哈师大附中2021年高二下学期期中考试：数学（理）卷+答案

哈师大附中2021-2022年度高二学年下学期期中考试

数学试卷（理科）

考试时间：120分钟      满分：150分

一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）

1. 设函数 ，且 ，则  

 A.  B.  C.  D.

2. 下列函数求导运算正确的个数是

 ①   ② ③ ；④ ；⑤ ．

 A.  B.  C.  D.

 3. 已知随机变量 ，若 ，则  

 A.  B.  C.  D.

4.在平面直角坐标系中，已知点和圆，在圆上任取一点，连接，则直线的斜率大于的概率是（     ）

A． B． C． D．

5.已知直线过抛物线的焦点，且依次交抛物线及其准线于点(点在点之间）．若，则（      ）

A． B． C． D．

6.某校甲､乙课外活动小组(两小组人数相等)20次活动成绩组成一个样本，得到如图所示的茎叶图，若甲､乙两组平均成绩分别用，表示，标准差分别用，表示，则（     ）

A．，       B．，

 C．，      D．，

7．某奶茶店的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：）之间的关系如下：

通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程：；但是现在丢失了一个数据，该数据应为（     ）

A．2 B．3 C．4 D．5

8. 已知函数 在 处有极值 ，则 ， 的值为

 A. ， B. ， 或 ，

 C. ， D. ，

9．为了庆祝学校的元旦晚会，甲、乙、丙、丁计划报名参加晚会的相声、小品、歌唱、舞蹈这个节目，每个同学限报个节目，在乙、丙、丁三个同学报的节目与甲不同的条件下，每个同学报的节目都不相同的概率为（     ）

A． B． C． D．

10. 函数 的大致图象为

  . .

A.                                    B.                                          C.                                  D.

11.已知椭圆C的焦点为，，过的直线与C交于A，B两点，若，，则C的方程为（     ）

A． B． C． D．

12.定义在 上的函数 满足 ，当 时，，若函数 在 内恰有 个零点，则实数 的取值范围是

 A.  B.  C.  D.

二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=__________.

14. 若函数 ，且 在 上有最大值，则 的最大值为_____.

15．将名男生名女生共名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是__________.

16. 已知函数 在 上都存在导函数 ，对于任意的实数都有 ，当 时，，若 ，则实数 的取值范围是 __________.

三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）

17. （本题满分12分）

已知函数 ．

（1）求函数的最小值；

（2）求曲线 在处的切线方程.

18．（本题满分12分）

“防控传染病，接种疫苗最有效”，而疫苗研发是一个漫长而复杂的过程，包括疫苗筛选､动物实验､临床试验等，以保证疫苗的安全和有效.某生物制品研究所研制某型号疫苗时，用小白鼠进行动物试验，得到统计数据如表：

现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为.

（1）求2×2列联表中的数据，，，的值；

（2）能否有把握认为注射此种疫苗有效？

（3）现从感染病毒的小白鼠中按是否注射疫苗用分层抽样的方法抽取出10只小白鼠，若在这10只小白鼠中任取3只进行病理分析，记取到的已注射疫苗的小白鼠只数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.   附：K2=，n=a+b+c+d.

19．（本题满分12分）

某市教育科学研究院为了对今后所出试题的难度有更好的把握，提高命题质量，对该市高三联考理综试卷的得分情况进行了调研.从全市参加考试的考生中随机抽取了100名考生的理综成绩，将数据分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300].并整理得到如图所示的频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图，求直方图中x的值；

（2）用频率估计概率，从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取3个，记理综成绩位于区间[220，260）内的个数为，求的分布列及数学期望E（）.

20. （本题满分12分）

已知椭圆 的方程为 ，离心率为 ，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点．

（1）求椭圆 的方程；

（2）过动点 的直线交 轴的负半轴于点 ，交 于点 ，（ 在第一象限），且 是线段 的中点，过点 作 轴的垂线交 于另一点 ，延长线段 交 于点 ．

（）设直线 ， 的斜率分别为，求的值；

（）求直线 的斜率的最小值．

21. （本题满分12分）

已知函数 ．

（1）令 ，讨论 的单调性并求极值；

（2）令 ，若 有两个零点；

（ⅰ）求 的取值范围；

  （ⅱ）若方程 有两个实根 ，，且 ，证明：．

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.

22. （本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的方程为 ．

（1）求直线 的直角坐标方程，以及曲线 的参数方程；

（2）点 是曲线 上任意一点，点 在 上，且直线 与 的夹角为 ，求 的最大值．

 23. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲

 已知函数 ．

（1）若不等式 有解，求实数 的最大值 ；

（2）在（1）的条件下，若正实数 ， 满足 ，证明：.