陕西省西安市西工大附中中考数学模试卷3

这是一份陕西省西安市西工大附中中考数学模试卷3，共28页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


陕西省西安市西工大附中中考数学模试卷

一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案前的字母填入题后的括号内
1．下列四个实数中，是无理数的是( )
A．0 B．﹣3 C． D．

2．下列计算正确的是( )
A．（a﹣b）2=a2﹣b2 B．a6÷a2=a3 C．=3 D．﹣（﹣2）0=1

3．如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是( )

A．40° B．50° C．60° D．140°

4．方程x（x﹣2）+x﹣2=0的解为( )
A．x=2 B．x1=2，x2=1 C．x=﹣1 D．x1=2，x2=﹣1

5．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为( )

A．x＜ B．x＜3 C．x＞ D．x＞3

6．由n个大小相同的小正方形搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则n的最大值为( )

A．11 B．12 C．13 D．14

7．如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为( )

A．4 B． C． D．5

8．如图，某天早晨王老师沿⊙M的半圆形M→A→B→M路径匀速散步，此时王老师离出发点M的距离y与时间x之间的函数关系的大致图象是( )

A． B． C． D．


二、填空题（每小题3分，共21分）
9．计算：1﹣3×（﹣2）=__________．

10．已知一粒大米的质量约为0.000021千克，这个数用科学记数法表示为__________．

11．如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC=110°．连接AC，则∠A的度数是__________°．


12．将抛物线y=﹣2x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到抛物线的顶点坐标为__________．

13．有5个从小到大排列的正整数，其中位数是3，唯一的众数是7，则这5个数的平均数是__________．

14．如图，边长为2的正方形MNEF的四个顶点在大圆O上，小圆O与正方形各边都相切，AB与CD是大圆O的直径，AB⊥CD，CD⊥MN，则图中阴影部分的面积是__________．


15．如图，等边三角形ABC中，AB=3，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，沿直线DE折叠△ABC，当点A的对应点A′与△ABC的中心O重合时，折痕DE的长为__________．



三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．先化简，再求值：（+2﹣x）÷，其中x满足x2﹣4x+3=0．

17．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为CB边上一动点，CD=BC，连接AD，CE⊥AD于点E，延长线BE交AC于点F．
（1）若n=3，则=__________，=__________；
（2）若n=2，求证：AF=2FC；
（3）若F为AC的中点，请直接写出n的值．


18．居民区内的“广场舞”引起社会关注，小明想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行了一次抽样调查，把居民对“广场舞”的看法分为四个层次：A．非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同．并将调查结果绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．
（1）图2中“C”层次所在扇形的圆心角的度数为__________；
（2）估计该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有多少．


19．如图，在电线杆上的E处引拉线EC和EB固定电线杆，在离电线杆6米的A处安置测角仪（点A，C，F在一直线上），在D处测得电线杆上E处的仰角为37°，已知测角仪的高AD为1.5米，AC为3米，求拉线EC的长．（精确到0.1米）


20．如图，已知双曲线y=﹣与两直线y=﹣x，y=﹣kx（k＞0，且k≠）分别相交于A、B、C、D四点．
（1）当点C的坐标为（﹣1，1）时，A、B、D三点坐标分别是A（__________，__________），B（__________，__________），D（__________，__________）．
（2）证明：以点A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形．
（3）当k为何值时，▱ADBC是矩形．


21．随着生活质量的提高，人们健康意识逐渐增强，安装净水设备的百姓家庭越来越多．某厂家从去年开始投入生产净水器，生产净水器的总量y（台）与今年的生产天数x（天）的关系如图所示．今年生产90天后，厂家改进了技术，平均每天的生产数量达到30台．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）已知该厂家去年平均每天的生产数量与今年前90天平均每天的生产数量相同，求厂家去年生产的天数；
（3）如果厂家制定总量不少于6000台的生产计划，那么在改进技术后，至少还要多少天完成生产计划？


22．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P；
（1）如AE=CF=2，
①试判断AF与BE的数量关系，并说明你的理由；
②试求AP•AF的值；
（2）若AF=BE，当点E从A运动到点C时，请直接写出点P经过的路径长．


23．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点与y轴交于点C，动点P在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，请直接写出点P的坐标．




2016年陕西省西安市西工大附中中考数学模试卷答案


一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案前的字母填入题后的括号内
1．下列四个实数中，是无理数的是( )
A．0 B．﹣3 C． D．
【考点】无理数．
【分析】根据无理数的三种形式求解．
【解答】解：=2，为无理数．
故选D．
【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．

2．下列计算正确的是( )
A．（a﹣b）2=a2﹣b2 B．a6÷a2=a3 C．=3 D．﹣（﹣2）0=1
【考点】同底数幂的除法；立方根；完全平方公式；零指数幂．
【分析】结合选项分别进行同底数幂的除法、完全平方公式、零指数幂等运算，然后选择正确选项．
【解答】解：A、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，原式计算错误，故本选项错误；
B、a6÷a2=a4，原式计算错误，故本选项错误；
C、=3，原式计算正确，故本选项正确；
D、﹣（﹣2）0=﹣1，原式计算错误，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了同底数幂的除法、完全平方公式、零指数幂等等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．

3．如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是( )

A．40° B．50° C．60° D．140°
【考点】平行线的性质；直角三角形的性质．
【专题】探究型．
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再根据直角三角形的性质即可得出∠2的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1=40°，
∴∠3=∠1=40°，
∵DB⊥BC，
∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣40°=50°．
故选B．

【点评】本题考查的是平行线的性质及直角三角形的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．

4．方程x（x﹣2）+x﹣2=0的解为( )
A．x=2 B．x1=2，x2=1 C．x=﹣1 D．x1=2，x2=﹣1
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：分解因式得：（x﹣2）（x+1）=0，
可得x﹣2=0或x+1=0，
解得：x1=2，x2=﹣1．
故选D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

5．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为( )

A．x＜ B．x＜3 C．x＞ D．x＞3
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】先根据函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点A的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x＜ax+4的解集．
【解答】解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），
∴3=2m，
m=，
∴点A的坐标是（，3），
∴不等式2x＜ax+4的解集为x＜；
故选A．
【点评】此题考查的是用图象法来解不等式，充分理解一次函数与不等式的联系是解决问题的关键．

6．由n个大小相同的小正方形搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则n的最大值为( )

A．11 B．12 C．13 D．14
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】根据所给出的图形可知这个几何体共有2层，3列，先看第一层正方体可能的最多个数，再看第二层正方体的可能的最多个数，相加即可．
【解答】解：根据主视图和左视图可得：
这个几何体有2层，3列，最底层最多有3×3=9个正方体，第二层有4个正方体，
则搭成这个几何体的小正方体的个数最多是9+4=13个；
故选C．
【点评】此题考查了有三视图判断几何体，关键是根据主视图和左视图确定组合几何体的层数及列数．

7．如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为( )

A．4 B． C． D．5
【考点】菱形的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】连接BD，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=AC，然后根据勾股定理计算出BO长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式BC•AE=AC•BD可得答案．
【解答】解：连接BD，交AC于O点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∴AC⊥BD，AO=AC，BD=2BO，
∴∠AOB=90°，
∵AC=6，
∴AO=3，
∴B0==4，
∴DB=8，
∴菱形ABCD的面积是×AC•DB=×6×8=24，
∴BC•AE=24，
AE=，
故选：C．

【点评】此题主要考查了菱形的性质，以及菱形的性质面积，关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分．

8．如图，某天早晨王老师沿⊙M的半圆形M→A→B→M路径匀速散步，此时王老师离出发点M的距离y与时间x之间的函数关系的大致图象是( )

A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】当王老师在 上散步时，随着时间的变化，离出发点的距离是不变的，那么此时这段函数图象应与x轴平行，进而根据在半径OA和OB上所用时间及在 上所用时间的大小可得正确选项．
【解答】解：王老师在上散步时，随着时间的变化，离出发点的距离是不变的，
∴应排除A，B，
∵的长度大于OA+OB的和，
∴王老师在所用的时间应大于在OA和OB上所用的时间的和，排除C．
故选D．
【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象；用排除法进行判断是常用的解题方法．

二、填空题（每小题3分，共21分）
9．计算：1﹣3×（﹣2）=7．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】原式先计算乘法运算，再计算减法运算即可得到结果．
【解答】解：原式=1+6=7，
故答案为：7
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

10．已知一粒大米的质量约为0.000021千克，这个数用科学记数法表示为2.1×10﹣5．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】计算题．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 021=2.1×10﹣5．
故答案为：2.1×10﹣5．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

11．如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC=110°．连接AC，则∠A的度数是35°．

【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】几何图形问题．
【分析】首先连接OC，由BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC=110°，可求得∠BOC的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．
【解答】解：连接OC，
∵BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，
∴OC⊥CD，OB⊥BD，
∴∠OCD=∠OBD=90°，
∵∠BDC=110°，
∴∠BOC=360°﹣∠OCD﹣∠BDC﹣∠OBD=70°，
∴∠A=∠BOC=35°．
故答案为：35．

【点评】此题考查了切线的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

12．将抛物线y=﹣2x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到抛物线的顶点坐标为（1，2）．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．
【解答】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，将抛物线y=﹣2x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位所得抛物线的表达式是y=﹣2（x﹣1）2+2．
所以平移后抛物线的顶点坐标是（1，2）．
故答案是：（1，2）．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．

13．有5个从小到大排列的正整数，其中位数是3，唯一的众数是7，则这5个数的平均数是4．
【考点】算术平均数；中位数；众数．
【分析】利用中位数、众数的定义确定这5个数，然后根据平均数的计算公式进行计算即可．
【解答】解：根据题意可知，这5个数是7，7，3，2，1．
所以和为7+7+3+2+1=20．
所以平均数为4，
故答案为：4．
【点评】考查了算术平均数、中位数及众数的知识，将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．

14．如图，边长为2的正方形MNEF的四个顶点在大圆O上，小圆O与正方形各边都相切，AB与CD是大圆O的直径，AB⊥CD，CD⊥MN，则图中阴影部分的面积是π．

【考点】旋转的性质．
【专题】计算题．
【分析】由于图形是中心对称图形，则利用旋转把图中阴影部分可整合为扇形OBC，然后根据扇形的面积公式求解．
【解答】解：∵小圆O与正方形各边都相切，AB与CD是大圆O的直径，AB⊥CD，CD⊥MN，
∴图形是中心对称图形，大圆的半径为，
∴图中阴影部分的面积=S扇形OBC==π．
故答案为π．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

15．如图，等边三角形ABC中，AB=3，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，沿直线DE折叠△ABC，当点A的对应点A′与△ABC的中心O重合时，折痕DE的长为1．

【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】如图所示，过点O作OF⊥AC，垂足为F．连接OA=OC．先求得AO的长，由翻折的性质可知AG=，然后可求得∠ADE=60°，最后根据特殊锐角三角函数值可求得DG的长度，从而可求得DE的长．
【解答】解：如图所示，过点O作OF⊥AC，垂足为F．连接OA=OC．

∵点O为等边三角形的中心，
∴OA=OC．∠OAF=30°．
又∵OF⊥AC，
∴AF=CF=1.5
∴OA===．
由翻折的性质可知：AG==．
∵DE∥BC，
∴∠ADG=∠B=60°．
∴，即．
∴DG=．
∴DE=1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、特殊锐角三角函数值，由点A′与等边三角形的中线重合求得AF、OA的长是解题的关键．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．先化简，再求值：（+2﹣x）÷，其中x满足x2﹣4x+3=0．
【考点】分式的化简求值；解一元二次方程-因式分解法．
【分析】通分相加，因式分解后将除法转化为乘法，再将方程的解代入化简后的分式解答．
【解答】解：原式=÷
=•
=﹣，
解方程x2﹣4x+3=0得，
（x﹣1）（x﹣3）=0，
x1=1，x2=3．
当x=1时，原式无意义；当x=3时，原式=﹣=﹣．
【点评】本题综合考查了分式的混合运算及因式分解同时考查了一元二次方程的解法．在代入求值时，要使分式有意义．

17．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为CB边上一动点，CD=BC，连接AD，CE⊥AD于点E，延长线BE交AC于点F．
（1）若n=3，则=3，=9；
（2）若n=2，求证：AF=2FC；
（3）若F为AC的中点，请直接写出n的值．

【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）通过证明△CED∽△ACD，根据相似比即可求得CE：DE的长，同理可求得AE：DE的值．
（2）根据已知可求得△GED∽△AFE，根据相似比即可求得AF，FC的关系．
（3）要使AF=CF，必需n2=（n﹣1）：n．
【解答】解：（1）由题意得，∠DEC=∠DCA=90°，∠EDC=∠CDA，
∴△CED∽△ACD．
∴CE：DE=AC：CD．
∵AC=BC，
∴AC：CD=n=3．
∴CE：DE=3．
同理可得：AE：DE=9．
故答案为：3，9．
（2）如图，当n=2时，D为BC的中点，取BF的中点G，连接DG，
则DG=FC，DG∥FC．
∵CE⊥AD，∠ACB=90°，
∴∠ECD+∠EDC=∠CAD+∠ADC=90°．
∴∠ECD=∠CAD．
∵tan∠ECD=，tan∠CAD==，
∴==．
∵AC=BC，BC=2DC，
∴===．
∴=．
∵DG∥FA，
∴△GDE∽△FAE．
∴=．
∴DG=AF．
∵DG=FC，
∴AF=2FC．
（3）如图，∵BC=nDC，
∴DC：BC=1：n，
∴DC：AC=1：n，
∴DE：CE：AE=1：n：n2；
∴DG：AF=1：n2；
又∵DG：CF=DB：BC=（BC﹣CD）：BC=（n﹣1）：n
要使AF=CF，必需n2=n：（n﹣1），（n＞0）
∴当n=，F为AC的中点．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，关键是根据相似三角形得出线段之间的比例关系，进而得出所求线段与n之间的关系．

18．居民区内的“广场舞”引起社会关注，小明想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行了一次抽样调查，把居民对“广场舞”的看法分为四个层次：A．非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同．并将调查结果绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．
（1）图2中“C”层次所在扇形的圆心角的度数为72°；
（2）估计该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有多少．

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）用360°乘以C层次的人数所占的百分比，即可得“C”层次所在扇形的圆心角的度数；
（2）求出样本中A层次与B层次的百分比之和，乘以4000即可得到结果．
【解答】解：（1）360°×20%=72°．
答：“C”层次所在扇形的圆心角的度数为72°．
故答案为：72°．
（2）调查的总人数为90÷30%=300（人），
D所占的百分比：30÷300=10%
B所占的百分比：1﹣20%﹣30%﹣10%=40%，
4000×（30%+40%）=2800（人）．
答：估计该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有2800．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．

19．如图，在电线杆上的E处引拉线EC和EB固定电线杆，在离电线杆6米的A处安置测角仪（点A，C，F在一直线上），在D处测得电线杆上E处的仰角为37°，已知测角仪的高AD为1.5米，AC为3米，求拉线EC的长．（精确到0.1米）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】由题意可先过点D作DM⊥EF，垂足为M，在Rt△EMD中，可求出EM，进而EF=EM+MF，再在Rt△CEF中，求出CE的长．
【解答】解：过点D作DM⊥EF，垂足为M，
由题意可知四边形ADMF为矩形，
∴DM=AF=6，MF=DA=1.5，
在Rt△EMD中，EM=DM•tan∠EDM=6tan37°，
∴EF=EM+MF，DM=AF=6tan37°，
∴EF=EM+MF=6tan37°+1.5．
∵AC=3，
∴CF=AF﹣AC=3，
在Rt△CEF中，CE=≈6.7．
答：拉线CE的长为6.7米．

【点评】此题主要考查解直角三角形的应用．要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．

20．如图，已知双曲线y=﹣与两直线y=﹣x，y=﹣kx（k＞0，且k≠）分别相交于A、B、C、D四点．
（1）当点C的坐标为（﹣1，1）时，A、B、D三点坐标分别是A（﹣2，），B（2，﹣），D（1，﹣1）．
（2）证明：以点A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形．
（3）当k为何值时，▱ADBC是矩形．

【考点】反比例函数综合题；两点间的距离公式；一次函数的应用；平行四边形的判定与性质；矩形的判定．
【专题】综合题．
【分析】（1）由C坐标，利用反比例函数的中心对称性确定出D坐标，联立双曲线y=﹣与直线y=﹣x，求出A与B坐标即可；
（2）由反比例函数为中心对称图形，利用中心对称性质得到OA=OB，OC=OD，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形即可得证；
（3）由A与B坐标，利用两点间的距离公式求出AB的长，联立双曲线y=﹣与直线y=﹣kx，表示出CD的长，根据对角线相等的平行四边形为矩形，得到AB=CD，即可求出此时k的值．
【解答】解：（1）∵C（﹣1，1），C，D为双曲线y=﹣与直线y=﹣kx的两个交点，且双曲线y=﹣为中心对称图形，
∴D（1，﹣1），
联立得：，
消去y得：﹣x=﹣，即x2=4，
解得：x=2或x=﹣2，
当x=2时，y=﹣；当x=﹣2时，y=，
∴A（﹣2，），B（2，﹣）；
故答案为：﹣2，，2，﹣，1，﹣1；

（2）∵双曲线y=﹣为中心对称图形，且双曲线y=﹣与两直线y=﹣x，y=﹣kx（k＞0，且k≠）分别相交于A、B、C、D四点，
∴OA=OB，OC=OD，
则以点A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形；

（3）若▱ADBC是矩形，可得AB=CD，
联立得：，
消去y得：﹣=﹣kx，即x2=，
解得：x=或x=﹣，
当x=时，y=﹣；当x=﹣时，y=，
∴C（﹣，），D（，﹣），
∴CD==AB==，
整理得：（4k﹣1）（k﹣4）=0，
k1=，k2=4，
又∵k≠，∴k=4，
则当k=4时，▱ADBC是矩形．
【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与反比例函数的交点，平行四边形，矩形的判定，两点间的距离公式，以及中心图形性质，熟练掌握性质是解本题的关键．

21．随着生活质量的提高，人们健康意识逐渐增强，安装净水设备的百姓家庭越来越多．某厂家从去年开始投入生产净水器，生产净水器的总量y（台）与今年的生产天数x（天）的关系如图所示．今年生产90天后，厂家改进了技术，平均每天的生产数量达到30台．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）已知该厂家去年平均每天的生产数量与今年前90天平均每天的生产数量相同，求厂家去年生产的天数；
（3）如果厂家制定总量不少于6000台的生产计划，那么在改进技术后，至少还要多少天完成生产计划？

【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】应用题；数与式．
【分析】（1）本题是一道分段函数，当0≤x≤90时和x＞90时由待定系数法就可以分别求出其结论；
（2）由（1）的解析式求出今年前90天平均每天的生产数量，由函数图象可以求出去年的生产总量就可以得出结论；
（3）设改进技术后，至少还要a天完成不少于6000台的生产计划，根据前90天的生产量+改进技术后的生产量≥6000建立不等式求出其解即可．
【解答】解：（1）当0≤x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由函数图象，得
，
解得：．
则y=20x+900．
当x＞90时，由题意，得y=30x．
∴y=；

（2）由题意，得
∵x=0时，y=900，
∴去年的生产总量为900台．
今年平均每天的生产量为：（2700﹣900）÷90=20台，
厂家去年生产的天数为：900÷20=45天．
答：厂家去年生产的天数为45天；

（3）设改进技术后，还要a天完成不少于6000台的生产计划，由题意，得
2700+30a≥6000，
解得：a≥110．
答：改进技术后，至少还要110天完成不少于6000台的生产计划．
【点评】本题考查了分段函数的运用，待定系数法起一次函数的解析式的运用，列不等式解实际问题的运用，解答时求出一次函数的解析式及分析函数图象的意义是关键．

22．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P；
（1）如AE=CF=2，
①试判断AF与BE的数量关系，并说明你的理由；
②试求AP•AF的值；
（2）若AF=BE，当点E从A运动到点C时，请直接写出点P经过的路径长．

【考点】相似形综合题．
【分析】（1）①证明△ABE≌△CAF，借用外角即可以得到答案；
②利用勾股定理求得AF的长度，再根据平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理求得的比值，即可以得到答案．
（2）当点F靠近点C的时候点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案．点F靠近点B时，点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度，然后综合上述两种情况可得到图3和图4两种情况．
【解答】（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，
又∵AE=CF，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（SAS）．
∴AF=BE．
②△ABE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE=∠FAC．
∴∠APE=∠ABP+∠BAP=∠BAP+∠FAC=60°．
∴∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，
∴△APE∽△ACF，
∴，即 ．
∴AP•AF=12．
（2）①如图1所示：当AE=CF时，点P的路径是一段弧．

由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，
∴∠AOB=120°，
又∵AB=6，
∴OA=2．
∴点P的路径是l===．
②如图2所示，当AE=BF时，过点C作CH⊥AB垂足为H．
点P的路径就是过点C向AB作的垂线段HC的长度．

∵等边三角形ABC的边长为6，CH⊥AB．
∴BH=3．
∴点P的路径CH===3．
③如图3所示：

．
∵OA=0B，CA=CB，
∴OC垂直平分AB．
又∵∠AOB=120°，
∴∠AOG=60°．
∴OD=ADtan30°=3×=．OA=2OD=2．
∴DG=OG﹣OD=2=．
∴GC=3=2．
所以点P经过的轨迹=+GC=+2．
④如图4所示：

由③可知：DG=，==．
所以点P经过的轨迹==+．
综上所述，点P经过的轨迹的长度为或3或+2或．
【点评】本题考查了等边三角形性质的综合应用以及相似三角形的判定及性质的应用，解答本题的关键是注意转化思想的运用．

23．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点与y轴交于点C，动点P在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，请直接写出点P的坐标．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）将A、B两点的坐标分别代入y=﹣x2+bx+c，运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；
（2）可分两种情况（①以C为直角顶点，②以A为直角顶点）讨论，然后根据点P的纵、横坐标之间的关系建立等量关系，就可求出点P的坐标；
（3）连接OD，易得四边形OFDE是矩形，则OD=EF，根据垂线段最短可得当OD⊥AC时，OD（即EF）最短，然后只需求出点D的纵坐标，就可得到点P的纵坐标，就可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点，
∴，
解得：，
则抛物线的解析式是y=﹣x2+3x+4；

（2）存在．
①当以C为直角顶点时，
过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1，
过点P1作y轴的垂线，垂足是M，如图1．
∵∠ACP1=90°，
∴∠MCP1+∠ACO=90°．
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠MCP1=∠OAC．
∵OA=OC=4，
∴∠MCP1=∠OAC=45°，
∴∠MCP1=∠MP1C，
∴MC=MP1，
设P（m，﹣m2+3m+4），
则m=﹣m2+3m+4﹣4，
解得：m1=0（舍去），m2=2．
∴m=2，
此时﹣m2+3m+4=6，
∴P1的坐标是（2，6）；
②当点A为直角顶点时，
过A作AP2⊥AC交抛物线于点P2，
过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F，如图2，则P2N∥x轴，
∵∠CAO=45°，
∴∠OAP2 =45°，
∴∠FP2N=45°，AO=OF，
∴P2N=NF，
设P2（n，﹣n2+3n+4），
则﹣n+4=﹣（﹣n2+3n+4），
解得：n1=﹣2，n2=4（舍去），
∴n=﹣2，
此时﹣n2+3n+4=﹣6，
∴P2的坐标是（﹣2，﹣6）．
综上所述：P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）；

（3）当EF最短时，点P的坐标是（，2）或（，2）．
解题过程如下：
连接OD，如图3，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．
根据垂线段最短可得：当OD⊥AC时，OD（即EF）最短．
由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4．
根据等腰三角形的性质可得：D是AC的中点．
又∵DF∥OC，
∴△AFD∽△AOC，
∴==，
∴DF=OC=2，
∴点D的纵坐标是2，
∴点P的纵坐标也是2，
解﹣x2+3x+4=2，得x1=，x2=，
∴点P的坐标为（，2）或（，2）．



【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到用待定系数法求抛物线的解析式、抛物线上点的坐标特征、等腰三角形的性质、矩形的性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，有一定的综合性，运用分类讨论的思想是解决第（2）小题的关键，根据矩形的性质将EF转化为OD，然后利用垂线段最短是解决第（3）小题的关键．