的直线方程是___________.

15.曲线在点处的切线方程为_            _.

16.设是抛物线上的一个动点，若，则的最小值为________.

三、解答题（17小题10分，18-22小题每小题12分，共计70分。）.

17.已知函数.

（1）求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；       （2）求函数f(x)的单调区间和极值.

18.设椭圆：（）过点，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点且斜率为的直线交椭圆于A、B两点，求弦的中点坐标及.

19.已知曲线上任意一点到定点的距离比到轴的距离大1，为坐标原点，是曲线上不同于的两点.

（1）求出曲线的方程；

（2）若直线的斜率之积等于，判断直线是否过定点，如果过定点，请求出定点坐标；如果不过定点，请说明理由.

20.设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.

(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求实数a的值；

(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求实数a的取值范围.

21.已知双曲线的中心在原点，抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，且双曲线经过点，又知直线与双曲线相交于、两点.

（1）求双曲线的方程；

（2）若，求实数的值.

22.已知函数，且在点处取得极值.

（1）求实数的值；

（2）若关于的方程在区间上有解，求的取值范围.

      甘肃省永昌县2020-2021学年第二学期期中

高二数学（理科答案）

一、选择题（每小题5分，共计60分）.

1-5  CBCCA,   6-10  BDADB,  11-12  BA

二、填空题（每小题5分，共计20分）.

13.    14.    15.    16.  4  .

解答题（17小题10分，18-22小题每小题12分，共计70分。）.

17.解：（Ⅰ），所以.

（Ⅱ），

解，得或.

解，得.

所以，为函数的单调增区间，为函数的单调减区间

.

18.解： （1）将点代入椭圆C的方程得，所以.

又由，得，即，所以.

所以椭圆C的方程为.

（2）过点且斜率为的直线方程为，

设直线与C的交点为，，联立方程消去y得，得，.

设线段的中点坐标为，则，

，

即中点坐标为

由弦长公式

19. 【答案】（1）；（2）是，.
20. （1）根据抛物线的定义得到答案.

（2）设，，设直线：，得到，，解得答案.

详解：（1）由题意可知，曲线为以为焦点的抛物线，求得：.

（2）设，，设直线：，

则，则，，故.

由联立得：，故.

所以，即过定点.

20.解　(1)因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，

所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.

f′(1)＝(1－a)e.

由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.

此时f(1)＝3e≠0.

所以a的值为1.

(2)f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex.

若a>，则当x∈时，f′(x)<0；

当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.

所以f(x)在x＝2处取得极小值.

若a≤，则当x∈(0，2)时，x－2<0，ax－1≤x－1<0，

所以f′(x)>0.所以2不是f(x)的极小值点.

综上可知，a的取值范围是.

21.解：（1）由题意，抛物线的焦点，可得双曲线的，

设双曲线方程为，可得，解得，

所以双曲线的方程为.

（2）由直线，联立方程组，可得，

当时，即，解得且，

由韦达定理：，

设，由，可得，

即，

代入可得，整理得，解得.

22.解（1），，

∵函数在点处取得极值，，

即当时，，

，解得，经检验符合题意；

（2），，.

令，则.

∴当时，，随的变化情况如下表：

计算得，，，，

所以的取值范围为．