浙江省杭州市2020-2021学年高一下学期期中数学试题（word版 含答案）

2020学年高一下期中试卷试题

一、选择题：本题共8小，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．复数的虚部为（    ）

A．2      B．      C．      D．

2．已知用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为，那么原正方形的面积为（    ）

A．36      B．      C．72      D．

3．的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则c等于（    ）

A．1      B．      C．      D．2

4．黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0.618，即长段为全段的0.618．0.618被公认为最具有审美意义的比例数字．宽与长的比为的矩形叫作黄金矩形．它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中．在黄金矩形中，，，那么的值为（    ）

A．      B．      C．4      D．

5．圆锥的底面半径为r，体积为时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值（    ）

A．      B．      C．      D．

6．在中，点D在直线上，，点E在直线上，且．若，则（    ）

A．0      B．      C．      D．

7．三棱锥中平面，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）

A．      B．      C．      D．

8．如图，平面平面，与两平面所成的角分别为和，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为，则等于（    ）

A．2∶1      B．1∶2      C．        D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．已知是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题正确的是（    ）

A．若，则      B．若，则

C．若，则      D．若，则

10．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（    ）

A．

B．

C．若，则复平面内对应的点位于第四象限

D．已知复数Z满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线

11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，下列结论正确的是（    ）

A．            B．

C．若，则的面积是      D．若，则的外接圆半径是

12．已知图1中的正三棱柱的底面边长为2，体积为，去掉其侧棱，再将上底面绕上下底面的中心所在的直线逆时针旋转后，添上侧棱，得到图2所示的几何体，则下列说法正确的是（    ）

A．平面

B．

C．四边形为正方形

D．正三棱柱与几何体的外接球体积相同

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量、为单位向量，，若，则与所成角的余弦值为________．

14．已知复数（i为虚数单位）是关于x的方程（p，q为实数）的一个根，则_______．

15．《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”现有如图所示的“堑堵”，其中，当“阳马”四棱锥体积为时，则“堑堵”即三棱柱的外接球的体积为________．

16．在棱长为1的正方体中，M，N分别是的中点，点P在正方体的表面上运动，则总能使与垂直的点P所构成的轨迹的周长等于_______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知复数．

（1）计算；

（2）求．

18：．在复平面内，O是原点，对应的复数分别为，，i是虚数单位设函数．

（1）求函数的解析式；

（2）若函数在区间上有2个零点，求实数m的取值范围．

19．的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

（1）求角C的大小；

（2）若，求的值．

20．已知四边形，，，．现将沿边折起使得平面平面，此时．点P为线段的中点．

（1）求证：平面；

（2）若M为的中点，求与平面所成角的正弦值．

21．杭州市为迎接2022的亚运会，规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料、工具和配件．所以项目设计需要预留出为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），为赛道，．

（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道的长度；

①；②．

（2）在（1）的条件下，应该如何设计，才能使折线赛道最长（即最大），最长值为多少？

22．如图，已知三棱柱，平面平面，，E，F分别是的中点．请你用几何法解决下列问题：

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的余弦值；

（3）求二面角的正弦值．

2020学年高一下期中试卷试题

参考答案

1．A  2．C  3．D  4．C  5．A  6．B  7．C  8．A  9．ACD  10．AD  11．ACD  12．AD

13．  14．0  15．  16．

17．（1）

（2）

18．（1）．

（2）因为在上递增，在上递减，且函数在区间上有2个零点，所以．

因为，所以．

19．（1）因为，所以．

所以，从而，所以．

（2）由正弦定理，可得（且），所以．

所以．

20．（1）证明：因为，所以为正三角形，因为P为的中点，所以，

取的中点E，连结，则，

因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，

又因为，，，平面，所以平面，

因为平面，所以，

又因为，，平面，所以平面；

（2）法一（几何法）

过点M作①于H，由（1），所以平面，

又平面，所以②，③，

由①②③知，平面，所以为与平面所成的角．

中，，

中，，

中，，

所以，

故与平面所成角的正弦值为．

法二（坐标系法）

由（1）可知，取的中点F，则，即两两垂直，

以E为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，

则，

所以，设平面的法向量为，

则，即，令，则，

故，又，

所以，故与平面所成角的正弦值为．

21．（1）解：选择①，在中，由正弦定理：，

又，所以，

在中，；

选择②，在中，由正弦定理：，

在中，由余弦定理：

即：，解得（负值舍去）

（2）解

在中，由余弦定理：，

，

当时取等号．故时，折线赛道最长，最长值为．

22．解

（1）连接，∵，E是的中点，∴A，

又平面平面平面，平面平面，

∴平面，∴，

∵，∴，

∵，∴平面，

∴．

（2）取中点G，连接，则是平行四边形．

由于平面，故，

所以平行四边形是矩形，

由（1）得平面，

则平面平面，

∴在平面上的射影在直线上，

连接，交于O，则是直线与平面所成角（或其补角），

不妨设，则在中，，

因为O是的中点，故，

∴．

所以直线与平面所成角的余弦值为．

（3）作于H，则面．

作于K，连接，则为二面角的平面角．

在中，，

所以．

所以二面角的正弦值为．