2021黑龙江大庆实验中学高二下学学期期中考试：数学（理）卷+答案

大庆实验中学实验二部2019级高（二）下学期期中考试

数学学科试题

出题人：侯典峰　李红梅  　石磊 丁亮 审题人：侯典峰　李红梅　

2021.5.6-2021.5.7

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2.命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

3．设集合，则（    ）

A．　B．　　C．或　D．或

4．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为(   )

A． 　B．　　　　C．　　　　D．

5. 复数的共轭复数的虚部为（    ）

A．    　　　B．   　　　　　 C．   　　　　　 D．

6．在极坐标系中，点到直线的距离为（    ）

A．2 B．1 C． D．

7．我校实验二部数学学习兴趣小组为研究某作物种子的发芽率和温度(单位：)的关系，由实验数据得到右面的散点图. 由此散点图，最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是

A.           B.      

C.             D.

8．已知甲盒子有6个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个球，记随机变量是取出球的编号，数学期望为，乙盒子有5个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从乙盒子中取出一个球，记随机变量是取出球的编号，数学期望为，则（    ）

A．且 B．且

C．且 D．且

9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

由表中数据，求得线性回归方程为若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为（    ）

A． B． C． D．

10．的展开式中的系数为（    ）

A． B． C． D．

11．下列五个命题    

①在某项测量中，测量结果 服从正态分布 ，若在(0，2)内取值的概率为0.4，则在(0，+∞)内取值的概率为0.８;

②集合，，则的真子集个数为３;

③命题“若，则”的逆否命题为“若，则”;

④若的展开式中各项的二项式系数之和为，则此展开式中项的系数为;

⑤在道题中有道理科题和道文科题，如果不放回地依次抽取道题，在第１次抽到理科题的条件下，第２次抽到理科题的概率为．　　　　　　　　

其中正确的个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

12．大庆体育场由于形似国家体育场，被大庆人称为“大庆鸟巢”，国家体育场（鸟巢）是第24届冬季奥林匹克运动会开、闭幕式的场馆．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（　）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．设随机变量ξ服从二项分布 ，则等于__________

14．设命题关于的一元二次方程的一根大于零，另一根小于零； 命题 ，； 若为真命题，为假命题，则实数的取值范围是___________．

15．大庆实验中学文学社中甲、乙、丙、丁、戊、己这六名即将毕业的高三成员从左到右站成一排拍照留念，其中甲不站在队伍的两端，乙、丙两人不相邻，丁必须站在戊的左面（丁、戊两人可以相邻，也可以不相邻），则满足条件的不同站队方式的站法数为__________．(用数字作答)

16．已知关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，在

以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线和直线的普通方程；

（2）设点，直线与曲线交于两点，求的值.

18．（12分）作为世界最大棉花消费国、第二大棉花生产国，我国2020－2021年度棉花产量约595万吨，总需求量约780万吨，年度缺口约185万吨.其中，新疆棉产量520万吨，占国内产量比重约87%，占国内消费比重约67%.　新疆地区的棉花是世界上最好的棉花之一，新疆长绒棉，世界顶级，做衣被，暖和、透气、舒适，长年供不应求.评价棉花质量的重要指标之一就是棉花的纤维长度，新疆农科所在土壤环境不同的A、B两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从A、B两地的棉花中各随机抽取40根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于300的为“长纤维”，其余为“短纤维”）.

（1）由以上统计数据，填写下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”(的观测值精确到0.001) .

附：（1）；

（2）临界值表；

（2）现从抽取的80根棉花纤维中“短纤维”里任意抽取２根做进一步研究，记Ｂ地“短纤维”的根数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.

(3)根据上述Ｂ地关于“长纤维”与“短纤维”的调查，将Ｂ地“长纤维”的频率视为概率，现从Ｂ地棉花（大量的棉花）中任意抽取３根棉花，记抽取的“长纤维”的根数为，求的分布列及数学期望.

19．（12分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，， 底面.

（1）证明：；

（2）若点为的中点，，求二面角的余弦值．

20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线 ，曲线，以直角坐标系的原点作为极点，轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，射线

与曲线、曲线分别交于点、，将射线绕极点逆时针旋转后得到射线，射线与曲线、曲线分别交于点、.

(1)求曲线与曲线的极坐标方程；

(2)求的最小值.

21．（12分）已知为椭圆的左右焦点，椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到的距离之和为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过的直线分别交椭圆于和,且，试求四边形的面积的取值范围.

22．（12分）已知函数，.

（1）（ⅰ）证明： ；（ⅱ）证明：.

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.

大庆实验中学实验二部2019级高（二）下学期期中考试数学学科试题参考答案

１－１６　CDBCB  ABCCD　CＤ　　,；；

17. 解：（1）曲线C：直线：

（2）直线的参数方程为：联立，得，

其判别式，设点对应的参数分别为

则是方程的两根，则，，

所以．

18. 解析：（Ⅰ）根据已知数据得到如下列联表：

根据列联表中的数据，可得,

因为，

所以可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”．                          

（Ⅱ）由题意可知的可能取值为：0,1,2,    

，，，．

可得的分布列为：

所以 ．

（３）由表中数据可知，抽到的棉花为“长纤维”的概率为 ，

所以，

所以，，

，．

故X的分布列为

故X的期望为（或）

19证明： 因为底面，平面，所以，

又因为，. ，

所以平面. 又平面从而                  

（2）因为底面，所以，又，，   所以两两垂直，

  如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，.

  ， ，，

   设为平面的法向量，

则即，可取，

又因为，，，所以平面，

所以为平面的法向量，

则

故二面角的余弦值为．

20.

21. 解：（1）由已知 得 所以椭圆的标准方程为：

（2）①当直线的斜率为0时,

直线的方程为，则直线的方程为，则，或，，此时，

可得．

②当直线的斜率不存在时, 直线的方程为，则，或，，此时，直线的方程为，则

可得．

③当直线的斜率存在且不为0时，设直线的斜率为．

则直线，联立，得,

，设则,

所以 ．

同理可得,所以．

由于（当时取等号）, ,,

,,,

所以．

综合①②③可知，四边形面积的取值范围是．

22. 证明：由可知．

当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，函数有最小值，又，故．

由可知．

当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，函数有最小值，又，故．

(2)当时，恒成立，

等价于当时，恒成立．

设函数．

则，设，

则．

当时，，，，

结合（１）（ⅰ）问结论知，

故函数在上单调递增．

若，则当时，，，函数在在上单调递增，又，故，满足题意．

若，因为，，

结合（１）（ⅱ）问结论可知，

又，函数在上单调递增，故存在，使得，当时，，，函数在上单调递减，此时，又，即当时，，不符题意．

故所求的取值范围是．