2020-2021学年安徽省合肥市肥东县高二（上）期中数学试卷（文科）人教A版

这是一份2020-2021学年安徽省合肥市肥东县高二（上）期中数学试卷（文科）人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知两条直线x+a2y+6=0和(a−2)x+3ay+2a=0互相平行，则a等于（ ）
A.0或3或−1B.0或3C.3或−1D.0或−1

2. A、B分别是椭圆的左顶点和上顶点，C是该椭圆上的动点，则点C到直线AB的距离的最大值为（ ）
A.B.C.D.

3. 某中学高一年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加国防知识竞赛，他们取得的成绩（满分10的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为（ ）

A.8B.168C.9D.169

4. 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达．则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是( )
A.916B.12C.716D.38

5. 当曲线y＝1+与直线y＝k(x−3)+3有两个不同交点时，则k的取值范围为（ ）
A.B.
C.D.

6. 执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（ ）

A.105B.16C.15D.1

7. 设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B．若|BF2|=|F1F2|=2，则该椭圆的标准方程为（ ）
A.x24+y23=1B.x23+y2=1C.x22+y2=1D.x24+y2=1

8. 如图所示，一个圆乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米，球桶的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计），一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）

A.15B.154C.265D.14

9. 设点Pi(xi, yi)在直线li:aix+biy＝ci上，若i(ai+bi)＝ci(i＝1, 2)，且恒成立，则c1+c2的值（ ）
A.2B.4C.6D.8

10. 下列选项中，说法正确的是（ ）
A.命题“∃x∈R，x2−x≤0”的否定是“∃x∈R，x2−x>0”
B.命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件
C.命题“若am2≤bm2，则a≤b”是假命题
D.命题“在△ABC中，若sinA<12，则A<π6”的逆否命题为真命题

11. 已知直线l为圆x2+y2＝4在点处的切线，点P为直线l上一动点，点Q为圆(x+1)2+y2＝1上一动点，则|PQ|的最小值为（ ）
A.B.C.D.

12. 设P是椭圆x29+y24=1上一动点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则csF1PF2的最小值是（ ）
A.12B.19C.−19D.−59
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

如果直线l1:ax+(1−b)y+5＝0和直线l2：(1+a)x−y−b＝0都平行于直线l3:x−2y+3＝0，则l1，l2之间的距离为________．

为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）
若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，则这2人都来自高校C的概率P＝________．

若直线x+3y−2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于________．

设F1，F2分别是椭圆E:x2+y2b2=1(0三、解答题（共6小题，共70分）

已知圆C:x2+y2−2x+my＝0经过点(3, −1)．
（1）若直线l:2x−y+t＝0与圆C相切，求t的值；

（2）若圆M：(x−6)2+(y−10)2＝r2(r>0)与圆C没有公共点，求r的取值范围．

已知命题p:x2−4x−5≤0，命题q:x2−2x+1−m2≤0(m>0)．
（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

（2）若m＝5，p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数x的取值范围．

某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：1、抽奖方案有以下两种：方案a，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案b，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．
2．抽奖条件是：顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a抽奖一；满足150元，可根据方案b抽奖（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案a抽奖三次或方案b抽奖两次或方案a，b各抽奖一次）．已知顾客A在该商场购买商品的金额为250元．
（1）若顾客A只选择根据方案a进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率；

（2）当若顾客A采用每种抽奖方式的可能性都相等，求其最有可能获得的奖金数（0元除外）．

已知直线l经过点P(6, 4)，斜率为k
(Ⅰ)若l的纵截距是横截距的两倍，求直线l的方程；
(Ⅱ)若k＝−1，一条光线从点M(6, 0)出发，遇到直线l反射，反射光线遇到y轴再次放射回点M，求光线所经过的路程．

某校高二2班学生每周用于数学学习的时间x（单位：h）与数学成绩y（单位：分）之间有如表数据：
(Ⅰ)求线性回归方程；
(Ⅱ)该班某同学每周用于数学学习的时间为18小时，试预测该生数学成绩．
参考数据：，，，，
回归直线方程参考公式：，．

已知椭圆C：+＝1(a>0, b>0)的离心率为，点A(0, −2)与椭圆右焦点F的连线的斜率为．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)O为坐标原点，过点A的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省合肥市肥东县高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】
D
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
利用两直线平行的充要条件进行求解，注意不要漏解．
【解答】
解：∵ 两条直线x+a2y+6=0和(a−2)x+3ay+2a=0互相平行，
∴ 1a−2=a23a≠−6−2a，或k1=−1a2和k2=−a−23a同时不存在，
解得a=−1，或a=0，且a≠3．
故选D．
2.
【答案】
D
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
C
【考点】
茎叶图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
C
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
简单线性规划
【解析】
设出甲、乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件同时列出这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待约束条件，利用线性规划作出平面区域，利用几何概型概率公式求出概率．
【解答】
解：设甲到达的时刻为x，乙到达的时刻为y，
则所有的基本事件构成的区域Ω满足0≤x≤24，0≤y≤24，
这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域A满足0≤x≤24，0≤y≤24，|x−y|≤6，
作出对应的平面区域如图：
这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率P(A)=1−2×12×18×1824×24=1−916=716.
故选C.
5.
【答案】
B
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
A
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
由|BF2|=|F1F2|=2，可得a=2c=2，即可求出a，b，从而可得椭圆的方程．
【解答】
解：∵ |BF2|=|F1F2|=2，
∴ a=2c=2，
∴ a=2，c=1，
∴ b=3，
∴ 椭圆的方程为x24+y23=1．
故选A．
8.
【答案】
B
【考点】
椭圆的离心率
椭圆的定义
【解析】
设椭圆方程为x2a2+y2b2=1，(a>b>0)，由题意求出a，b，c，由此能求出该椭圆的离心率．
【解答】
不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1，(a>b>0)，
由题意得2a=20−4b=2 ，
解得a＝8，b＝2，c=64−4=215，
∴ 该椭圆的离心率为e=ca=2158=154．
9.
【答案】
C
【考点】
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
根据特称命题的否定，充要条件的定义，四种命题的关系，逐一分析四个答案是否成立，最后综合讨论结果，可得结论．
【解答】
解：对于A，命题“∃x∈R，x2−x≤0”的否定是“∀x∈R，x2−x>0”，故错误；
对于B，命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件，故错误；
对于C，命题“若am2≤bm2，则a≤b”在m=0时，不一定成立，故是假命题，故正确；
对于D，“在△ABC中，若sinA<12，则A<π6或A>5π6”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故错误；
故选：C
11.
【答案】
B
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
C
【考点】
椭圆的定义
【解析】
利用椭圆的定义，余弦定理，结合基本不等式，即可求cs∠F1PF2的最小值．
【解答】
解：椭圆x29+y24=1的a=3，b=2，
c=a2−b2=5，
由椭圆定义，可得
|PF1|+|PF2|=6，|F1F2|=25，
∴ cs∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1|⋅|PF2|=62−(25)2−2|PF1|⋅|PF2|2|PF1|⋅|PF2|=162|PF1|⋅|PF2|−1，
∵ |PF1|+|PF2|=6≥2|PF1|⋅|PF2|，
∴ |PF1|⋅|PF2|≤9，
∴ 162|PF1|⋅|PF2|−1≥89−1=−19．当且仅当|PF1|=|PF2|=3，取得最小值−19．
故选：C．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
【答案】
2
【考点】
两条平行直线间的距离
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
23
【考点】
直线与圆相交的性质
【解析】
易得圆的圆心和半径，由距离公式可得圆心到直线的距离d，由勾股定理可得|AB|．
【解答】
解：∵ 圆x2+y2=4的圆心为(0, 0)，半径r=2，
∴ 圆心到直线x+3y−2=0的距离d=|−2|2=1，
∴ 弦长|AB|=24−1=23．
故答案为：23．
【答案】
x2+32y2=1
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
求出B(−53c, −13b2)，代入椭圆方程，结合1=b2+c2，即可求出椭圆的方程．
【解答】
解：不妨设点A在第一象限，
由题意，F1(−c, 0)，F2(c, 0)，AF2⊥x轴，∴ |AF2|=b2，
∴ A点坐标为(c, b2)，
设B(x, y)，则
∵ |AF1|=3|F1B|，
∴ AF1→=3F1B→，
∴ (−c−c, −b2)=3(x+c, y),
∴ B(−53c, −13b2)，
代入椭圆方程可得(−53c)2+(−13b2)2b2=1，
∵ 1=b2+c2，
∴ b2=23，c2=13，
∴ x2+32y2=1．
故答案为：x2+32y2=1．
三、解答题（共6小题，共70分）
【答案】
∵ 圆经过点(3, −1)，∴ 32+(−1)2−2×3−m＝0，解得m＝4，
∴ 圆的方程为x2+y2−2x+4y＝0，标准方程为(x−1)2+(y+2)2＝5
则圆心C(1, −2)，半径R=5
若直线与圆相切，则圆心到直线2x−y+t＝0的距离
d=|2−(−2)+t|22+12=|4+t|5=5
∴ |4+t|＝5，∴ 4+t＝5或4+t＝−5，解得t＝1或t＝−9．
若圆M与圆C没有公共点，∴ 两圆位置关系可以是外离，或内含
当两圆外离时，两圆圆心距|CM|>R+r
M(6, 10)，|CM|=(1−6)2+(−2−10)2=13>5+r
此时，r<13−5，且r>0，∴ r∈(0,13−5)
当两圆内含时，两圆圆心距|CM|此时，|CM|=1313+5
综上所述，r∈(0,13−5)∪(13+5,+∞)．
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
（1）根据直线和圆相切的等价条件进行求解；
（2）根据两个圆之间没有公共点的等价条件进行求解．
【解答】
∵ 圆经过点(3, −1)，∴ 32+(−1)2−2×3−m＝0，解得m＝4，
∴ 圆的方程为x2+y2−2x+4y＝0，标准方程为(x−1)2+(y+2)2＝5
则圆心C(1, −2)，半径R=5
若直线与圆相切，则圆心到直线2x−y+t＝0的距离
d=|2−(−2)+t|22+12=|4+t|5=5
∴ |4+t|＝5，∴ 4+t＝5或4+t＝−5，解得t＝1或t＝−9．
若圆M与圆C没有公共点，∴ 两圆位置关系可以是外离，或内含
当两圆外离时，两圆圆心距|CM|>R+r
M(6, 10)，|CM|=(1−6)2+(−2−10)2=13>5+r
此时，r<13−5，且r>0，∴ r∈(0,13−5)
当两圆内含时，两圆圆心距|CM|此时，|CM|=1313+5
综上所述，r∈(0,13−5)∪(13+5,+∞)．
【答案】
对于p:A＝[−1, 5]，
对于q:B＝[8−m, 1+m]，
可得A⊆B，∴ ，∴ m∈[8．
m＝5，如果p真：A＝[−1，
如果q真：B＝[−8, 6]，
p∨q为真命题，p∧q为假命题，
可得p，q一真一假，
①若p真q假，
则 无解；
②若p假q真，
则，
∴ x∈[−4, −1)∪(4．
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
复合命题及其真假判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
记甲袋中红球是r，白球分别为w1，w2
由题意得顾客A可以从甲袋中先后摸出6个球，其所有等可能出现的结果为：
(r, r)，w1)，(r, w2)，(w8, r)，(w1, w1)，(w4, w2)，(w2, r)，(w3, w1)，(w2, w8)共9种，
其中结果(r, w1)，(r, w7)，(w1, r)，(w2, r)可获奖金15元，
所以顾客A所获奖金为15元的概率为．
由题意的顾客A可以根据方案a抽奖两次或根据方案a，b各抽奖一次．
由（1）知顾客A根据方案a抽奖两次所获奖金及其概率如下表：
记乙袋中红球分别是R6，R2，白球W
则顾客A根据方案a，b各抽奖一次的所有等可能出现的结果为：
(r, R1)，(r, R7)，(r,(w1, R1)，(w4, R2)，(w1, W)，(w5, R1)，(w2, R5)，(w2, W)共9种
其中结果(r, R2)，(r, R2)可获奖金25元．结果(r，
(w1, R4)，(w1, R2)，(w8, W)，(w2, R1)，(w2, R2)可获奖金10元，其余可获奖金0元，
所以顾客A根据方案a，b各抽奖一次所获奖金及其概率如下表：
由此可知顾客A最有可能获得的奖金数为10元．
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
（1）若直线l的纵、横截距为0，
直线l的方程为y＝x；
若截距不为7，由题意设直线方程是：+，
代入P(6, 2)得：+，解得：a＝8，
故l为：2x+y−16＝8，
则直线l的方程为2x−3y＝6或2x+y−16＝0；
（2）k＝−4时，l的方程是：y−4＝−(x−6)，
即x+y−10＝7，
M(6, 0)关于y轴的对称点M′′为(−6，
M关于直线x+y＝10的对称点为M′(a, b)，
由解得a＝10，
即有M′(10, 4)，
由如图可得光线所经过的路程为
MK+KN+NM＝M′K+KN+NM′′＝M′M′′
＝＝4．
【考点】
直线的截距式方程
与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
（1），
，
因此可求得回归直线方程．
（2）当x＝18时，，
故该同学预计可得77分左右．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
（1）设F(c, 0)，∴ ＝，解得c＝．
又离心率为e＝＝，由b3＝a2−c2，解得：a＝7，b＝1，
∴ 椭圆E的方程为+y2＝1．
（2）设P(x3, y1)，Q(x2, y3)，由题意可设直线l的方程为：y＝kx−2，
整理得：(1+5k2)x2−16kx+12＝4，当△＝16(4k2−3)>0时，即k2>时，
x1+x8＝，x1⋅x2＝，
∴ |PQ|＝，∵ 点O到直线l的距离d＝，
∴ S△OPQ＝•d⋅|PQ|＝，设，则2k2＝t2+3，∴ S△OPQ＝＝≤6，
当且仅当t＝2，即＝2时取等号，
∴ △OPQ的面积最大时，直线l的方程为：y＝±．
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答高校
相关人数
抽取人数
A
18
1
B
36
2
C
54
3
x
24
15
23
19
16
11
20
16
17
13
y
92
79
97
89
64
47
83
68
71
59
所获奖金（元）
0
15
30
概率
所获奖金（元）
4
10
15
25
概率