哈师大附中2021年高二下学期期中考试：数学（理）卷+答案

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哈师大附中2021-2022年度高二学年下学期期中考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟      满分：150分一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1. 设函数 ，且 ，则    A.  B.  C.  D. 2. 下列函数求导运算正确的个数是  ①   ② ③ ；④ ；⑤ ． A.  B.  C.  D.  3. 已知随机变量 ，若 ，则    A.  B.  C.  D. 4.在平面直角坐标系中，已知点和圆，在圆上任取一点，连接，则直线的斜率大于的概率是（     ）A． B． C． D．5.已知直线过抛物线的焦点，且依次交抛物线及其准线于点(点在点之间）．若，则（      ）A． B． C． D．6.某校甲､乙课外活动小组(两小组人数相等)20次活动成绩组成一个样本，得到如图所示的茎叶图，若甲､乙两组平均成绩分别用，表示，标准差分别用，表示，则（     ）A．，       B．， C．，      D．，   7．某奶茶店的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：）之间的关系如下：x012y5?221通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程：；但是现在丢失了一个数据，该数据应为（     ）A．2 B．3 C．4 D．58. 已知函数 在 处有极值 ，则 ， 的值为  A. ， B. ， 或 ， C. ， D. ，9．为了庆祝学校的元旦晚会，甲、乙、丙、丁计划报名参加晚会的相声、小品、歌唱、舞蹈这个节目，每个同学限报个节目，在乙、丙、丁三个同学报的节目与甲不同的条件下，每个同学报的节目都不相同的概率为（     ）A． B． C． D．10. 函数 的大致图象为   . .      A.                                    B.                                          C.                                  D.11.已知椭圆C的焦点为，，过的直线与C交于A，B两点，若，，则C的方程为（     ）A． B． C． D．12.定义在 上的函数 满足 ，当 时，，若函数 在 内恰有 个零点，则实数 的取值范围是  A.  B.  C.  D.     二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=__________.14. 若函数 ，且 在 上有最大值，则 的最大值为_____.15．将名男生名女生共名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是__________.16. 已知函数 在 上都存在导函数 ，对于任意的实数都有 ，当 时，，若 ，则实数 的取值范围是 __________.三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）17. （本题满分12分）已知函数 ．（1）求函数的最小值；（2）求曲线 在处的切线方程.18．（本题满分12分）“防控传染病，接种疫苗最有效”，而疫苗研发是一个漫长而复杂的过程，包括疫苗筛选､动物实验､临床试验等，以保证疫苗的安全和有效.某生物制品研究所研制某型号疫苗时，用小白鼠进行动物试验，得到统计数据如表： 未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗注射疫苗总计现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为.（1）求2×2列联表中的数据，，，的值；（2）能否有把握认为注射此种疫苗有效？（3）现从感染病毒的小白鼠中按是否注射疫苗用分层抽样的方法抽取出10只小白鼠，若在这10只小白鼠中任取3只进行病理分析，记取到的已注射疫苗的小白鼠只数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.   附：K2=，n=a+b+c+d.P(K2≥k0)0.050.0100.0050.001k03.8416.6357.87910.828  19．（本题满分12分）某市教育科学研究院为了对今后所出试题的难度有更好的把握，提高命题质量，对该市高三联考理综试卷的得分情况进行了调研.从全市参加考试的考生中随机抽取了100名考生的理综成绩，将数据分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300].并整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，求直方图中x的值；（2）用频率估计概率，从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取3个，记理综成绩位于区间[220，260）内的个数为，求的分布列及数学期望E（）.  20. （本题满分12分）已知椭圆 的方程为 ，离心率为 ，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点．（1）求椭圆 的方程；（2）过动点 的直线交 轴的负半轴于点 ，交 于点 ，（ 在第一象限），且 是线段 的中点，过点 作 轴的垂线交 于另一点 ，延长线段 交 于点 ．（）设直线 ， 的斜率分别为，求的值；（）求直线 的斜率的最小值．21. （本题满分12分）已知函数 ．（1）令 ，讨论 的单调性并求极值；（2）令 ，若 有两个零点；（ⅰ）求 的取值范围；  （ⅱ）若方程 有两个实根 ，，且 ，证明：．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22. （本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的方程为 ．（1）求直线 的直角坐标方程，以及曲线 的参数方程；（2）点 是曲线 上任意一点，点 在 上，且直线 与 的夹角为 ，求 的最大值． 23. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 ．（1）若不等式 有解，求实数 的最大值 ；（2）在（1）的条件下，若正实数 ， 满足 ，证明：.