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初中数学人教版七年级下册第八章 二元一次方程组综合与测试测试题
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这是一份初中数学人教版七年级下册第八章 二元一次方程组综合与测试测试题，文件包含2020--2021人教版七年级数学下学期第八章二元一次方程组考点梳理原卷版docx、2020--2021人教版七年级数学下学期第八章二元一次方程组考点梳理解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共61页， 欢迎下载使用。
人教版七年级数学下学期 第八章 二元一次方程组考点梳理
【考点1 二元一次方程的定义】
【方法点拨】二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫
做二元一次方程．二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所
有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
【例1】（2020春•雨花区校级期中）下列等式：①2x+y＝4；②3xy＝7；③x2+2y＝0；④1x-2＝y；⑤2x+y+z＝1，二元一次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用二元一次方程的定义判断即可．
【解答】解：①2x+y＝4是二元一次方程；
②3xy＝7是二元二次方程；
③x2+2y＝0是二元二次方程；
④1x-2＝y是分式方程；
⑤2x+y+z＝1是三元一次方程，
故选：A．
【点评】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．
【变式1-1】（2020春•三台县期中）如果5x3m﹣2n﹣2yn﹣m+11＝0是二元一次方程，则2m﹣n＝（ ）
A．﹣2 B．3 C．4 D．2
【分析】根据二次一次方程的定义得出关于方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：∵5x3m﹣2n﹣2yn﹣m+11＝0是二元一次方程，
∴3m-2n=1n-m=1，
解得：m＝3，n＝4，
∴2m﹣n＝6﹣4＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程的定义，能得出关于m、n的方程组是解此题的关键．
【变式1-2】（2020春•巴州区校级期中）若ax+4y＝3x﹣7是关于x，y的二元一次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠﹣2 B．a≠0 C．a≠3 D．a≠﹣1
【分析】根据二元一次方程的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：（a﹣3）x+4y＝﹣7，
∴a≠3，
故选：C．
【点评】本题考查二元一次方程，解题的关键是正确理解二元一次方程的定义，本题属于基础题型．
【变式1-3】（2020春•邗江区校级期中）若（a﹣1）x|a|﹣1+3y＝1是关于x、y的二元一次方程，则a＝（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．2和﹣2
【分析】利用二元一次方程定义可得答案．
【解答】解：由题意得：|a|﹣1＝1，且a﹣1≠0，
解得：a＝±2，
故选：D．
【点评】此题主要考查了二元一次方程定义，关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
【考点2 二元一次方程的解】
【方法点拨】一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一
次方程有无数解．
【例2】（2020春•吴中区期末）已知x=1y=2是关于x、y的方程ax+by＝3的一组解，则2a+4b﹣1的值为（ ）
A．2 B．﹣5 C．5 D．4
【分析】把x=1y=2代入方程ax+by＝3得出a+2b＝3，再变形，最后代入求出即可．
【解答】解：∵x=1y=2是关于x、y的方程ax+by＝3的一组解，
∴代入得：a+2b＝3，
∴2a+4b﹣1＝2（a+2b）﹣1＝2×3﹣1＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的解和求代数式的值，能够整体代入是解此题的关键．
【变式2-1】（2020春•衢州期末）若x=-2y=m是方程nx+6y＝4的一个解，则代数式3m﹣n+1的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
【分析】把x=-2y=m代入方程nx+6y＝4得出﹣2n+6m＝4，求出3m﹣n＝2，再代入求出即可．
【解答】解：∵x=-2y=m是方程nx+6y＝4的一个解，
∴代入得：﹣2n+6m＝4，
∴3m﹣n＝2，
∴3m﹣n+1＝2+1＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的解和求代数式的值，能求出3m﹣n＝2是解此题的关键．
【变式2-2】（2020春•雨花区校级月考）已知x=ay=b是二元一次方程4x﹣7y＝8的一个解，则代数式17﹣8a+14b的值是 ．
【分析】先把方程的解代入二元一次方程，得到关于a、b的方程，变形17﹣8a+14b后整体代入求值．
【解答】解：∵x=ay=b是二元一次方程4x﹣7y＝8的一个解，
∴4a﹣7b＝8，
∴17﹣8a+14b
＝17﹣2（4a﹣7b）
＝17﹣2×8
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了二元一次方程的解及代数式的求值，解决本题的关键是变形要求代数式，整体代入．
【变式2-3】（2020春•崇川区校级期中）已知关于x、y的二元一次方程（3a+2）x﹣（2a﹣3）y﹣11﹣10a＝0，无论a取何值，方程都有一个固定的解，则这个固定解为 ．
【分析】将原式进行变换后即可求出这个固定解．
【解答】解：由题意可知：（3a+2）x﹣（2a﹣3）y﹣11﹣10a＝（3x﹣2y﹣10）a+2x+3y﹣11＝0，
由于无论a取任何实数，该二元一次方程都有一个固定的解，
∴列出方程组3x-2y-10=02x+3y-11=0，
解得：x=4y=1．
故答案为：x=4y=1．
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是根据题意列出方程组，本题属于中等题型．
【考点3 二元一次方程的整数解】
【方法点拨】在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一
个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
【例3】（2020春•天宁区校级期中）二元一次方程2x+3y＝8有多少个正整数解？（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】要求二元一次方程2x+3y＝8的正整数解，首先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，分析解的情况．
【解答】解：由已知得y=8-2x3，
要使x，y都是正整数，
必须满足：①8﹣2x大于0；②8﹣2x是3的倍数．
根据以上两个条件可知，合适的x值只能是x＝1，相应的y＝2．
故选：B．
【点评】考查了二元一次方程的解，本题是求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．
【变式3-1】（2020春•雨花区校级月考）二元一次方程2x+y＝7的非负整数解有（ ）组．
A．2 B．3 C．5 D．4
【分析】根据二元一次方程的非负数解的意义，解决本题可用试验的办法．
【解答】解：由题意知x、y均为非负整数，
∴当x＝0时，y＝7；
当x＝1时，y＝5；
x＝2时，y＝3；
x＝3时，y＝1．
故满足条件的非负整数有四组．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，理解非负整数是解决本题的关键．非负整数就是正整数和0．
【变式3-2】（2020•汉阳区校级期末）我们探究得方程x+y＝2的正整数解只有1组，方程x+y＝3的正整数解只有2组，方程x+y＝4的正整数解只有3组，……，那么方程x+y+z＝9的正整数解得组数是（ ）
A．27 B．28 C．29 D．30
【分析】先把x+y看作整体t，得到t+z＝9的正整数解有7组；再分析x+y分别等于2、3、4、……9时对应的正整数解组数；把所有组数相加即为总的解组数．
【解答】解：令x+y＝t（t≥2），则t+z＝9的正整数解有7组（t＝2，t＝3，t＝4，……t＝7）
其中t＝x+y＝2的正整数解有1组，t＝x+y＝3的正整数解有2组，t＝x+y＝4的正整数解有3组，……t＝x+y＝8的正整数解有7组，
∴总的正整数解组数为：1+2+3+……+7＝28
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，可三元方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算．
【变式3-3】（2020春•江岸区期末）关于x、y的方程2x+ay＝7仅有一组正整数解，则满足条件的正整数a的值为 ．
【分析】采用列举法根据x的所有值代入求得a的所有正整数解即可．
【解答】解：2x+ay＝7，
ay＝7﹣2x，
①当x＝1时，7﹣2x＝5，
∴ay＝5，
∴a＝1，y＝5（舍）或a＝5，y＝1，
②当x＝2时，7﹣2x＝3，
∴ay＝3，
∴a＝1，y＝3（舍）或a＝3，y＝1，
③当x＝3时，7﹣2x＝1，
∴ay＝1，
∴a＝1，y＝1（舍），
综上，满足条件的正整数a的值为5或3，
故答案为：5或3．
【点评】本题主要考查的是二元一次方程的解，应用列举法求解是解题的关键．
【考点4 二元一次方程组的定义】
【方法点拨】二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方
程组．二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未
知数．③每个方程都是一次方程．
【例4】（2020春•南岗区校级月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．x+3y=52x-3y=7 B．m2+3n=1m6+23n=1
C．m+n=5mn=6 D．2x+3y=101x-5y=6
【分析】根据二元一次方程组的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是二元一次方程组，故本选项符合题意；
B．是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C．是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D．第二个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，能熟记二元一次方程组的定义的内容是解此题的关键．
【变式4-1】（2020春•潍坊期中）在方程组2x-y=1y=3z+1，x=23y-x=1，x+y=03x-y=5，xy=1x+2y=3，1x+1y=1x+y=1 中，是二元一次方程组的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【解答】解：2x-y=1y=3z+1有三个未知数，故不是二元一次方程组；
x=23y-x=1符合二元一次方程组的定义；
x+y=03x-y=5符合二元一次方程组的定义；
xy=1x+2y=3xy的次数是二次，不是二元一次方程组；
1x+1y=1x+y=1 中有分式不是二元一次方程组，
故选：A．
【点评】一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．
【变式4-2】（2020春•涪城区期末）若方程组y|m|+(2-n)xy=2(m-1)x=3是关于x，y的二元一次方程组，则mn＝ ．
【分析】先根据二元一次方程组的概念得出|m|=12-n=0m-1≠0，据此求出m、n的值，代入计算可得．
【解答】解：根据题意知，|m|=12-n=0m-1≠0，
解得m＝﹣1，n＝2，
则mn＝（﹣1）2＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是一元二次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．
②方程组中共含有两个未知数．
③每个方程都是一次方程．
【变式4-3】（2020春•水磨沟区校级期中）方程组y-(a-1)x=5y|a|+(b-5)xy=3是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是 ．
【分析】利用二元一次方程组的定义确定出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：由题意得：|a|＝1，b﹣5＝0，a﹣1≠0，
解得：a＝﹣1，b＝5，
则原式＝（﹣1）5＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键．
【考点5 解二元一次方程组】
【方法点拨】解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（代入消元法）．或者，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数，把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（加减消元法）．②解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．③将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．④把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
【例5】（2020春•蔡甸区校级月考）用规定的方法解方程组：
（1）2x-3y=1y=x-4（用代入法）；
（2）4x-2y=53x-4y=15（用加减法）．
【分析】（1）利用代入消元法求解可得；
（2）利用加减消元法求解可得．
【解答】解：（1）2x-3y=1①y=x-4②，
将②代入①，得：2x﹣3（x﹣4）＝1，
解得x＝11，
将x＝11代入②，得：y＝11﹣4＝7，
∴方程组的解为x=11y=7；
（2）4x-2y=5①3x-4y=15②，
①×2﹣②，得：5x＝﹣5，
解得x＝﹣1，
将x＝﹣1代入①，得：﹣4﹣2y＝5，
解得y=-92，
∴方程组的解为x=-1y=-92．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式5-1】（2020春•涧西区校级期中）解下列方程组：
（1）2x-5y=-12x+3y=7；
（2）x+y3+x-y2=63(x+y)-2(x-y)=28．
【分析】（1）利用加减消元法解方程组得出答案．
（2）方程组整理后，利用加减消元法解方程组得出答案．
【解答】解：（1）2x-5y=-1①2x+3y=7②
②﹣①得，8y＝8，
解得y＝1，
把y＝1代入①得：x＝2，
∴x=2y=1；
（2）方程组整理得5x-y=36①x+5y=28②，
①×5+②得，26x＝208，
解得x＝8，
把x＝8代入①得，y＝4，
∴x=8y=4．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的问题，正确掌握基本解题思路是解题关键．
【变式5-2】（2020春•内乡县期中）用适当的方法解下列方程组：
（1）3x-13y=-16x+3y=2；
（2）2x-15+3y-24=23x+15-3y+24=0．
【分析】各方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）3x-13y=-16①x+3y=2②，
②×3﹣①得：22y＝22，
解得：y＝1，
把y＝1代入②点到：x＝﹣1，
则方程组的解为x=-1y=1；
（2）方程组整理得：8x+15y=54①12x-15y=6②，
①+②得：20x＝60，
解得：x＝3，
把x＝3代入①得：y＝2，
则方程组的解为x=3y=2．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式5-3】（2020春•遂平县期中）解方程组：2x-15+0.3y-0.20.4=2①3x+15-0.03y+0.020.04=0②．
【分析】变形后①+②求出x＝3，把x＝3代入①得出1+3y-24=2，求出y即可．
【解答】解：变形为：2x-15+3y-24=2①3x+15-3y+24=0②，
①+②得：x＝3，
把x＝3代入①得：1+3y-24=2，
解得：y＝2，
所以方程组的解是x=3y=2．
【点评】本题考查了解二元一次方程，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
【考点6 二元一次方程组的解（同解方程组）】
【例6】（2020春•市中区校级月考）已知关于x，y的方程组3x+2y=16k5x-4y=-10k的解也满足方程4x﹣3y＝21，求k的值．
【分析】先求出方程组的解，代入4x﹣3y＝21，即可求出k的值．
【解答】解：3x+2y=16k①5x-4y=-10k②，
①×2+②得：11x＝22k，
解得：x＝2k，
把x＝2k代入①得：6k+2y＝16k，
解得：y＝5k，
∵4x﹣3y＝21，
∴8k﹣15k＝21，
解得：k＝﹣3．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和解一元二次方程，能得出关于k的一元一次方程是解此题的关键．
【变式6-1】（2020春•市中区校级月考）已知关于x，y的方程组2x-3y=3ax+by=-1和2ax+3by=33x+2y=11的解相同，求（3a+b）2020的值．
【分析】因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值，代入（3a+b）2020计算即可．
【解答】解：由题意可得2x-3y=33x+2y=11，
解得x=3y=1，
将x=3y=1代入ax+by=-12ax+3by=3得3a+b=-16a+3b=3，
解得a=-2b=5，
∴（3a+b）2020＝（﹣6+5）2020＝1．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解答此题的关键是根据两方程组有相同的解得到关于x、y的方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含a、b的方程组即可求出a、b的值，即可求出代数式的值．
【变式6-2】（2020春•淮阳区期末）已知关于x，y的两个二元一次方程组2x+26=-5ymx=ny-4和3x=5y+36nx+my+8=0的解相同，求（m+2n）188的值．
【分析】先根据两个方程组的解相同得2x+26=-5y3x=5y+36，解之求出x、y的值，继而可得关于m、n的方程组，解之求出m、n的值后代入计算可得．
【解答】解：由两个方程组的解相同，得2x+26=-5y3x=5y+36，
解得x=2y=-6，
所以有：2m=-6n-42n-6m+8=0，
解得m=1n=-1，
所以（m+2n）188＝（1﹣2）188＝1．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的解的概念及解二元一次方程组的能力．
【变式6-3】（2019春•覃塘区期中）已知关于x，y的二元一次方程组2x-3y=a+6x+2y=2a-8的解满足x﹣y＝a，求x2﹣y2的值．
【分析】运用加减消元法解出关于x，y的二元一次方程组，把方程组的解代入x﹣y＝a，求出a的值，代入计算得到方程组的解．
【解答】解：2x-3y=a+6①x+2y=2a-8②，
②×2﹣①得，
y=37a-227，
把y=37a-227代入②得x=87a-127，
则87a-127-（37a-227）＝a，
解得a＝5．
故方程组的解为x=4y=-1，
x2﹣y2＝16﹣1＝15．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的解，灵活运用加减消元法解方程组是解题的关键．
【考点7 二元一次方程组的解（看错问题）】
【例7】（2020春•华亭市期末）在解关于x，y的方程组ax+by=2cx-7y=8时，老师告诉同学们正确的解是x=3y=-2，小明由于看错了系数c，因而得到的解为x=-2y=2，试求a+b+c的值．
【分析】将两对x与y的值代入方程组中第一个方程，求出a，b的值，将第一对x与y的值代入方程组第二个方程求出c的值即可．
【解答】解：将x＝3，y＝﹣2；x＝﹣2，y＝2分别代入方程组第一个方程得：3a-2b=2①-a+b=1②，
①+②×2得：a＝4，
将a＝4代入②得：b＝5，
将x＝3，y＝﹣2代入方程组第二个方程得：3c+14＝8，即c＝﹣2，
则a+b+c＝7．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
【变式7-1】（2020春•房县期末）小红和小风两人在解关于x，y的方程组ax+3y=5bx+2y=8时，小红只因看错了系数a，得到方程组的解为x=-1y=2，小风只因看错了系数b，得到方程组的解为x=1y=4，求a，b的值和原方程组的解．
【分析】把两组解分别代入正确的方程可求得a和b，可得出原方程组，再解原方程组即可．
【解答】解：根据题意，x=-1y=2 不满足方程ax+3y＝5，但应满足方程bx+2y＝8，
代入此方程，得﹣b+4＝8，解得b＝﹣4．
同理，将x=1y=4代入方程ax+3y＝5，得a+12＝5，
解得a＝﹣7．
所以原方程组应为-7x+3y=5-4x+2y=8，
解得x=7y=18．
【点评】本题主要考查方程组解的定义，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题的关键．
【变式7-2】（2020春•新洲区期中）甲、乙两人同时解方程组mx+y=5①2x-ny=13②甲解题看错了①中的m，解得x=72y=-2，乙解题时看错②中的n，解得x=3y=-7，试求原方程组的解．
【分析】把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值；把m与n的值代入方程组求出解即可．
【解答】解：（1）把x=72y=-2代入②得：7+2n＝13，
解得：n＝3，
把x=3y=-7代入①得：3m﹣7＝5，
解得：m＝4；
把m＝4，n＝3代入方程组得：4x+y=5①2x-3y=13②，
①×3+②得：14x＝28，即x＝2，
把x＝2代入①得：y＝﹣3，
则方程组的解为x=2y=-3．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
【变式7-3】（2020春•邗江区期末）小明和小红同解同一个方程组时，小红不慎将一滴墨水滴在了题目上使得方程组的系数看不清了，显示如下▲x+■y=2(1)◆x-7y=8(2)，同桌的小明说：“我正确的求出这个方程组的解为x=3y=-2”，而小红说：“我求出的解是x=-2y=2，于是小红检查后发现，这是她看错了方程组中第二个方程中x的系数所致”，请你根据他们的对话，把原方程组还原出来．
【分析】设原方程组为ax+by=2①cx-7y=8②，把x=3y=-2代入②，求出c，把x=3y=-2和x=-2y=2代入①，得出方程组，求出a、b的值，即可得出答案．
【解答】解：设原方程组为ax+by=2①cx-7y=8②，
把x=3y=-2代入②得：3c+14＝8，
解得：c＝﹣2，
把x=3y=-2和x=-2y=2代入①得：3a-2b=2-2a+2b=2，
解得：a＝4，b＝5，
即原方程组为4x+5y=2-2x-7y=8．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能够根据题意得出方程或方程组是解此题的关键．
【考点8 二元一次方程组的解（整体思想）】
【例8】（2020春•宛城区期中）已知关于x、y的二元一次方程组3x-my=5，2x+ny=6的解是x=1y=2，求关于a、b的二元一次方程组3(a+b)-m(a-b)=5，2(a+b)+n(a-b)=6的解．
【分析】对比两个方程组，可得a+b就是第一个方程组中的x，即a+b＝1，同理：a﹣b＝2，可得方程组解出即可．
【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组3x-my=5，2x+ny=6的解是x=1y=2，
∴关于a．b的二元一次方程组3(a+b)-m(a-b)=5，2(a+b)+n(a-b)=6满足a+b=1a-b=2，
解得a=32b=-12．
故关于a．b的二元一次方程组3(a+b)-m(a-b)=5，2(a+b)+n(a-b)=6的解是a=32b=-12．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了整体换元的思想解决问题，注意第一个和第二个方程组中的右边要统一．
【变式8-1】（2019秋•沙坪坝区校级月考）若关于m、n的二元一次方程组am-2n=132m+bn=14的解为m=4n=-1，求关于x、y的方程组a(2x+y)-2(x+2y)=132(2x+y)+b(x+2y)=14的解．
【分析】将m=4n=-1代入二元一次方程组，求出a、b的值，再将所求a、b的值代入所求方程组中，利用加减消元法求解方程组即可．
【解答】解：∵二元一次方程组am-2n=132m+bn=14的解为m=4n=-1，
∴4a+2=138-b=14，
∴a=114b=-6，
∴方程组a(2x+y)-2(x+2y)=132(2x+y)+b(x+2y)=14可转化为114(2x+y)-2(x+2y)=13①2(2x+y)-6(x+2y)=14②，
①×3﹣②，得2x+y＝4③，
将2x+y＝4代入②中，得x+2y＝﹣1④，
③×2﹣④，得x＝3，
将x＝3代入④，得y＝﹣2，
∴原方程组的解为x=3y=-2．
【点评】本题考查二元一次方程组的解；理解方程组的解与二元一次方程的关系，能够熟练应用加减消元法求解二元一次方程组是解题的关键．
【变式8-2】（2020秋•鄠邑区期末）如果关于x、y的二元一次方程组3x-ay=162x+by=15的解是x=7y=1，不求a，b的值，你能否求关于x、y的二元一次方程组3(x+y)-a(x-y)=162(x+y)+b(x-y)=15的解？如果能，请求出方程组的解．
【分析】第二个方程组中的x+y与x﹣y就是相当于第一个方程组中的x、y，据此即可列方程组求解．
【解答】解：根据题意可得x+y=7x-y=1，
解得：x=4y=3．
【点评】本题考查了方程组的解，理解第二个方程组中的x+y与x﹣y就是相当于第一个方程组中的x、y，理解整体思想是关键．
【变式8-3】（2020春•河口区期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想．
（1）解方程组3x-2y=-13x+2y=7，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 ；
（2）如何解方程组3(m+5)-2(n+3)=-13(m+5)+2(n+3)=7呢？我们可以把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 ；
由此请你解决下列问题：
若关于m，n的方程组am+bn=72m-bn=-2的值与3m+n=5am-bn=-1有相同的解，求a、b的值．
【分析】（1）利用加减消元法，可以求得；
（2）利用换元法，把设m+5＝x，n+3＝y，则方程组化为（1）中的方程组，可求得x，y的值进一步可求出原方程组的解；对要解决的问题把am和bn当成一个整体利用已知条件可求出am和bn，再把bn代入2m﹣bn＝﹣2与3m+n＝5可求出m和n的值，继而可求出a、b的值．
【解答】解：（1）方程组的解为：x=1y=2；故应填：x=1y=2；
（2）设m+5＝x，n+3＝y，则原方程组可化为组3x-2y=-13x+2y=7，由（1）可得：x=1y=2，所以可解得m=-4n=-1，故应填：m=-4n=-1；
由方程组am+bn=72m-bn=-2的值与3m+n=5am-bn=-1有相同的解可得方程组am+bn=7am-bn=-1，解得am=3bn=4，
把bn＝4代入方程2m﹣bn＝﹣2得2m＝2，解得m＝1，
再把m＝1代入3m+n＝5得3+n＝5，解得n＝2，
把m＝1代入am＝3得：a＝3，
把n＝2代入bn＝4得：b＝2，
所以a＝3，b＝2．
【点评】本题主要考查整体思想及换元法的应用，解题的关键是理解好整体思想．
【考点9 二元一次方程的应用】
【例9】（2020春•天河区期末）把一根长为7m的钢管截断，从中得到两种不同规格的钢管，已知两种规格的钢管长分别为2m和1m，为了不造成浪费，不同的截法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【分析】设可以截成x根2m长的钢管和y根1m长的钢管，根据截成的各段钢管的长度之和为7m，即可得出关于x，y的二元一次方程组，结合x，y均为正整数即可找出各种不同的截法．
【解答】解：设可以截成x根2m长的钢管和y根1m长的钢管，
依题意，得：2x+y＝7，
∴y＝7﹣2x．
∵x，y均为正整数，
∴当x＝1时，y＝5；当x＝2时，y＝3；当x＝3时，y＝1，
∴共有3种不同的截法，截法1：截成1根2m长的钢管和5根1m长的钢管；截法2：截成2根2m长的钢管和3根1m长的钢管；截法3：截成3根2m长的钢管和1根1m长的钢管，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
【变式9-1】（2020•黑龙江）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ）
A．12种 B．15种 C．16种 D．14种
【分析】有两个等量关系：购买A种奖品钱数+购买B种奖品钱数+购买C种奖品钱数＝200；C种奖品个数为1或2个．设两个未知数，得出二元一次方程，根据实际含义确定解．
【解答】解：设购买A种奖品m个，购买B种奖品n个，
当C种奖品个数为1个时，
根据题意得10m+20n+30＝200，
整理得m+2n＝17，
∵m、n都是正整数，0＜2n＜17，
∴n＝1，2，3，4，5，6，7，8；
当C种奖品个数为2个时，
根据题意得10m+20n+60＝200，
整理得m+2n＝14，
∵m、n都是正整数，0＜2n＜14，
∴n＝1，2，3，4，5，6；
∴有8+6＝14种购买方案．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．要注意题中未知数的取值必须符合实际意义．
【变式9-2】（2020春•回民区期末）陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还余418元．”王老师算了一下，说：“你肯定弄错了．”陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于5元的整数，那么笔记本的单价可能是（ ）元．
A．1元 B．2元 C．3元 D．4元
【分析】设购买单价为8元的书x本，笔记本的单价为y元，则购买单价为12元的书（105﹣x）本，根据105本书及笔记本共花了（1500﹣418）元，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，且y＜5，即可求出结论．
【解答】解：设购买单价为8元的书x本，笔记本的单价为y元，则购买单价为12元的书（105﹣x）本，
依题意，得：8x+y+12（105﹣x）＝1500﹣418，
∴y＝178﹣4x，
又∵x，y均为正整数，且y＜5，
∴x＝44，y＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
【变式9-3】（2020春•丽水期中）某商场计划用56000元从厂家购进60台新型电子产品，已知该厂家生产甲、乙、丙三种不同型号的电子产品，设甲、乙型设备应各买入x，y台，其中每台的价格、销售获利如下表：
甲型
乙型
丙型
价格（元/台）
1000
800
500
销售获利（元/台）
260
190
120
（1）购买丙型设备 台（用含x，y的代数式表示）；
（2）若商场同时购进三种不同型号的电子产品（每种型号至少有一台），恰好用了56000元，则商场有哪几种购进方案？
（3）在第（2）题的基础上，为了使销售时获利最多，应选择哪种购进方案？此时获利为多少？
【分析】（1）根据购买丙型设备的数量＝60﹣购买甲型设备的数量﹣购买乙型设备的数量，即可得出结论；
（2）根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y，（60﹣x﹣y）均为正整数，即可得出各购进方案；
（3）根据总利润＝单台利润×销售数量，即可分别求出选择3种购进方案可获得的销售利润，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）购买丙型设备（60﹣x﹣y）台．
故答案为：（60﹣x﹣y）．
（2）依题意，得：1000x+800y+500（60﹣x﹣y）＝56000，
整理得：5x+3y＝260，
∴x＝52-35y．
又∵x，y，（60﹣x﹣y）均为正整数，
∴y为5的倍数，
当y＝5时，x＝49，60﹣x﹣y＝6；
当y＝10时，x＝46，60﹣x﹣y＝4；
当y＝15时，x＝43，60﹣x﹣y＝2；
当y＝20时，x＝40，60﹣x﹣y＝0，不合题意，舍去．
∴共有3种购进方案，方案1：购进甲型设备49台，乙型设备5台，丙型设备6台；方案2：购进甲型设备46台，乙型设备10台，丙型设备4台；方案3：购进甲型设备43台，乙型设备15台，丙型设备2台．
（3）选择方案1的销售利润为260×49+190×5+120×6＝14410（元）；
选择方案2的销售利润为260×46+190×10+120×4＝14340（元）；
选择方案3的销售利润为260×43+190×15+120×2＝14270（元）．
∵14410＞14340＞14270，
∴购进甲型设备49台，乙型设备5台，丙型设备6台，获利最多，此时利润为14410元．
【点评】本题考查了列代数式以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x，y的代数式表示出购进丙型设备的数量；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，分别求出选择3种购进方案可获得的销售利润．
【考点10 二元一次方程组的应用（配套问题）】
【例10】（2020春•卫辉市期中）某车间有工人56名，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓24个或螺母36个，应怎样分配工人，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套？
【分析】设应分配x人生产螺栓，y人生产螺母，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套，根据每人每天平均能生产螺栓24个或螺母36个和一个螺栓配2个螺母刚好配套，列出方程组，再进行求解即可．
【解答】解：设应分配x人生产螺栓，y人生产螺母，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套，
根据题意，得x+y=5636y=2×24x，
解得x=24y=32，
答：应分配24个人生产螺栓，32个人生产螺母．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，解决此类题目需仔细分析题意，利用方程组即可解决问题，但应注意配套问题中零件数目的关系．
【变式10-1】（2019秋•东湖区期末）机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
【分析】设需安排x名工人加工大齿轮，安排y名工人加工小齿轮，根据平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，可列成方程组求解．
【解答】解：设需安排x名工人加工大齿轮，安排y名工人加工小齿轮，
x+y=8516x：10y=2：3，
解得：x=25y=60．
答：需安排25名工人加工大齿轮，安排60名工人加工小齿轮．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是能准确理解2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，根据此正确列出方程．
【变式10-2】（2020春•新野县期末）实验室需要一批无盖的长方体模型，一张大纸板可以做成长方体的侧面30个，或长方体的底面25个，一个无盖的长方体由4个侧面和一个底面构成．现有26张大纸板，则用多少张做侧面，多少张做底面才可以使得刚好配套，没有剩余？
【分析】设用x张做侧面，y张做底面才可以使得刚好配套，没有剩余，根据一个无盖的长方体由4个侧面和一个底面构成．现有26张大纸板，列出方程组，求出x，y的值即可；
【解答】解：设用x张做侧面，y张做底面才可以使得刚好配套，没有剩余，根据题意得：
x+y=2630x=4×25y，
解得：x=20y=6．
答：用20张做侧面，6张做底面才可以使得刚好配套，没有剩余．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
【变式10-3】用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）．
A方法：剪6个侧面；
B方法：剪4个侧面和5个底面．
现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．
（1）分别求裁剪出的侧面和底面的个数（用x的代数式表示）
（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
【分析】（1）由x张用A方法，就有（19﹣x）张用B方法，就可以分别表示出侧面个数和底面个数；
（2）由侧面个数和底面个数比为3：2建立方程求出x的值，求出侧面的总数就可以求出结论．
【解答】解：（1）∵裁剪时x张用A方法，
∴裁剪时（19﹣x）张用B方法．
∴侧面的个数为：6x+4（19﹣x）＝（2x+76）个，
底面的个数为：5（19﹣x）＝（95﹣5x）个；
（2）由题意，得（2x+76）：（95﹣5x）＝3：2，
解得：x＝7，
∴盒子的个数为：2×7+763=30．
答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，列代数式的运用以及分式方程的应用，解答时根据裁剪出的侧面和底面个数相等建立方程是关键．
【考点11 二元一次方程组的应用（历史文献问题）】
【例11】（2020•藁城区期末）我国是最早认识方程组的国家．比欧洲早一千多年，在古代数学名著《九章算术》中就记载了利用算筹表示方程组和解方程组的问题，下面的表示的是方程组3x+2y+z=392x+3y+z=34x+2y+3z=26，那么算筹所表示的方程组的解是（ ）
A．x=1y=2 B．x=2y=3 C．x=4y=1 D．x=3y=3
【分析】找出给定的算筹所表示的方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：依题意，得：2x+3y=11x+3y=7，
解得：x=4y=1．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找出算筹所表示的方程组是解题的关键．
【变式11-1】（2019•南昌二模）《孙子算经》有这样一道题：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？大意是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条长度多一尺，则木条长 尺．
【分析】设绳子长x尺，木条长y尺，根据“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条长度多一尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设绳子长x尺，木条长y尺，
依题意，得：x-y=4.5y-12x=1，
解得：x=11y=6.5．
故答案为：6.5．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式11-2】（2020春•武川县期中）“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雏兔同笼，上有二十五头，下有七十六足，问雏兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有25个头；从下面数，有76条腿，问笼中各有几只鸡和兔？
【分析】设笼中有x只鸡，y只兔，根据“上有二十五头，下有七十六足”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设笼中有x只鸡，y只兔，
根据题意得：x+y=252x+4y=76，
解得：x=12y=13．
答：笼中有12只鸡，13只兔．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式11-3】（2020春•海州区期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十二两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两（袋
子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？（请用方程组解答）
【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量＝11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）＝12两，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
由题意得：9x=11y(10y+x)-(8x+y)=12，
解得x=33y=27．
答：每枚黄金重33两，每枚白银重27两．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
【考点12 二元一次方程组的应用（几何图形问题）】
【例12】（2020春•临颍县期末）如图所示是由截面为同一种矩形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高10cm，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低40cm，则每块墙砖的截面面积是 ．
【分析】设每块墙砖的长为xcm，宽为ycm，根据“三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高10cm，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低40cm”列方程组求解可得．
【解答】解：设每块墙砖的长为xcm，宽为ycm，根据题意得：
x+10=3y2x=2y+40，
解得：x=35y=15，
则每块墙砖的截面面积是35×15＝525（cm2）．
故答案为：525cm2．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系列方程组是解题的关键．
【变式12-1】（2020春•西湖区校级期中）如图，在大长方形中放入6个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中大长方形的面积是（ ）
A．96 B．112 C．126 D．140
【分析】设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm，根据图示可以列出方程组x-2y+y=6x+3y=14，然后解这个方程组即可求出小长方形长和宽，然后求得大长方形的长和宽，从而求得面积．
【解答】解：设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm，
依题意得x-2y+y=6x+3y=14，
解之得x=8y=2，
∴小长方形的长、宽分别为8cm，2cm，
∴S大长方形＝AB•BC＝14×10＝140cm2，
故选：D．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．
【变式12-2】（2020春•新乡期末）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为3mm的小正方形，则每个小长方形的面积为（ ）
A．120mm2 B．135mm2 C．108mm2 D．96mm2
【分析】设每个小长方形的长为xmm，宽为 ymm，根据图形给出的信息可知，长方形的5个宽与其3个长相等，两个宽﹣一个长＝3，于是得方程组，解出即可．
【解答】解：设每个长方形的长为xmm，宽为 ymm，由题意，
得3x=5y2y-x=3，
解得：x=15y=9．
9×15＝135（mm2）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
【变式12-3】（2020春•崇川区校级期末）现有如图（1）的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a，宽为b．用3个如图（2）的全等图形和8个如图（1）的小长方形，拼成如图（3）的大长方形，若大长方形的宽为30cm，则图（3）中阴影部分面积与整个图形的面积之比为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【分析】根据题意、结合图形可以得到方程组a+3b=30a=3b，解出a|B的值，再表示出阴影面积和整个图形的面积，求出比值即可．
【解答】解：∵大长方形的宽为30cm，
∴a+3b＝30，
根据图③可得3b＝a，
组成方程组a+3b=30a=3b，
解得：a=15b=5，
∵阴影面积为3（a﹣b）2，
整个图形的面积为：4a（a+3b），
∴阴影部分面积与整个图形的面积之比为3(a-b)24a(a+3b)=3×10060×30=16，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是看懂图示，找出题目中的等量关系，求出a和b．
【考点13 二元一次方程组的应用（行程问题）】
【例13】（2020春•西宁期末）甲，乙二人赛跑，如果乙比甲先跑8m，那么甲跑4s就能追上乙；如果甲让乙先跑1s，那么甲跑3s就能追上乙，设甲，乙每秒分别跑xm和ym，则可列出的方程组是（ ）
A．4x=4y+83x=3y+y B．4x+8=4y3x-3y=1
C．4x=4y+83x-1=3y D．4x-4y=83x-y=y
【分析】此题是追及问题，等量关系是：甲的行程＝乙的行程．乙比甲先跑8m，那么甲跑4s就能追上乙，则4x＝4y+8；甲让乙先跑1s，那么甲跑3s就能追上乙，则3x＝3y+y．
【解答】解：设甲，乙每秒分别跑xm和ym．
则可列出的方程组是4x=4y+83x=3y+y．
故选：A．
【点评】此题是追及问题，等量关系是：甲的行程＝乙的行程．应该注意的是：如甲用4s就追上了乙，则乙也同时跑了4s．
【变式13-1】（2020•绍兴）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km，它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（ ）
A．120km B．140km C．160km D．180km
【分析】设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，根据题意得关于x和y的二元一次方程组，求解即可．
【解答】解：设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，如图：
设AB＝xkm，AC＝ykm，根据题意得：
2x+2y=210×2x-y+x=210，
解得：x=140y=70．
∴乙在C地时加注行驶70km的燃料，则AB的最大长度是140km．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，理清题中的数量关系正确列出方程组是解题的关键．
【变式13-2】（2020春•广饶县期末）某体育场的环形跑道长400m，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和自行车，如果反向而行，他们每隔30s相遇一次．如果同向而行，那么每隔80s乙就追上甲一次．则甲的速度是 m/s．
【分析】设甲的速度为xm/s，乙的速度为ym/s，根据“某体育场的环形跑道长400m，如果反向而行，他们每隔30s相遇一次．如果同向而行，那么每隔80s乙就追上甲一次”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设甲的速度为xm/s，乙的速度为ym/s，
依题意，得：30x+30y=40080y-80x=400，
解得：x=256y=556．
故答案为：256．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式13-3】（2020秋•博野县期末）从少先队夏令营到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度通过平路，到学校共用了55分钟，回来时，通过平路速度不变，但以每小时6千米的速度上山，回到营地共花去了1小时10分钟，问夏令营到学校有多少千米？
【分析】设平路x千米，山路y千米，从营地回学校用了55分钟，从学校回营地用了1小时10分钟可得出方程组，解出即可．
【解答】解：设平路x千米，山路y千米，
由题意得，x9+y12=1112x9+y6=116，
解得：x=6y=3，
故夏令营到学校有3+6＝9千米．
答：夏令营到学校有9千米．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
【考点14 二元一次方程组的应用（工程问题）】
【例14】（2020春•邵阳校级月考）某市准备对一段长120m的河道进行清淤疏通，若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天；设甲工程队平均每天疏通河道x m，乙工程队平均每天疏通河道y m，则（x+y）的值为（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
【分析】设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，就有4x+9y＝120，8x+3y＝120，由此构成方程组求出其解即可．
【解答】解：设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，
由题意，得：
4x+9y=1208x+3y=120，
解得：x=12y=8．
∴x+y＝20．
故选：A．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，工程问题的数量关系的运用，解答时由工程问题的数量关系建立方程组求出其解是关键．
【变式14-1】（2020春•九龙坡区校级期末）九龙坡区某工程公司积极参与“精美城市，幸福九龙坡建设，该工程公司下属的甲工程队、乙工程队别承包了杨家坪地区的A工程、B工程，甲工程队晴天需要14天完成，雨天工作效率下降30%，乙工程队晴天需15天完成，雨天工作效率下降20%，实际上两个工程队同时开工，同时完工．两工程队各工作了 天．
【分析】根据题意找出两个等量关系：①甲工程队晴天所做的工程量+雨天所做的工程量＝总工程量；②乙工程队晴天所做的工程量+雨天所做的工程量＝总工程量．设工程总量为1，则甲工程队晴天工作效率为114，雨天工作效率为1-30%14；乙工程队晴天工作效率为115，雨天工作效率为1-20%15，根据等量关系列出方程组求解即可．
【解答】解：设两工程队各工作了x天，在施工期间有y天有雨，
由题意得：114(x-y)+1-30%14y=1115(x-y)+1-20%15y=1，
解得：x=17y=10．
即两工程队各工作了17天．
故答案为：17．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，关键在于弄清题意，找出两个合适的等量关系，列出方程组求解．
【变式14-2】（2020春•扬州校级月考）甲、乙2个工人同时接受一批任务，上午工作的4小时中，甲先用了2.5小时改装机器以提高工效，因此，上午工作结束时，甲比乙少做40个零件；下午两人继续工作4小时后，全天总计甲反而比乙多做420个零件，问这一天甲、乙各做多少个零件？
【分析】设甲每小时做x个零件，乙每小时做y个零件，根据题意可得，甲5.5小时比乙8小时多做420个零件，甲1.5小时比乙4小时少做40个零件，据此列方程组求解．
【解答】解：设甲每小时做x个零件，乙每小时做y个零件，
由题意得，5.5x-8y=4204y-1.5x=40，
解得：x=200y=85，
则甲一天做200×5.5＝1100个，
乙一天做85×8＝680个．
答：这一天甲做了1100个零件，乙做了680个零件．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
【变式14-3】（2020春•邹平市期末）在《二元一次方程组》这一章的复习课上，王老师让同学们根据下列条件探索还能求出哪些量：在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建条335米长的公路，甲队每天修建20米，乙队每天修建25米，一共用15天完成．
（1）小红同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组x+y=？20x+25y=*请写出小红所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示 ，y表示 ；并写出该方程组中？处的数应是 ，*处的数应是 ；
（2）小芳同学的思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照小芳的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？
【分析】（1）根据题意和小红同学列出的方程组可以解答本题；
（2）利用小红列出的方程组可以解答本题
【解答】解：（1）根据方程组中第二个方程可得x是与甲队每天修建的长度相乘，y是与乙队每天修建的长度相乘，这样可得出x、y分别是甲、乙两队各自修路的天数，从而得到x+y＝15，20x+25y＝335；
故答案为：甲队修路的天数；乙队修路的天数；15；335；
（2）方程组为：x+y=335①x20+y25=15②，
由①得，x＝335﹣y③，
将③式代入②式得，335-y20+y25=15，
解得，y＝175，
所以，乙队修建了175米，修建的天数为17525=7（天）．
答：乙队修建了175米，修建了7天．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的思想解答．
【考点15 二元一次方程组的应用（分段计费问题）】
【例15】（2019春•邵阳县期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：（水价计费＝自来水销售费用+污水处理费用）
自来水销售价格
污水处理价格
每户每月用水量
单价：元/吨
单价：元/吨
17吨及以下
a
0.80
超过17吨不超过30吨的部分
b
0.80
超过30吨的部分
6.00
0.80
已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．
（1）求a，b的值．
（2）小王家6月份交水费184元，则小王家6月份用水多少吨？
【分析】（1）根据题意和表格可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出a、b的值；
（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得小王家本月用水量为多少吨．
【解答】解：（1）根据题意可得，
17a+3b+20×0.8=6617a+8b+25×0.8=91，
解得，a=2.2b=4.2，
即a的值是2.2，b的值是4.2；
（2）设小王家6月份用水x吨，
根据题意知，30吨的水费为：17×2.2+13×4.2+30×0.8＝116，
∵184＞116，
∴小王家6月份计划用水超过了30吨
∴6.0（x﹣30）+116+0.80×（x﹣30）＝184，
解得，x＝40
即小王家6月份用水量40吨．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
【变式15-1】（2019春•西湖区校级月考）为鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息，请解答：
自来水销售价格
每户每月用水量
单位：元/吨
15吨及以下
a
超过15吨但不超过25吨的部分
b
超过25吨的部分
5
（1）小王家今年3月份用水20吨，要交水费 元；（用a，b的代数式表示）
（2）小王家今年4月份用水21吨，交水费48元；邻居小李家4月份用水27吨，交水费70元，求a，b的值．
（3）在第（2）题的条件下，小王家5月份用水量与4月份用水量相同，却发现要比4月份多交9.6元钱水费，小李告诉小王说：“水价调整了，表中表示单位的a，b的值分别上调了整数角钱（没超过1元），其他都没变．”到底上调了多少角钱呢？请你帮小王求出符合条件的所有可能情况．
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意列方程组，即可得到结论；
（3）根据题意列出二元一次方程，求出符合条件的所有可能情况即可．
【解答】解：（1）∵小王家今年3月份用水20吨，要交水费为15a+5b，
故答案为：（15a+5b）；
（2）根据题意得，15a+6b=4815a+10b+5×2=70，
解得：a=2b=3；
（3）设a上调了x元，b的值上调了y元，
根据题意得，15x+6y＝9.6，
∴5x+2y＝3.2，
∵x，y为整数角钱（没超过1元），
∴当x＝0.6元时，y＝0.1元，
当x＝0.4元时，y＝0.6元，
∴a的值上调了0.6元或0.4元，b的值上调了0.1元或0.6元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
【变式15-2】（2020春•醴陵市期末）为建设资源节约型社会，醴陵市自2012年以来就对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180度及（含180度）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180度以上到450度时（含450度时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450度时的部分，执行市场调节价格．经统计，我市小军同学家今年2月份用电200度，电费为119元，3月份用电210度时，电费为125.4元．
（1）请根据小军家的用电量和电费情况，求出第一档的电价和第二档的电价分别是多少元/度．
（2）已知小军同学家今年4、5月份的家庭用电量分别为160度和230度，请问小军家4、5月份的电费分别为多少元？
【分析】（1）设第一档的电价为x元/度，第二档的电价为y元/度，根据“小军同学家今年2月份用电200度，电费为119元，3月份用电210度时，电费为125.4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用小军家4月份的电费＝第一档电价×4月份的用电量和小军家5月份的电费＝第一档电价×180+第二档电价×（5月份的用电量﹣180），即可求出结论．
【解答】解：（1）设第一档的电价为x元/度，第二档的电价为y元/度，
依题意，得：180x+(200-180)y=119180x+(210-180)y=125.4，
解得：x=0.59y=0.64．
答：第一档电价为0.59元/度，第二档的电价为0.64元/度．
（2）0.59×160＝94.4（元），
0.59×180+0.64×（230﹣180）＝138.2（元）．
答：小军家4月份的电费为94.4元，5月份的电费为138.2元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式15-3】（2019•呼和浩特）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目
里程费
时长费
远途费
单价
1.8元/公里
0.3元/分钟
0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元．
小王与小张各自乘坐满滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．
（1）求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟；
（2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟，计算俩人各自的实际乘车时间．
【分析】（1）设小王的实际车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，根据两人付给滴滴快车的乘车费相同列方程求解即可；
（2）根据“等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟”列二元一次方程，将其与（1）中的二元一次方程联立即可求解．
【解答】解：（1）设小王的实际行车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，由题意得：
1.8×6+0.3x＝1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5﹣7）
∴10.8+0.3x＝16.5+0.3y
0.3（x﹣y）＝5.7
∴x﹣y＝19
∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟．
（2）由（1）及题意得：x-y=191.5y=12x+8.5
化简得x-y=19①3y-x=17②
①+②得2y＝36
∴y＝18 ③
将③代入①得x＝37
∴小王的实际乘车时间为37分钟，小张的实际乘车时间为18分钟．
【点评】本题考查了二元一次方程和二元一次方程组在实际问题中的应用，根据等量关系列方程或方程组是解题的关键．
【考点16 二元一次方程组的应用（方案设计问题）】
【例16】（2020春•江都区期末）某制纸厂生产A型、B型两种不同规格的纸，需用甲、乙两种不同的原料．若甲原料成本为0.5元/m3，乙原料成本为1元/kg，其它相关数据如下表所示：
甲原料/m3
乙原料/kg
售价/元
每百张A型纸
1
2
4
每百张B型纸
1.2
3
5
（1）若生产这两种纸需用甲原料108m3、乙原料240kg，则这两种规格的纸各多少百张？
（2）若该厂生产A型纸a百张，则生产这种A型纸的利润是多少元（用含a的代数式表示）？（利润＝售价﹣成本）
（3）该厂发现，当制纸总量超过10000百张时，需额外支出8800元的设备维护费，现该厂接到一笔订单，要求生产A型纸的数量是B型纸数量的2倍，若该厂希望获得13200元的利润，则有哪几种生产方案？
【分析】（1）列方程组求解即可；
（2）用代数式表示售价和成本，利用利润＝售价﹣成本得出结果；
（3）设未知数，利用方程，求解即可．
【解答】解：（1）设生产A型纸x百张，B型纸y百张，由题意得，
x+1.2y=1082x+3y=240，
解得，x=60y=40，
答：生产A型纸60百张，B型纸40百张；
（2）4a﹣（0.5×a×1+1×a×2）＝1.5a，
答：生产这种A型纸的利润是1.5a元；
（3）设生产B型纸m百张，则生产A型纸2m百张，由题意得，
每百张A型纸的利润为4×2m﹣（0.5×2m×1+1×2m×2）＝3m，
每百张B型纸的利润为5m﹣（1.2×m×0.5+3×m×1）＝1.4m，
①当m+2m＜10000时，有3m+1.4m＝13200，
解得m＝3000，则2m＝6000，
即生产A型纸6000百张，则生产B型纸3000百张；
②当m+2m＞10000时，有3m+1.4m＝13200+8800，
解得m＝5000，则2m＝10000，
即生产A型纸10000百张，则生产B型纸5000百张；
因此有两种生产方案，A型纸6000百张，B型纸3000百张或A型纸10000百张，B型纸5000百张．
【点评】本题考查方程（组）及其应用，用代数式表示数量和数量关系是解决问题的关键．
【变式16-1】（2020春•越城区校级期中）雅安地震发生后，全国人民抗震救灾，众志成城，值地震发生一周年之际，某地政府又筹集了重建家园的必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨/辆）
5
8
10
汽车运费（元/辆）
400
500
600
（1）全部物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车 辆来运送．
（2）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（3）已知三种车的总辆数为14辆，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种运费最省？
【分析】（1）根据需要丙型车的辆数＝（需要运送物质的总重量﹣甲型汽车运送货物的总重量﹣丙型汽车运送货物的总重量）÷每辆丙型车的运载量，即可求出结论；
（2）设需甲型车x辆，乙型车y辆，根据“用甲、乙两种车型运送120吨物质，共需运费8200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设安排甲型车m辆、乙型车n辆、则安排丙型车（14﹣m﹣n）辆，根据一次正好运送货物120吨，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n，（14﹣m﹣n）均为非负整数，即可得出各运送方案，再分别求出各运送方案所需费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）（120﹣5×8﹣8×4）÷10＝4（辆）．
故答案为：4．
（2）设需甲型车x辆，乙型车y辆，
依题意，得：5x+8y=120400x+500y=8200，
解得：x=8y=10．
答：需要甲型车8辆、乙型车10辆．
（3）设安排甲型车m辆、乙型车n辆、则安排丙型车（14﹣m﹣n）辆，
依题意，得：5m+8n+10（14﹣m﹣n）＝120，
∴n＝10-52m．
又∵m，n，（14﹣m﹣n）均为非负整数，
∴m=0n=10或m=2n=5或m=4n=0，
∴共有3种安排方案，方案1：安排10辆乙型车，4辆丙型车；方案2：安排2辆甲型车，5辆乙型车，7辆丙型车；方案3：安排4辆甲型车，10辆丙型车．
方案1所需运费为500×10+600×4＝7400（元）；
方案2所需运费为400×2+500×5+600×7＝7500（元）；
方案3所需运费为400×4+600×10＝7600（元）．
∵7400＜7500＜7600，
∴选择方案1所需运费最省，即安排10辆乙型车，4辆丙型车所需运费最省．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
【变式16-2】（2020春•安丘市期末）某生态柑橘园现有柑橘21吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨．
（1）1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运柑橘多少吨？
（2）若计划租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载．
①请帮柑橘园设计租车方案；
②若A型车每辆需租金120元/次，B型车每辆需租金100元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【分析】（1）设1辆A型车满载时一次可运柑橘x吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘y吨，根据“用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①根据一次运载柑橘21吨，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数，即可得出各租车方案；
②根据租车总费用＝租用每辆车的费用×租用的辆数，即可求出各租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设1辆A型车满载时一次可运柑橘x吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘y吨，
依题意，得：2x+3y=123x+4y=17，
解得：x=3y=2．
答：1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨．
（2）①依题意，得：3m+2n＝21，
∴m＝7-23n．
又∵m，n均为非负整数，
∴m=1n=9或m=3n=6或m=5n=3或m=7n=0．
答：共有4种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用3辆A型车，6辆B型车；方案3：租用5辆A型车，3辆B型车；方案4：租用7辆A型车．
②方案1所需租车费为120×1+100×9＝1020（元），
方案2所需租车费为120×3+100×6＝960（元），
方案3所需租车费为120×5+100×3＝900（元），
方案4所需租车费为120×7＝840（元）．
∵1020＞960＞900＞840，
∴最省钱的租车方案是租用7辆A型车，最少租车费是840元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①找准等量关系，正确列出二元一次方程；②根据各数量之间的关系，求出各租车方案所需费用．
【变式16-3】（2020春•雨花区校级月考）中雅初一年级举行一次公益活动，用步行的方式募集善款，其中挑战型路线的起点是中雅站，并沿着规定的线路到达终点非遗馆站．甲、乙两组同学从起点同时出发，已知甲组的速度为6km/h，乙组的速度为5km/h，当甲组到达终点后，立即以3km/h的速度按原线路返回，并在途中的P站与乙组相遇，P站与非遗馆站之间的路程为1.5km．
（1）当甲组到达终点时，乙组离终点还有多少路程？
（2）同学们在挑战前共同购进了50个糖画，已知有3种类型的糖画，其中A种每个10
元，B种每个12元，C种每个15元，购进两种类型糖画共用去550元，请你研究一下
进货方案；
（3）在第（2）问条件下，同学们卖一个A可获利1.5元，卖一个B可获利2元，卖一个C可获利2.5元，在同时购进两种不同类型的糖画方案中，为了使得获利最多，你选哪种方案？
【分析】（1）利用当甲组到达终点时乙组离终点的距离＝P站到终点的距离+乙组的速度÷甲组返回到P站所用的时间，即可求出结论；
（2）利用平均价＝总价÷数量可求出购买糖画的平均价，结合三种糖画的价格可得出必购进A种糖画，分购进A，B两种糖画和购进A，C两种糖画两种情况考虑，根据购进50个糖画共花费550元，即可得出关于x，y（或m，n）的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）利用总利润＝销售每个糖画的利润×销售数量（购进数量），可分别求出选择2种方案获得的总利润，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）1.5+1.53×5＝4（km）．
答：当甲组到达终点时，乙组离终点还有4km路程．
（2）购进糖画的平均价为550÷50＝11（元），
∵10＜11＜12＜15，
∴必购进A种糖画．
若购进A，B两种糖画，设购进x个A种糖画，y个B种糖画，
依题意，得：x+y=5010x+12y=550，
解得：x=25y=25；
若购进A，C两种糖画，设购进m个A种糖画，n个C种糖画，
依题意，得：m+n=5010m+15n=550，
解得：m=40n=10．
∴共有2种进货方案，方案1：购进25个A种糖画，25个B种糖画；方案2：购进40个A种糖画，10个C种糖画．
（3）方案1获得的利润为1.5×25+2×25＝87.5（元）；
方案2获得的利润为1.5×40+2.5×10＝85（元）．
∵87.5＞85，
∴选择方案1，即购进25个A种糖画，25个B种糖画．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）利用总利润＝销售每个糖画的利润×销售数量（购进数量），分别求出选择2个方案获得的总利润．
【考点17 二元一次方程（组）与一次函数】
【例17】（2020春•新泰市期末）如图，l1经过点（0，1.5）和（2，3），l2经过原点和点（2，3），以两条直线l1、l2的交点坐标为解的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用待定系数法求出直线l1、l2的解析式，进而可得答案．
【解答】解：设直线l1的解析式为y＝kx+b，
∵l1经过点（0，1.5）和（2，3），
∴，
解得：，
∴直线l1的解析式为y＝x+1.5，
设直线l2的解析式为y＝ax，
∵l2经过点（2，3），
∴3＝2a，
解得：a＝，
∴直线l2的解析式为y＝x，
∴以两条直线l1、l2的交点坐标为解的方程组是，
即，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握任何一个一次函数都可以转化为一个二元一次方程，二元一次方程组的解就是两函数图象的交点．
【变式17-1】（2020春•河口区期末）如图，直线l1的函数表达式为y＝3x﹣2，且直线l1与x轴交于点D．直线l2与x轴交于点A，且经过点B（4，1），直线l1与l2交于点C（m，3）．
（1）求点D和点C的坐标；
（2）求直线l2的函数表达式；
（3）利用函数图象写出关于x，y的二元一次方程组y=3x-26x+7y=31的解．
【分析】（1）求函数值为0时一次函数y＝3x﹣2所对应的自变量的值即可得到D点坐标，把C（m，3）代入y＝3x﹣2求出m得到C点坐标；
（2）利用待定系数法求直线l2的解析式；
（3）利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【解答】解：（1）在y＝3x﹣2中
令y＝0，即3x﹣2＝0 解得x=23，
∴D（23，0），
∵点C（m，3）在直线y＝3x﹣2上，
∴3m﹣2＝3，
∴m=53，
∴C（53，3）；
（2）设直线l2的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
由题意得：53k+b=34k+b=1，
解得：k=-67b=317，
∴y=-67x+317；
（3）由图可知，二元一次方程组y=3x-26x+7y=31的解为x=53y=3．
【点评】一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了一次函数的性质．
【变式17-2】（2020春•济源期末）已知二元一次方程x+y＝3，通过列举法将方程的解写成表格的形式：
x
﹣1
m
32
3
4
y
4
3
32
0
n
如果将二元一次方程的解所包含的未知数x的值对应平面直角坐标系中一个点的横坐标，未知数y的值对应这个点的纵坐标，这样每一个二元一次方程的解，就可以对应平面直角坐标系中的一个点，例如：方程x+y＝3的解x=1y=2，对应的点是（1，2）；
（1）表格中的m＝ ，n＝ ；
（2）通过以上确定对应点坐标的方法，将表格中给出的五个解依次转化为对应点的坐标，在所给的平面直角坐标系中画出这五个点；
（3）观察这些点猜想方程x+y＝3的所有解的对应点所组成的图形是 ，并写出它的两个特征：① ，② ；
（4）若点P（﹣2a，a﹣1）恰好落在x+y＝3的解对应的点组成的图形上，求a的值．
【分析】（1）将x＝m，y＝3代入x+y＝3得m的值；将x＝4，y＝n代入x+y＝3得n的值；
（2）将表格中给出的五个解转化为对应点的坐标在坐标系描财即可；
（3）由图象易得x+y＝3的解对应的点所组成的图形的特征；
（4）将点P（﹣2a，a﹣1）代入x+y＝3解方程组即可得a的值．
【解答】解：（1）①将x＝m，y＝3代入x+y＝3得m+3＝3，
∴m＝0，
将x＝4，y＝n代入x+y＝3得4+n＝3，
∴n＝﹣1
故答案为：0，﹣1；
（2）将表格中给出的五个解依次转化为对应点的坐标如图：
；
（3）猜想x+y＝3的解对应的点所组成的图形为直线，
它有这样两个特征：①图象经过一、二、四象限；
②图象从左向右呈下降趋势．
故答案为：直线，图象经过一、二、四象限，图象从左向右呈下降趋势；
（4）由题意得：﹣2a+a﹣1＝3，
解得：a＝﹣4．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程的关系及解二元一次方程组，数形结合是解答本题的关键．
【变式17-3】（2019春•长沙县期末）【教材再现】人教版八年级下册第19章《一次函数》中“思考”：这两个函数的图象形状都是直线，
并且倾斜程度相同函数y＝﹣6x的图象经过原点，函数y＝﹣6x+5的图象与y轴交于点（0，5），即它可以看作直线y＝﹣6x向上平移5个单位长度而得到．
【结论应用】一次函数y＝x﹣3的图象可以看作正比例函数 的图象向 平移 个单位长度而得到；
【类比思考】如果将直线y＝﹣6x的图象向右平移5个单位长度，那么得到的直线的函数解析式是怎样的呢？
我们可以这样思考：在直线y＝﹣6x上任意取两点A（0，0）和B（1，﹣6），将点A（0，0）和B（1，﹣6）向右平移5个单位得到点C（5，0）和D（6，﹣6），连接CD，则直线CD就是直线AB向右平移5个单位长度后得到的直线，设直线CD的解析式为：y＝kx+b（k≠0），将C（5，0）和D（6，6）代入得到：5k+b=06k+b=-6．解得k=-6b=30，所以直线CD的解析式为：y＝﹣6x+30；
①将直线y＝﹣6x向左平移5个单位长度，则平移后得到的直线解析式为 ．
②若先将直线y＝﹣6x向左平移4个单位长度后，再向上平移5个单位长度，得到直线l，则直线l的解析式为 ；
【拓展应用】已知直线l：y＝2x+3与直线l’关于x轴对称，求直线l'的解析式．
【分析】【结论应用】根据题目材料中给出的结论即可求解；
【类比思考】①在直线y＝﹣6x上任意取两点A（0，0）和B（1，﹣6），将点A和B向左平移5个单位得到点C、D，根据点的平移规律得到点C、D的坐标．设直线CD的解析式为：y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法即可求出直线CD的解析式；
②在直线y＝﹣6x上任意取两点A（0，0）和B（1，﹣6），将点A和B向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点C、D，根据点的平移规律得到点C、D的坐标．设直线CD的解析式为：y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法即可求出直线CD的解析式；
【拓展应用】在直线l：y＝2x+3上任意取两点A（0，3）和B（1，5），作点A和B关于x轴的对称点C、D，根据关于x轴对称的点的规律得到C、D的坐标．设直线CD的解析式为：y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法即可求出直线CD的解析式．
【解答】解：【结论应用】一次函数y＝x﹣3的图象可以看作正比例函数y＝x的图象向下平移3个单位长度而得到．
故答案为y＝x，下，3；
【类比思考】①在直线y＝﹣6x上任意取两点A（0，0）和B（1，﹣6），
将点A（0，0）和B（1，﹣6）向左平移5个单位得到点C（﹣5，0）和D（﹣4，﹣6），连接CD，则直线CD就是直线AB向左平移5个单位长度后得到的直线，设直线CD的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
将C（﹣5，0）和D（﹣4，﹣6）代入得到：-5k+b=0-4k+b=-6，解得k=-6b=-30，
所以直线CD的解析式为：y＝﹣6x﹣30．
故答案为y＝﹣6x﹣30；
②在直线y＝﹣6x上任意取两点A（0，0）和B（1，﹣6），
将点A（0，0）和B（1，﹣6）向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点C（﹣4，5）和D（﹣3，﹣1），连接CD，则直线CD就是直线AB向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到的直线，
设直线CD的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
将C（﹣4，5）和D（﹣3，﹣1）代入得到：-4k+b=5-3k+b=-1，解得k=-6b=-19，
所以直线l的解析式为：y＝﹣6x﹣19．
故答案为y＝﹣6x﹣19；
【拓展应用】在直线l：y＝2x+3上任意取两点A（0，3）和B（1，5），
则点A和B关于x轴的对称点分别为C（0，﹣3）或D（1，﹣5），连接CD，则直线CD就是直线AB关于x轴对称的直线，
设直线CD的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
将C（0，﹣3）或D（1，﹣5）代入得到：b=-3k+b=-5，解得k=-2b=-3，
所以直线l′的解析式为y＝﹣2x﹣3．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与二元一次方程（组），考查了学生的阅读理解能力与知识的迁移能力．理解阅读材料是解题的关键．
人教版七年级数学下学期 第八章 二元一次方程组考点梳理
【考点1 二元一次方程的定义】
【方法点拨】二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫
做二元一次方程．二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所
有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
【例1】（2020春•雨花区校级期中）下列等式：①2x+y＝4；②3xy＝7；③x2+2y＝0；④1x-2＝y；⑤2x+y+z＝1，二元一次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用二元一次方程的定义判断即可．
【解答】解：①2x+y＝4是二元一次方程；
②3xy＝7是二元二次方程；
③x2+2y＝0是二元二次方程；
④1x-2＝y是分式方程；
⑤2x+y+z＝1是三元一次方程，
故选：A．
【点评】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．
【变式1-1】（2020春•三台县期中）如果5x3m﹣2n﹣2yn﹣m+11＝0是二元一次方程，则2m﹣n＝（ ）
A．﹣2 B．3 C．4 D．2
【分析】根据二次一次方程的定义得出关于方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：∵5x3m﹣2n﹣2yn﹣m+11＝0是二元一次方程，
∴3m-2n=1n-m=1，
解得：m＝3，n＝4，
∴2m﹣n＝6﹣4＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程的定义，能得出关于m、n的方程组是解此题的关键．
【变式1-2】（2020春•巴州区校级期中）若ax+4y＝3x﹣7是关于x，y的二元一次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠﹣2 B．a≠0 C．a≠3 D．a≠﹣1
【分析】根据二元一次方程的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：（a﹣3）x+4y＝﹣7，
∴a≠3，
故选：C．
【点评】本题考查二元一次方程，解题的关键是正确理解二元一次方程的定义，本题属于基础题型．
【变式1-3】（2020春•邗江区校级期中）若（a﹣1）x|a|﹣1+3y＝1是关于x、y的二元一次方程，则a＝（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．2和﹣2
【分析】利用二元一次方程定义可得答案．
【解答】解：由题意得：|a|﹣1＝1，且a﹣1≠0，
解得：a＝±2，
故选：D．
【点评】此题主要考查了二元一次方程定义，关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
【考点2 二元一次方程的解】
【方法点拨】一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一
次方程有无数解．
【例2】（2020春•吴中区期末）已知x=1y=2是关于x、y的方程ax+by＝3的一组解，则2a+4b﹣1的值为（ ）
A．2 B．﹣5 C．5 D．4
【分析】把x=1y=2代入方程ax+by＝3得出a+2b＝3，再变形，最后代入求出即可．
【解答】解：∵x=1y=2是关于x、y的方程ax+by＝3的一组解，
∴代入得：a+2b＝3，
∴2a+4b﹣1＝2（a+2b）﹣1＝2×3﹣1＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的解和求代数式的值，能够整体代入是解此题的关键．
【变式2-1】（2020春•衢州期末）若x=-2y=m是方程nx+6y＝4的一个解，则代数式3m﹣n+1的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
【分析】把x=-2y=m代入方程nx+6y＝4得出﹣2n+6m＝4，求出3m﹣n＝2，再代入求出即可．
【解答】解：∵x=-2y=m是方程nx+6y＝4的一个解，
∴代入得：﹣2n+6m＝4，
∴3m﹣n＝2，
∴3m﹣n+1＝2+1＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的解和求代数式的值，能求出3m﹣n＝2是解此题的关键．
【变式2-2】（2020春•雨花区校级月考）已知x=ay=b是二元一次方程4x﹣7y＝8的一个解，则代数式17﹣8a+14b的值是 ．
【分析】先把方程的解代入二元一次方程，得到关于a、b的方程，变形17﹣8a+14b后整体代入求值．
【解答】解：∵x=ay=b是二元一次方程4x﹣7y＝8的一个解，
∴4a﹣7b＝8，
∴17﹣8a+14b
＝17﹣2（4a﹣7b）
＝17﹣2×8
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了二元一次方程的解及代数式的求值，解决本题的关键是变形要求代数式，整体代入．
【变式2-3】（2020春•崇川区校级期中）已知关于x、y的二元一次方程（3a+2）x﹣（2a﹣3）y﹣11﹣10a＝0，无论a取何值，方程都有一个固定的解，则这个固定解为 ．
【分析】将原式进行变换后即可求出这个固定解．
【解答】解：由题意可知：（3a+2）x﹣（2a﹣3）y﹣11﹣10a＝（3x﹣2y﹣10）a+2x+3y﹣11＝0，
由于无论a取任何实数，该二元一次方程都有一个固定的解，
∴列出方程组3x-2y-10=02x+3y-11=0，
解得：x=4y=1．
故答案为：x=4y=1．
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是根据题意列出方程组，本题属于中等题型．
【考点3 二元一次方程的整数解】
【方法点拨】在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一
个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
【例3】（2020春•天宁区校级期中）二元一次方程2x+3y＝8有多少个正整数解？（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】要求二元一次方程2x+3y＝8的正整数解，首先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，分析解的情况．
【解答】解：由已知得y=8-2x3，
要使x，y都是正整数，
必须满足：①8﹣2x大于0；②8﹣2x是3的倍数．
根据以上两个条件可知，合适的x值只能是x＝1，相应的y＝2．
故选：B．
【点评】考查了二元一次方程的解，本题是求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．
【变式3-1】（2020春•雨花区校级月考）二元一次方程2x+y＝7的非负整数解有（ ）组．
A．2 B．3 C．5 D．4
【分析】根据二元一次方程的非负数解的意义，解决本题可用试验的办法．
【解答】解：由题意知x、y均为非负整数，
∴当x＝0时，y＝7；
当x＝1时，y＝5；
x＝2时，y＝3；
x＝3时，y＝1．
故满足条件的非负整数有四组．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，理解非负整数是解决本题的关键．非负整数就是正整数和0．
【变式3-2】（2020•汉阳区校级期末）我们探究得方程x+y＝2的正整数解只有1组，方程x+y＝3的正整数解只有2组，方程x+y＝4的正整数解只有3组，……，那么方程x+y+z＝9的正整数解得组数是（ ）
A．27 B．28 C．29 D．30
【分析】先把x+y看作整体t，得到t+z＝9的正整数解有7组；再分析x+y分别等于2、3、4、……9时对应的正整数解组数；把所有组数相加即为总的解组数．
【解答】解：令x+y＝t（t≥2），则t+z＝9的正整数解有7组（t＝2，t＝3，t＝4，……t＝7）
其中t＝x+y＝2的正整数解有1组，t＝x+y＝3的正整数解有2组，t＝x+y＝4的正整数解有3组，……t＝x+y＝8的正整数解有7组，
∴总的正整数解组数为：1+2+3+……+7＝28
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，可三元方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算．
【变式3-3】（2020春•江岸区期末）关于x、y的方程2x+ay＝7仅有一组正整数解，则满足条件的正整数a的值为 ．
【分析】采用列举法根据x的所有值代入求得a的所有正整数解即可．
【解答】解：2x+ay＝7，
ay＝7﹣2x，
①当x＝1时，7﹣2x＝5，
∴ay＝5，
∴a＝1，y＝5（舍）或a＝5，y＝1，
②当x＝2时，7﹣2x＝3，
∴ay＝3，
∴a＝1，y＝3（舍）或a＝3，y＝1，
③当x＝3时，7﹣2x＝1，
∴ay＝1，
∴a＝1，y＝1（舍），
综上，满足条件的正整数a的值为5或3，
故答案为：5或3．
【点评】本题主要考查的是二元一次方程的解，应用列举法求解是解题的关键．
【考点4 二元一次方程组的定义】
【方法点拨】二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方
程组．二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未
知数．③每个方程都是一次方程．
【例4】（2020春•南岗区校级月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．x+3y=52x-3y=7 B．m2+3n=1m6+23n=1
C．m+n=5mn=6 D．2x+3y=101x-5y=6
【分析】根据二元一次方程组的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是二元一次方程组，故本选项符合题意；
B．是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C．是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D．第二个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，能熟记二元一次方程组的定义的内容是解此题的关键．
【变式4-1】（2020春•潍坊期中）在方程组2x-y=1y=3z+1，x=23y-x=1，x+y=03x-y=5，xy=1x+2y=3，1x+1y=1x+y=1 中，是二元一次方程组的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【解答】解：2x-y=1y=3z+1有三个未知数，故不是二元一次方程组；
x=23y-x=1符合二元一次方程组的定义；
x+y=03x-y=5符合二元一次方程组的定义；
xy=1x+2y=3xy的次数是二次，不是二元一次方程组；
1x+1y=1x+y=1 中有分式不是二元一次方程组，
故选：A．
【点评】一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．
【变式4-2】（2020春•涪城区期末）若方程组y|m|+(2-n)xy=2(m-1)x=3是关于x，y的二元一次方程组，则mn＝ ．
【分析】先根据二元一次方程组的概念得出|m|=12-n=0m-1≠0，据此求出m、n的值，代入计算可得．
【解答】解：根据题意知，|m|=12-n=0m-1≠0，
解得m＝﹣1，n＝2，
则mn＝（﹣1）2＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是一元二次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．
②方程组中共含有两个未知数．
③每个方程都是一次方程．
【变式4-3】（2020春•水磨沟区校级期中）方程组y-(a-1)x=5y|a|+(b-5)xy=3是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是 ．
【分析】利用二元一次方程组的定义确定出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：由题意得：|a|＝1，b﹣5＝0，a﹣1≠0，
解得：a＝﹣1，b＝5，
则原式＝（﹣1）5＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键．
【考点5 解二元一次方程组】
【方法点拨】解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（代入消元法）．或者，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数，把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（加减消元法）．②解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．③将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．④把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
【例5】（2020春•蔡甸区校级月考）用规定的方法解方程组：
（1）2x-3y=1y=x-4（用代入法）；
（2）4x-2y=53x-4y=15（用加减法）．
【分析】（1）利用代入消元法求解可得；
（2）利用加减消元法求解可得．
【解答】解：（1）2x-3y=1①y=x-4②，
将②代入①，得：2x﹣3（x﹣4）＝1，
解得x＝11，
将x＝11代入②，得：y＝11﹣4＝7，
∴方程组的解为x=11y=7；
（2）4x-2y=5①3x-4y=15②，
①×2﹣②，得：5x＝﹣5，
解得x＝﹣1，
将x＝﹣1代入①，得：﹣4﹣2y＝5，
解得y=-92，
∴方程组的解为x=-1y=-92．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式5-1】（2020春•涧西区校级期中）解下列方程组：
（1）2x-5y=-12x+3y=7；
（2）x+y3+x-y2=63(x+y)-2(x-y)=28．
【分析】（1）利用加减消元法解方程组得出答案．
（2）方程组整理后，利用加减消元法解方程组得出答案．
【解答】解：（1）2x-5y=-1①2x+3y=7②
②﹣①得，8y＝8，
解得y＝1，
把y＝1代入①得：x＝2，
∴x=2y=1；
（2）方程组整理得5x-y=36①x+5y=28②，
①×5+②得，26x＝208，
解得x＝8，
把x＝8代入①得，y＝4，
∴x=8y=4．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的问题，正确掌握基本解题思路是解题关键．
【变式5-2】（2020春•内乡县期中）用适当的方法解下列方程组：
（1）3x-13y=-16x+3y=2；
（2）2x-15+3y-24=23x+15-3y+24=0．
【分析】各方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）3x-13y=-16①x+3y=2②，
②×3﹣①得：22y＝22，
解得：y＝1，
把y＝1代入②点到：x＝﹣1，
则方程组的解为x=-1y=1；
（2）方程组整理得：8x+15y=54①12x-15y=6②，
①+②得：20x＝60，
解得：x＝3，
把x＝3代入①得：y＝2，
则方程组的解为x=3y=2．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式5-3】（2020春•遂平县期中）解方程组：2x-15+0.3y-0.20.4=2①3x+15-0.03y+0.020.04=0②．
【分析】变形后①+②求出x＝3，把x＝3代入①得出1+3y-24=2，求出y即可．
【解答】解：变形为：2x-15+3y-24=2①3x+15-3y+24=0②，
①+②得：x＝3，
把x＝3代入①得：1+3y-24=2，
解得：y＝2，
所以方程组的解是x=3y=2．
【点评】本题考查了解二元一次方程，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
【考点6 二元一次方程组的解（同解方程组）】
【例6】（2020春•市中区校级月考）已知关于x，y的方程组3x+2y=16k5x-4y=-10k的解也满足方程4x﹣3y＝21，求k的值．
【分析】先求出方程组的解，代入4x﹣3y＝21，即可求出k的值．
【解答】解：3x+2y=16k①5x-4y=-10k②，
①×2+②得：11x＝22k，
解得：x＝2k，
把x＝2k代入①得：6k+2y＝16k，
解得：y＝5k，
∵4x﹣3y＝21，
∴8k﹣15k＝21，
解得：k＝﹣3．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和解一元二次方程，能得出关于k的一元一次方程是解此题的关键．
【变式6-1】（2020春•市中区校级月考）已知关于x，y的方程组2x-3y=3ax+by=-1和2ax+3by=33x+2y=11的解相同，求（3a+b）2020的值．
【分析】因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值，代入（3a+b）2020计算即可．
【解答】解：由题意可得2x-3y=33x+2y=11，
解得x=3y=1，
将x=3y=1代入ax+by=-12ax+3by=3得3a+b=-16a+3b=3，
解得a=-2b=5，
∴（3a+b）2020＝（﹣6+5）2020＝1．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解答此题的关键是根据两方程组有相同的解得到关于x、y的方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含a、b的方程组即可求出a、b的值，即可求出代数式的值．
【变式6-2】（2020春•淮阳区期末）已知关于x，y的两个二元一次方程组2x+26=-5ymx=ny-4和3x=5y+36nx+my+8=0的解相同，求（m+2n）188的值．
【分析】先根据两个方程组的解相同得2x+26=-5y3x=5y+36，解之求出x、y的值，继而可得关于m、n的方程组，解之求出m、n的值后代入计算可得．
【解答】解：由两个方程组的解相同，得2x+26=-5y3x=5y+36，
解得x=2y=-6，
所以有：2m=-6n-42n-6m+8=0，
解得m=1n=-1，
所以（m+2n）188＝（1﹣2）188＝1．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的解的概念及解二元一次方程组的能力．
【变式6-3】（2019春•覃塘区期中）已知关于x，y的二元一次方程组2x-3y=a+6x+2y=2a-8的解满足x﹣y＝a，求x2﹣y2的值．
【分析】运用加减消元法解出关于x，y的二元一次方程组，把方程组的解代入x﹣y＝a，求出a的值，代入计算得到方程组的解．
【解答】解：2x-3y=a+6①x+2y=2a-8②，
②×2﹣①得，
y=37a-227，
把y=37a-227代入②得x=87a-127，
则87a-127-（37a-227）＝a，
解得a＝5．
故方程组的解为x=4y=-1，
x2﹣y2＝16﹣1＝15．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的解，灵活运用加减消元法解方程组是解题的关键．
【考点7 二元一次方程组的解（看错问题）】
【例7】（2020春•华亭市期末）在解关于x，y的方程组ax+by=2cx-7y=8时，老师告诉同学们正确的解是x=3y=-2，小明由于看错了系数c，因而得到的解为x=-2y=2，试求a+b+c的值．
【分析】将两对x与y的值代入方程组中第一个方程，求出a，b的值，将第一对x与y的值代入方程组第二个方程求出c的值即可．
【解答】解：将x＝3，y＝﹣2；x＝﹣2，y＝2分别代入方程组第一个方程得：3a-2b=2①-a+b=1②，
①+②×2得：a＝4，
将a＝4代入②得：b＝5，
将x＝3，y＝﹣2代入方程组第二个方程得：3c+14＝8，即c＝﹣2，
则a+b+c＝7．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
【变式7-1】（2020春•房县期末）小红和小风两人在解关于x，y的方程组ax+3y=5bx+2y=8时，小红只因看错了系数a，得到方程组的解为x=-1y=2，小风只因看错了系数b，得到方程组的解为x=1y=4，求a，b的值和原方程组的解．
【分析】把两组解分别代入正确的方程可求得a和b，可得出原方程组，再解原方程组即可．
【解答】解：根据题意，x=-1y=2 不满足方程ax+3y＝5，但应满足方程bx+2y＝8，
代入此方程，得﹣b+4＝8，解得b＝﹣4．
同理，将x=1y=4代入方程ax+3y＝5，得a+12＝5，
解得a＝﹣7．
所以原方程组应为-7x+3y=5-4x+2y=8，
解得x=7y=18．
【点评】本题主要考查方程组解的定义，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题的关键．
【变式7-2】（2020春•新洲区期中）甲、乙两人同时解方程组mx+y=5①2x-ny=13②甲解题看错了①中的m，解得x=72y=-2，乙解题时看错②中的n，解得x=3y=-7，试求原方程组的解．
【分析】把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值；把m与n的值代入方程组求出解即可．
【解答】解：（1）把x=72y=-2代入②得：7+2n＝13，
解得：n＝3，
把x=3y=-7代入①得：3m﹣7＝5，
解得：m＝4；
把m＝4，n＝3代入方程组得：4x+y=5①2x-3y=13②，
①×3+②得：14x＝28，即x＝2，
把x＝2代入①得：y＝﹣3，
则方程组的解为x=2y=-3．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
【变式7-3】（2020春•邗江区期末）小明和小红同解同一个方程组时，小红不慎将一滴墨水滴在了题目上使得方程组的系数看不清了，显示如下▲x+■y=2(1)◆x-7y=8(2)，同桌的小明说：“我正确的求出这个方程组的解为x=3y=-2”，而小红说：“我求出的解是x=-2y=2，于是小红检查后发现，这是她看错了方程组中第二个方程中x的系数所致”，请你根据他们的对话，把原方程组还原出来．
【分析】设原方程组为ax+by=2①cx-7y=8②，把x=3y=-2代入②，求出c，把x=3y=-2和x=-2y=2代入①，得出方程组，求出a、b的值，即可得出答案．
【解答】解：设原方程组为ax+by=2①cx-7y=8②，
把x=3y=-2代入②得：3c+14＝8，
解得：c＝﹣2，
把x=3y=-2和x=-2y=2代入①得：3a-2b=2-2a+2b=2，
解得：a＝4，b＝5，
即原方程组为4x+5y=2-2x-7y=8．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能够根据题意得出方程或方程组是解此题的关键．
【考点8 二元一次方程组的解（整体思想）】
【例8】（2020春•宛城区期中）已知关于x、y的二元一次方程组3x-my=5，2x+ny=6的解是x=1y=2，求关于a、b的二元一次方程组3(a+b)-m(a-b)=5，2(a+b)+n(a-b)=6的解．
【分析】对比两个方程组，可得a+b就是第一个方程组中的x，即a+b＝1，同理：a﹣b＝2，可得方程组解出即可．
【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组3x-my=5，2x+ny=6的解是x=1y=2，
∴关于a．b的二元一次方程组3(a+b)-m(a-b)=5，2(a+b)+n(a-b)=6满足a+b=1a-b=2，
解得a=32b=-12．
故关于a．b的二元一次方程组3(a+b)-m(a-b)=5，2(a+b)+n(a-b)=6的解是a=32b=-12．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了整体换元的思想解决问题，注意第一个和第二个方程组中的右边要统一．
【变式8-1】（2019秋•沙坪坝区校级月考）若关于m、n的二元一次方程组am-2n=132m+bn=14的解为m=4n=-1，求关于x、y的方程组a(2x+y)-2(x+2y)=132(2x+y)+b(x+2y)=14的解．
【分析】将m=4n=-1代入二元一次方程组，求出a、b的值，再将所求a、b的值代入所求方程组中，利用加减消元法求解方程组即可．
【解答】解：∵二元一次方程组am-2n=132m+bn=14的解为m=4n=-1，
∴4a+2=138-b=14，
∴a=114b=-6，
∴方程组a(2x+y)-2(x+2y)=132(2x+y)+b(x+2y)=14可转化为114(2x+y)-2(x+2y)=13①2(2x+y)-6(x+2y)=14②，
①×3﹣②，得2x+y＝4③，
将2x+y＝4代入②中，得x+2y＝﹣1④，
③×2﹣④，得x＝3，
将x＝3代入④，得y＝﹣2，
∴原方程组的解为x=3y=-2．
【点评】本题考查二元一次方程组的解；理解方程组的解与二元一次方程的关系，能够熟练应用加减消元法求解二元一次方程组是解题的关键．
【变式8-2】（2020秋•鄠邑区期末）如果关于x、y的二元一次方程组3x-ay=162x+by=15的解是x=7y=1，不求a，b的值，你能否求关于x、y的二元一次方程组3(x+y)-a(x-y)=162(x+y)+b(x-y)=15的解？如果能，请求出方程组的解．
【分析】第二个方程组中的x+y与x﹣y就是相当于第一个方程组中的x、y，据此即可列方程组求解．
【解答】解：根据题意可得x+y=7x-y=1，
解得：x=4y=3．
【点评】本题考查了方程组的解，理解第二个方程组中的x+y与x﹣y就是相当于第一个方程组中的x、y，理解整体思想是关键．
【变式8-3】（2020春•河口区期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想．
（1）解方程组3x-2y=-13x+2y=7，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 ；
（2）如何解方程组3(m+5)-2(n+3)=-13(m+5)+2(n+3)=7呢？我们可以把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 ；
由此请你解决下列问题：
若关于m，n的方程组am+bn=72m-bn=-2的值与3m+n=5am-bn=-1有相同的解，求a、b的值．
【分析】（1）利用加减消元法，可以求得；
（2）利用换元法，把设m+5＝x，n+3＝y，则方程组化为（1）中的方程组，可求得x，y的值进一步可求出原方程组的解；对要解决的问题把am和bn当成一个整体利用已知条件可求出am和bn，再把bn代入2m﹣bn＝﹣2与3m+n＝5可求出m和n的值，继而可求出a、b的值．
【解答】解：（1）方程组的解为：x=1y=2；故应填：x=1y=2；
（2）设m+5＝x，n+3＝y，则原方程组可化为组3x-2y=-13x+2y=7，由（1）可得：x=1y=2，所以可解得m=-4n=-1，故应填：m=-4n=-1；
由方程组am+bn=72m-bn=-2的值与3m+n=5am-bn=-1有相同的解可得方程组am+bn=7am-bn=-1，解得am=3bn=4，
把bn＝4代入方程2m﹣bn＝﹣2得2m＝2，解得m＝1，
再把m＝1代入3m+n＝5得3+n＝5，解得n＝2，
把m＝1代入am＝3得：a＝3，
把n＝2代入bn＝4得：b＝2，
所以a＝3，b＝2．
【点评】本题主要考查整体思想及换元法的应用，解题的关键是理解好整体思想．
【考点9 二元一次方程的应用】
【例9】（2020春•天河区期末）把一根长为7m的钢管截断，从中得到两种不同规格的钢管，已知两种规格的钢管长分别为2m和1m，为了不造成浪费，不同的截法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【分析】设可以截成x根2m长的钢管和y根1m长的钢管，根据截成的各段钢管的长度之和为7m，即可得出关于x，y的二元一次方程组，结合x，y均为正整数即可找出各种不同的截法．
【解答】解：设可以截成x根2m长的钢管和y根1m长的钢管，
依题意，得：2x+y＝7，
∴y＝7﹣2x．
∵x，y均为正整数，
∴当x＝1时，y＝5；当x＝2时，y＝3；当x＝3时，y＝1，
∴共有3种不同的截法，截法1：截成1根2m长的钢管和5根1m长的钢管；截法2：截成2根2m长的钢管和3根1m长的钢管；截法3：截成3根2m长的钢管和1根1m长的钢管，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
【变式9-1】（2020•黑龙江）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ）
A．12种 B．15种 C．16种 D．14种
【分析】有两个等量关系：购买A种奖品钱数+购买B种奖品钱数+购买C种奖品钱数＝200；C种奖品个数为1或2个．设两个未知数，得出二元一次方程，根据实际含义确定解．
【解答】解：设购买A种奖品m个，购买B种奖品n个，
当C种奖品个数为1个时，
根据题意得10m+20n+30＝200，
整理得m+2n＝17，
∵m、n都是正整数，0＜2n＜17，
∴n＝1，2，3，4，5，6，7，8；
当C种奖品个数为2个时，
根据题意得10m+20n+60＝200，
整理得m+2n＝14，
∵m、n都是正整数，0＜2n＜14，
∴n＝1，2，3，4，5，6；
∴有8+6＝14种购买方案．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．要注意题中未知数的取值必须符合实际意义．
【变式9-2】（2020春•回民区期末）陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还余418元．”王老师算了一下，说：“你肯定弄错了．”陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于5元的整数，那么笔记本的单价可能是（ ）元．
A．1元 B．2元 C．3元 D．4元
【分析】设购买单价为8元的书x本，笔记本的单价为y元，则购买单价为12元的书（105﹣x）本，根据105本书及笔记本共花了（1500﹣418）元，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，且y＜5，即可求出结论．
【解答】解：设购买单价为8元的书x本，笔记本的单价为y元，则购买单价为12元的书（105﹣x）本，
依题意，得：8x+y+12（105﹣x）＝1500﹣418，
∴y＝178﹣4x，
又∵x，y均为正整数，且y＜5，
∴x＝44，y＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
【变式9-3】（2020春•丽水期中）某商场计划用56000元从厂家购进60台新型电子产品，已知该厂家生产甲、乙、丙三种不同型号的电子产品，设甲、乙型设备应各买入x，y台，其中每台的价格、销售获利如下表：
甲型
乙型
丙型
价格（元/台）
1000
800
500
销售获利（元/台）
260
190
120
（1）购买丙型设备 台（用含x，y的代数式表示）；
（2）若商场同时购进三种不同型号的电子产品（每种型号至少有一台），恰好用了56000元，则商场有哪几种购进方案？
（3）在第（2）题的基础上，为了使销售时获利最多，应选择哪种购进方案？此时获利为多少？
【分析】（1）根据购买丙型设备的数量＝60﹣购买甲型设备的数量﹣购买乙型设备的数量，即可得出结论；
（2）根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y，（60﹣x﹣y）均为正整数，即可得出各购进方案；
（3）根据总利润＝单台利润×销售数量，即可分别求出选择3种购进方案可获得的销售利润，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）购买丙型设备（60﹣x﹣y）台．
故答案为：（60﹣x﹣y）．
（2）依题意，得：1000x+800y+500（60﹣x﹣y）＝56000，
整理得：5x+3y＝260，
∴x＝52-35y．
又∵x，y，（60﹣x﹣y）均为正整数，
∴y为5的倍数，
当y＝5时，x＝49，60﹣x﹣y＝6；
当y＝10时，x＝46，60﹣x﹣y＝4；
当y＝15时，x＝43，60﹣x﹣y＝2；
当y＝20时，x＝40，60﹣x﹣y＝0，不合题意，舍去．
∴共有3种购进方案，方案1：购进甲型设备49台，乙型设备5台，丙型设备6台；方案2：购进甲型设备46台，乙型设备10台，丙型设备4台；方案3：购进甲型设备43台，乙型设备15台，丙型设备2台．
（3）选择方案1的销售利润为260×49+190×5+120×6＝14410（元）；
选择方案2的销售利润为260×46+190×10+120×4＝14340（元）；
选择方案3的销售利润为260×43+190×15+120×2＝14270（元）．
∵14410＞14340＞14270，
∴购进甲型设备49台，乙型设备5台，丙型设备6台，获利最多，此时利润为14410元．
【点评】本题考查了列代数式以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x，y的代数式表示出购进丙型设备的数量；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，分别求出选择3种购进方案可获得的销售利润．
【考点10 二元一次方程组的应用（配套问题）】
【例10】（2020春•卫辉市期中）某车间有工人56名，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓24个或螺母36个，应怎样分配工人，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套？
【分析】设应分配x人生产螺栓，y人生产螺母，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套，根据每人每天平均能生产螺栓24个或螺母36个和一个螺栓配2个螺母刚好配套，列出方程组，再进行求解即可．
【解答】解：设应分配x人生产螺栓，y人生产螺母，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套，
根据题意，得x+y=5636y=2×24x，
解得x=24y=32，
答：应分配24个人生产螺栓，32个人生产螺母．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，解决此类题目需仔细分析题意，利用方程组即可解决问题，但应注意配套问题中零件数目的关系．
【变式10-1】（2019秋•东湖区期末）机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
【分析】设需安排x名工人加工大齿轮，安排y名工人加工小齿轮，根据平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，可列成方程组求解．
【解答】解：设需安排x名工人加工大齿轮，安排y名工人加工小齿轮，
x+y=8516x：10y=2：3，
解得：x=25y=60．
答：需安排25名工人加工大齿轮，安排60名工人加工小齿轮．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是能准确理解2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，根据此正确列出方程．
【变式10-2】（2020春•新野县期末）实验室需要一批无盖的长方体模型，一张大纸板可以做成长方体的侧面30个，或长方体的底面25个，一个无盖的长方体由4个侧面和一个底面构成．现有26张大纸板，则用多少张做侧面，多少张做底面才可以使得刚好配套，没有剩余？
【分析】设用x张做侧面，y张做底面才可以使得刚好配套，没有剩余，根据一个无盖的长方体由4个侧面和一个底面构成．现有26张大纸板，列出方程组，求出x，y的值即可；
【解答】解：设用x张做侧面，y张做底面才可以使得刚好配套，没有剩余，根据题意得：
x+y=2630x=4×25y，
解得：x=20y=6．
答：用20张做侧面，6张做底面才可以使得刚好配套，没有剩余．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
【变式10-3】用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）．
A方法：剪6个侧面；
B方法：剪4个侧面和5个底面．
现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．
（1）分别求裁剪出的侧面和底面的个数（用x的代数式表示）
（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
【分析】（1）由x张用A方法，就有（19﹣x）张用B方法，就可以分别表示出侧面个数和底面个数；
（2）由侧面个数和底面个数比为3：2建立方程求出x的值，求出侧面的总数就可以求出结论．
【解答】解：（1）∵裁剪时x张用A方法，
∴裁剪时（19﹣x）张用B方法．
∴侧面的个数为：6x+4（19﹣x）＝（2x+76）个，
底面的个数为：5（19﹣x）＝（95﹣5x）个；
（2）由题意，得（2x+76）：（95﹣5x）＝3：2，
解得：x＝7，
∴盒子的个数为：2×7+763=30．
答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，列代数式的运用以及分式方程的应用，解答时根据裁剪出的侧面和底面个数相等建立方程是关键．
【考点11 二元一次方程组的应用（历史文献问题）】
【例11】（2020•藁城区期末）我国是最早认识方程组的国家．比欧洲早一千多年，在古代数学名著《九章算术》中就记载了利用算筹表示方程组和解方程组的问题，下面的表示的是方程组3x+2y+z=392x+3y+z=34x+2y+3z=26，那么算筹所表示的方程组的解是（ ）
A．x=1y=2 B．x=2y=3 C．x=4y=1 D．x=3y=3
【分析】找出给定的算筹所表示的方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：依题意，得：2x+3y=11x+3y=7，
解得：x=4y=1．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找出算筹所表示的方程组是解题的关键．
【变式11-1】（2019•南昌二模）《孙子算经》有这样一道题：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？大意是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条长度多一尺，则木条长 尺．
【分析】设绳子长x尺，木条长y尺，根据“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条长度多一尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设绳子长x尺，木条长y尺，
依题意，得：x-y=4.5y-12x=1，
解得：x=11y=6.5．
故答案为：6.5．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式11-2】（2020春•武川县期中）“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雏兔同笼，上有二十五头，下有七十六足，问雏兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有25个头；从下面数，有76条腿，问笼中各有几只鸡和兔？
【分析】设笼中有x只鸡，y只兔，根据“上有二十五头，下有七十六足”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设笼中有x只鸡，y只兔，
根据题意得：x+y=252x+4y=76，
解得：x=12y=13．
答：笼中有12只鸡，13只兔．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式11-3】（2020春•海州区期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十二两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两（袋
子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？（请用方程组解答）
【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量＝11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）＝12两，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
由题意得：9x=11y(10y+x)-(8x+y)=12，
解得x=33y=27．
答：每枚黄金重33两，每枚白银重27两．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
【考点12 二元一次方程组的应用（几何图形问题）】
【例12】（2020春•临颍县期末）如图所示是由截面为同一种矩形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高10cm，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低40cm，则每块墙砖的截面面积是 ．
【分析】设每块墙砖的长为xcm，宽为ycm，根据“三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高10cm，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低40cm”列方程组求解可得．
【解答】解：设每块墙砖的长为xcm，宽为ycm，根据题意得：
x+10=3y2x=2y+40，
解得：x=35y=15，
则每块墙砖的截面面积是35×15＝525（cm2）．
故答案为：525cm2．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系列方程组是解题的关键．
【变式12-1】（2020春•西湖区校级期中）如图，在大长方形中放入6个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中大长方形的面积是（ ）
A．96 B．112 C．126 D．140
【分析】设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm，根据图示可以列出方程组x-2y+y=6x+3y=14，然后解这个方程组即可求出小长方形长和宽，然后求得大长方形的长和宽，从而求得面积．
【解答】解：设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm，
依题意得x-2y+y=6x+3y=14，
解之得x=8y=2，
∴小长方形的长、宽分别为8cm，2cm，
∴S大长方形＝AB•BC＝14×10＝140cm2，
故选：D．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．
【变式12-2】（2020春•新乡期末）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为3mm的小正方形，则每个小长方形的面积为（ ）
A．120mm2 B．135mm2 C．108mm2 D．96mm2
【分析】设每个小长方形的长为xmm，宽为 ymm，根据图形给出的信息可知，长方形的5个宽与其3个长相等，两个宽﹣一个长＝3，于是得方程组，解出即可．
【解答】解：设每个长方形的长为xmm，宽为 ymm，由题意，
得3x=5y2y-x=3，
解得：x=15y=9．
9×15＝135（mm2）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
【变式12-3】（2020春•崇川区校级期末）现有如图（1）的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a，宽为b．用3个如图（2）的全等图形和8个如图（1）的小长方形，拼成如图（3）的大长方形，若大长方形的宽为30cm，则图（3）中阴影部分面积与整个图形的面积之比为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【分析】根据题意、结合图形可以得到方程组a+3b=30a=3b，解出a|B的值，再表示出阴影面积和整个图形的面积，求出比值即可．
【解答】解：∵大长方形的宽为30cm，
∴a+3b＝30，
根据图③可得3b＝a，
组成方程组a+3b=30a=3b，
解得：a=15b=5，
∵阴影面积为3（a﹣b）2，
整个图形的面积为：4a（a+3b），
∴阴影部分面积与整个图形的面积之比为3(a-b)24a(a+3b)=3×10060×30=16，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是看懂图示，找出题目中的等量关系，求出a和b．
【考点13 二元一次方程组的应用（行程问题）】
【例13】（2020春•西宁期末）甲，乙二人赛跑，如果乙比甲先跑8m，那么甲跑4s就能追上乙；如果甲让乙先跑1s，那么甲跑3s就能追上乙，设甲，乙每秒分别跑xm和ym，则可列出的方程组是（ ）
A．4x=4y+83x=3y+y B．4x+8=4y3x-3y=1
C．4x=4y+83x-1=3y D．4x-4y=83x-y=y
【分析】此题是追及问题，等量关系是：甲的行程＝乙的行程．乙比甲先跑8m，那么甲跑4s就能追上乙，则4x＝4y+8；甲让乙先跑1s，那么甲跑3s就能追上乙，则3x＝3y+y．
【解答】解：设甲，乙每秒分别跑xm和ym．
则可列出的方程组是4x=4y+83x=3y+y．
故选：A．
【点评】此题是追及问题，等量关系是：甲的行程＝乙的行程．应该注意的是：如甲用4s就追上了乙，则乙也同时跑了4s．
【变式13-1】（2020•绍兴）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km，它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（ ）
A．120km B．140km C．160km D．180km
【分析】设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，根据题意得关于x和y的二元一次方程组，求解即可．
【解答】解：设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，如图：
设AB＝xkm，AC＝ykm，根据题意得：
2x+2y=210×2x-y+x=210，
解得：x=140y=70．
∴乙在C地时加注行驶70km的燃料，则AB的最大长度是140km．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，理清题中的数量关系正确列出方程组是解题的关键．
【变式13-2】（2020春•广饶县期末）某体育场的环形跑道长400m，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和自行车，如果反向而行，他们每隔30s相遇一次．如果同向而行，那么每隔80s乙就追上甲一次．则甲的速度是 m/s．
【分析】设甲的速度为xm/s，乙的速度为ym/s，根据“某体育场的环形跑道长400m，如果反向而行，他们每隔30s相遇一次．如果同向而行，那么每隔80s乙就追上甲一次”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设甲的速度为xm/s，乙的速度为ym/s，
依题意，得：30x+30y=40080y-80x=400，
解得：x=256y=556．
故答案为：256．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式13-3】（2020秋•博野县期末）从少先队夏令营到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度通过平路，到学校共用了55分钟，回来时，通过平路速度不变，但以每小时6千米的速度上山，回到营地共花去了1小时10分钟，问夏令营到学校有多少千米？
【分析】设平路x千米，山路y千米，从营地回学校用了55分钟，从学校回营地用了1小时10分钟可得出方程组，解出即可．
【解答】解：设平路x千米，山路y千米，
由题意得，x9+y12=1112x9+y6=116，
解得：x=6y=3，
故夏令营到学校有3+6＝9千米．
答：夏令营到学校有9千米．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
【考点14 二元一次方程组的应用（工程问题）】
【例14】（2020春•邵阳校级月考）某市准备对一段长120m的河道进行清淤疏通，若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天；设甲工程队平均每天疏通河道x m，乙工程队平均每天疏通河道y m，则（x+y）的值为（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
【分析】设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，就有4x+9y＝120，8x+3y＝120，由此构成方程组求出其解即可．
【解答】解：设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，
由题意，得：
4x+9y=1208x+3y=120，
解得：x=12y=8．
∴x+y＝20．
故选：A．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，工程问题的数量关系的运用，解答时由工程问题的数量关系建立方程组求出其解是关键．
【变式14-1】（2020春•九龙坡区校级期末）九龙坡区某工程公司积极参与“精美城市，幸福九龙坡建设，该工程公司下属的甲工程队、乙工程队别承包了杨家坪地区的A工程、B工程，甲工程队晴天需要14天完成，雨天工作效率下降30%，乙工程队晴天需15天完成，雨天工作效率下降20%，实际上两个工程队同时开工，同时完工．两工程队各工作了 天．
【分析】根据题意找出两个等量关系：①甲工程队晴天所做的工程量+雨天所做的工程量＝总工程量；②乙工程队晴天所做的工程量+雨天所做的工程量＝总工程量．设工程总量为1，则甲工程队晴天工作效率为114，雨天工作效率为1-30%14；乙工程队晴天工作效率为115，雨天工作效率为1-20%15，根据等量关系列出方程组求解即可．
【解答】解：设两工程队各工作了x天，在施工期间有y天有雨，
由题意得：114(x-y)+1-30%14y=1115(x-y)+1-20%15y=1，
解得：x=17y=10．
即两工程队各工作了17天．
故答案为：17．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，关键在于弄清题意，找出两个合适的等量关系，列出方程组求解．
【变式14-2】（2020春•扬州校级月考）甲、乙2个工人同时接受一批任务，上午工作的4小时中，甲先用了2.5小时改装机器以提高工效，因此，上午工作结束时，甲比乙少做40个零件；下午两人继续工作4小时后，全天总计甲反而比乙多做420个零件，问这一天甲、乙各做多少个零件？
【分析】设甲每小时做x个零件，乙每小时做y个零件，根据题意可得，甲5.5小时比乙8小时多做420个零件，甲1.5小时比乙4小时少做40个零件，据此列方程组求解．
【解答】解：设甲每小时做x个零件，乙每小时做y个零件，
由题意得，5.5x-8y=4204y-1.5x=40，
解得：x=200y=85，
则甲一天做200×5.5＝1100个，
乙一天做85×8＝680个．
答：这一天甲做了1100个零件，乙做了680个零件．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
【变式14-3】（2020春•邹平市期末）在《二元一次方程组》这一章的复习课上，王老师让同学们根据下列条件探索还能求出哪些量：在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建条335米长的公路，甲队每天修建20米，乙队每天修建25米，一共用15天完成．
（1）小红同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组x+y=？20x+25y=*请写出小红所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示 ，y表示 ；并写出该方程组中？处的数应是 ，*处的数应是 ；
（2）小芳同学的思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照小芳的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？
【分析】（1）根据题意和小红同学列出的方程组可以解答本题；
（2）利用小红列出的方程组可以解答本题
【解答】解：（1）根据方程组中第二个方程可得x是与甲队每天修建的长度相乘，y是与乙队每天修建的长度相乘，这样可得出x、y分别是甲、乙两队各自修路的天数，从而得到x+y＝15，20x+25y＝335；
故答案为：甲队修路的天数；乙队修路的天数；15；335；
（2）方程组为：x+y=335①x20+y25=15②，
由①得，x＝335﹣y③，
将③式代入②式得，335-y20+y25=15，
解得，y＝175，
所以，乙队修建了175米，修建的天数为17525=7（天）．
答：乙队修建了175米，修建了7天．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的思想解答．
【考点15 二元一次方程组的应用（分段计费问题）】
【例15】（2019春•邵阳县期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：（水价计费＝自来水销售费用+污水处理费用）
自来水销售价格
污水处理价格
每户每月用水量
单价：元/吨
单价：元/吨
17吨及以下
a
0.80
超过17吨不超过30吨的部分
b
0.80
超过30吨的部分
6.00
0.80
已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．
（1）求a，b的值．
（2）小王家6月份交水费184元，则小王家6月份用水多少吨？
【分析】（1）根据题意和表格可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出a、b的值；
（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得小王家本月用水量为多少吨．
【解答】解：（1）根据题意可得，
17a+3b+20×0.8=6617a+8b+25×0.8=91，
解得，a=2.2b=4.2，
即a的值是2.2，b的值是4.2；
（2）设小王家6月份用水x吨，
根据题意知，30吨的水费为：17×2.2+13×4.2+30×0.8＝116，
∵184＞116，
∴小王家6月份计划用水超过了30吨
∴6.0（x﹣30）+116+0.80×（x﹣30）＝184，
解得，x＝40
即小王家6月份用水量40吨．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
【变式15-1】（2019春•西湖区校级月考）为鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息，请解答：
自来水销售价格
每户每月用水量
单位：元/吨
15吨及以下
a
超过15吨但不超过25吨的部分
b
超过25吨的部分
5
（1）小王家今年3月份用水20吨，要交水费 元；（用a，b的代数式表示）
（2）小王家今年4月份用水21吨，交水费48元；邻居小李家4月份用水27吨，交水费70元，求a，b的值．
（3）在第（2）题的条件下，小王家5月份用水量与4月份用水量相同，却发现要比4月份多交9.6元钱水费，小李告诉小王说：“水价调整了，表中表示单位的a，b的值分别上调了整数角钱（没超过1元），其他都没变．”到底上调了多少角钱呢？请你帮小王求出符合条件的所有可能情况．
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意列方程组，即可得到结论；
（3）根据题意列出二元一次方程，求出符合条件的所有可能情况即可．
【解答】解：（1）∵小王家今年3月份用水20吨，要交水费为15a+5b，
故答案为：（15a+5b）；
（2）根据题意得，15a+6b=4815a+10b+5×2=70，
解得：a=2b=3；
（3）设a上调了x元，b的值上调了y元，
根据题意得，15x+6y＝9.6，
∴5x+2y＝3.2，
∵x，y为整数角钱（没超过1元），
∴当x＝0.6元时，y＝0.1元，
当x＝0.4元时，y＝0.6元，
∴a的值上调了0.6元或0.4元，b的值上调了0.1元或0.6元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
【变式15-2】（2020春•醴陵市期末）为建设资源节约型社会，醴陵市自2012年以来就对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180度及（含180度）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180度以上到450度时（含450度时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450度时的部分，执行市场调节价格．经统计，我市小军同学家今年2月份用电200度，电费为119元，3月份用电210度时，电费为125.4元．
（1）请根据小军家的用电量和电费情况，求出第一档的电价和第二档的电价分别是多少元/度．
（2）已知小军同学家今年4、5月份的家庭用电量分别为160度和230度，请问小军家4、5月份的电费分别为多少元？
【分析】（1）设第一档的电价为x元/度，第二档的电价为y元/度，根据“小军同学家今年2月份用电200度，电费为119元，3月份用电210度时，电费为125.4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用小军家4月份的电费＝第一档电价×4月份的用电量和小军家5月份的电费＝第一档电价×180+第二档电价×（5月份的用电量﹣180），即可求出结论．
【解答】解：（1）设第一档的电价为x元/度，第二档的电价为y元/度，
依题意，得：180x+(200-180)y=119180x+(210-180)y=125.4，
解得：x=0.59y=0.64．
答：第一档电价为0.59元/度，第二档的电价为0.64元/度．
（2）0.59×160＝94.4（元），
0.59×180+0.64×（230﹣180）＝138.2（元）．
答：小军家4月份的电费为94.4元，5月份的电费为138.2元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式15-3】（2019•呼和浩特）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目
里程费
时长费
远途费
单价
1.8元/公里
0.3元/分钟
0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元．
小王与小张各自乘坐满滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．
（1）求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟；
（2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟，计算俩人各自的实际乘车时间．
【分析】（1）设小王的实际车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，根据两人付给滴滴快车的乘车费相同列方程求解即可；
（2）根据“等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟”列二元一次方程，将其与（1）中的二元一次方程联立即可求解．
【解答】解：（1）设小王的实际行车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，由题意得：
1.8×6+0.3x＝1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5﹣7）
∴10.8+0.3x＝16.5+0.3y
0.3（x﹣y）＝5.7
∴x﹣y＝19
∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟．
（2）由（1）及题意得：x-y=191.5y=12x+8.5
化简得x-y=19①3y-x=17②
①+②得2y＝36
∴y＝18 ③
将③代入①得x＝37
∴小王的实际乘车时间为37分钟，小张的实际乘车时间为18分钟．
【点评】本题考查了二元一次方程和二元一次方程组在实际问题中的应用，根据等量关系列方程或方程组是解题的关键．
【考点16 二元一次方程组的应用（方案设计问题）】
【例16】（2020春•江都区期末）某制纸厂生产A型、B型两种不同规格的纸，需用甲、乙两种不同的原料．若甲原料成本为0.5元/m3，乙原料成本为1元/kg，其它相关数据如下表所示：
甲原料/m3
乙原料/kg
售价/元
每百张A型纸
1
2
4
每百张B型纸
1.2
3
5
（1）若生产这两种纸需用甲原料108m3、乙原料240kg，则这两种规格的纸各多少百张？
（2）若该厂生产A型纸a百张，则生产这种A型纸的利润是多少元（用含a的代数式表示）？（利润＝售价﹣成本）
（3）该厂发现，当制纸总量超过10000百张时，需额外支出8800元的设备维护费，现该厂接到一笔订单，要求生产A型纸的数量是B型纸数量的2倍，若该厂希望获得13200元的利润，则有哪几种生产方案？
【分析】（1）列方程组求解即可；
（2）用代数式表示售价和成本，利用利润＝售价﹣成本得出结果；
（3）设未知数，利用方程，求解即可．
【解答】解：（1）设生产A型纸x百张，B型纸y百张，由题意得，
x+1.2y=1082x+3y=240，
解得，x=60y=40，
答：生产A型纸60百张，B型纸40百张；
（2）4a﹣（0.5×a×1+1×a×2）＝1.5a，
答：生产这种A型纸的利润是1.5a元；
（3）设生产B型纸m百张，则生产A型纸2m百张，由题意得，
每百张A型纸的利润为4×2m﹣（0.5×2m×1+1×2m×2）＝3m，
每百张B型纸的利润为5m﹣（1.2×m×0.5+3×m×1）＝1.4m，
①当m+2m＜10000时，有3m+1.4m＝13200，
解得m＝3000，则2m＝6000，
即生产A型纸6000百张，则生产B型纸3000百张；
②当m+2m＞10000时，有3m+1.4m＝13200+8800，
解得m＝5000，则2m＝10000，
即生产A型纸10000百张，则生产B型纸5000百张；
因此有两种生产方案，A型纸6000百张，B型纸3000百张或A型纸10000百张，B型纸5000百张．
【点评】本题考查方程（组）及其应用，用代数式表示数量和数量关系是解决问题的关键．
【变式16-1】（2020春•越城区校级期中）雅安地震发生后，全国人民抗震救灾，众志成城，值地震发生一周年之际，某地政府又筹集了重建家园的必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨/辆）
5
8
10
汽车运费（元/辆）
400
500
600
（1）全部物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车 辆来运送．
（2）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（3）已知三种车的总辆数为14辆，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种运费最省？
【分析】（1）根据需要丙型车的辆数＝（需要运送物质的总重量﹣甲型汽车运送货物的总重量﹣丙型汽车运送货物的总重量）÷每辆丙型车的运载量，即可求出结论；
（2）设需甲型车x辆，乙型车y辆，根据“用甲、乙两种车型运送120吨物质，共需运费8200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设安排甲型车m辆、乙型车n辆、则安排丙型车（14﹣m﹣n）辆，根据一次正好运送货物120吨，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n，（14﹣m﹣n）均为非负整数，即可得出各运送方案，再分别求出各运送方案所需费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）（120﹣5×8﹣8×4）÷10＝4（辆）．
故答案为：4．
（2）设需甲型车x辆，乙型车y辆，
依题意，得：5x+8y=120400x+500y=8200，
解得：x=8y=10．
答：需要甲型车8辆、乙型车10辆．
（3）设安排甲型车m辆、乙型车n辆、则安排丙型车（14﹣m﹣n）辆，
依题意，得：5m+8n+10（14﹣m﹣n）＝120，
∴n＝10-52m．
又∵m，n，（14﹣m﹣n）均为非负整数，
∴m=0n=10或m=2n=5或m=4n=0，
∴共有3种安排方案，方案1：安排10辆乙型车，4辆丙型车；方案2：安排2辆甲型车，5辆乙型车，7辆丙型车；方案3：安排4辆甲型车，10辆丙型车．
方案1所需运费为500×10+600×4＝7400（元）；
方案2所需运费为400×2+500×5+600×7＝7500（元）；
方案3所需运费为400×4+600×10＝7600（元）．
∵7400＜7500＜7600，
∴选择方案1所需运费最省，即安排10辆乙型车，4辆丙型车所需运费最省．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
【变式16-2】（2020春•安丘市期末）某生态柑橘园现有柑橘21吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨．
（1）1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运柑橘多少吨？
（2）若计划租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载．
①请帮柑橘园设计租车方案；
②若A型车每辆需租金120元/次，B型车每辆需租金100元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【分析】（1）设1辆A型车满载时一次可运柑橘x吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘y吨，根据“用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①根据一次运载柑橘21吨，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数，即可得出各租车方案；
②根据租车总费用＝租用每辆车的费用×租用的辆数，即可求出各租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设1辆A型车满载时一次可运柑橘x吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘y吨，
依题意，得：2x+3y=123x+4y=17，
解得：x=3y=2．
答：1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨．
（2）①依题意，得：3m+2n＝21，
∴m＝7-23n．
又∵m，n均为非负整数，
∴m=1n=9或m=3n=6或m=5n=3或m=7n=0．
答：共有4种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用3辆A型车，6辆B型车；方案3：租用5辆A型车，3辆B型车；方案4：租用7辆A型车．
②方案1所需租车费为120×1+100×9＝1020（元），
方案2所需租车费为120×3+100×6＝960（元），
方案3所需租车费为120×5+100×3＝900（元），
方案4所需租车费为120×7＝840（元）．
∵1020＞960＞900＞840，
∴最省钱的租车方案是租用7辆A型车，最少租车费是840元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①找准等量关系，正确列出二元一次方程；②根据各数量之间的关系，求出各租车方案所需费用．
【变式16-3】（2020春•雨花区校级月考）中雅初一年级举行一次公益活动，用步行的方式募集善款，其中挑战型路线的起点是中雅站，并沿着规定的线路到达终点非遗馆站．甲、乙两组同学从起点同时出发，已知甲组的速度为6km/h，乙组的速度为5km/h，当甲组到达终点后，立即以3km/h的速度按原线路返回，并在途中的P站与乙组相遇，P站与非遗馆站之间的路程为1.5km．
（1）当甲组到达终点时，乙组离终点还有多少路程？
（2）同学们在挑战前共同购进了50个糖画，已知有3种类型的糖画，其中A种每个10
元，B种每个12元，C种每个15元，购进两种类型糖画共用去550元，请你研究一下
进货方案；
（3）在第（2）问条件下，同学们卖一个A可获利1.5元，卖一个B可获利2元，卖一个C可获利2.5元，在同时购进两种不同类型的糖画方案中，为了使得获利最多，你选哪种方案？
【分析】（1）利用当甲组到达终点时乙组离终点的距离＝P站到终点的距离+乙组的速度÷甲组返回到P站所用的时间，即可求出结论；
（2）利用平均价＝总价÷数量可求出购买糖画的平均价，结合三种糖画的价格可得出必购进A种糖画，分购进A，B两种糖画和购进A，C两种糖画两种情况考虑，根据购进50个糖画共花费550元，即可得出关于x，y（或m，n）的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）利用总利润＝销售每个糖画的利润×销售数量（购进数量），可分别求出选择2种方案获得的总利润，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）1.5+1.53×5＝4（km）．
答：当甲组到达终点时，乙组离终点还有4km路程．
（2）购进糖画的平均价为550÷50＝11（元），
∵10＜11＜12＜15，
∴必购进A种糖画．
若购进A，B两种糖画，设购进x个A种糖画，y个B种糖画，
依题意，得：x+y=5010x+12y=550，
解得：x=25y=25；
若购进A，C两种糖画，设购进m个A种糖画，n个C种糖画，
依题意，得：m+n=5010m+15n=550，
解得：m=40n=10．
∴共有2种进货方案，方案1：购进25个A种糖画，25个B种糖画；方案2：购进40个A种糖画，10个C种糖画．
（3）方案1获得的利润为1.5×25+2×25＝87.5（元）；
方案2获得的利润为1.5×40+2.5×10＝85（元）．
∵87.5＞85，
∴选择方案1，即购进25个A种糖画，25个B种糖画．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）利用总利润＝销售每个糖画的利润×销售数量（购进数量），分别求出选择2个方案获得的总利润．
【考点17 二元一次方程（组）与一次函数】
【例17】（2020春•新泰市期末）如图，l1经过点（0，1.5）和（2，3），l2经过原点和点（2，3），以两条直线l1、l2的交点坐标为解的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用待定系数法求出直线l1、l2的解析式，进而可得答案．
【解答】解：设直线l1的解析式为y＝kx+b，
∵l1经过点（0，1.5）和（2，3），
∴，
解得：，
∴直线l1的解析式为y＝x+1.5，
设直线l2的解析式为y＝ax，
∵l2经过点（2，3），
∴3＝2a，
解得：a＝，
∴直线l2的解析式为y＝x，
∴以两条直线l1、l2的交点坐标为解的方程组是，
即，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握任何一个一次函数都可以转化为一个二元一次方程，二元一次方程组的解就是两函数图象的交点．
【变式17-1】（2020春•河口区期末）如图，直线l1的函数表达式为y＝3x﹣2，且直线l1与x轴交于点D．直线l2与x轴交于点A，且经过点B（4，1），直线l1与l2交于点C（m，3）．
（1）求点D和点C的坐标；
（2）求直线l2的函数表达式；
（3）利用函数图象写出关于x，y的二元一次方程组y=3x-26x+7y=31的解．
【分析】（1）求函数值为0时一次函数y＝3x﹣2所对应的自变量的值即可得到D点坐标，把C（m，3）代入y＝3x﹣2求出m得到C点坐标；
（2）利用待定系数法求直线l2的解析式；
（3）利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【解答】解：（1）在y＝3x﹣2中
令y＝0，即3x﹣2＝0 解得x=23，
∴D（23，0），
∵点C（m，3）在直线y＝3x﹣2上，
∴3m﹣2＝3，
∴m=53，
∴C（53，3）；
（2）设直线l2的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
由题意得：53k+b=34k+b=1，
解得：k=-67b=317，
∴y=-67x+317；
（3）由图可知，二元一次方程组y=3x-26x+7y=31的解为x=53y=3．
【点评】一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了一次函数的性质．
【变式17-2】（2020春•济源期末）已知二元一次方程x+y＝3，通过列举法将方程的解写成表格的形式：
x
﹣1
m
32
3
4
y
4
3
32
0
n
如果将二元一次方程的解所包含的未知数x的值对应平面直角坐标系中一个点的横坐标，未知数y的值对应这个点的纵坐标，这样每一个二元一次方程的解，就可以对应平面直角坐标系中的一个点，例如：方程x+y＝3的解x=1y=2，对应的点是（1，2）；
（1）表格中的m＝ ，n＝ ；
（2）通过以上确定对应点坐标的方法，将表格中给出的五个解依次转化为对应点的坐标，在所给的平面直角坐标系中画出这五个点；
（3）观察这些点猜想方程x+y＝3的所有解的对应点所组成的图形是 ，并写出它的两个特征：① ，② ；
（4）若点P（﹣2a，a﹣1）恰好落在x+y＝3的解对应的点组成的图形上，求a的值．
【分析】（1）将x＝m，y＝3代入x+y＝3得m的值；将x＝4，y＝n代入x+y＝3得n的值；
（2）将表格中给出的五个解转化为对应点的坐标在坐标系描财即可；
（3）由图象易得x+y＝3的解对应的点所组成的图形的特征；
（4）将点P（﹣2a，a﹣1）代入x+y＝3解方程组即可得a的值．
【解答】解：（1）①将x＝m，y＝3代入x+y＝3得m+3＝3，
∴m＝0，
将x＝4，y＝n代入x+y＝3得4+n＝3，
∴n＝﹣1
故答案为：0，﹣1；
（2）将表格中给出的五个解依次转化为对应点的坐标如图：
；
（3）猜想x+y＝3的解对应的点所组成的图形为直线，
它有这样两个特征：①图象经过一、二、四象限；
②图象从左向右呈下降趋势．
故答案为：直线，图象经过一、二、四象限，图象从左向右呈下降趋势；
（4）由题意得：﹣2a+a﹣1＝3，
解得：a＝﹣4．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程的关系及解二元一次方程组，数形结合是解答本题的关键．
【变式17-3】（2019春•长沙县期末）【教材再现】人教版八年级下册第19章《一次函数》中“思考”：这两个函数的图象形状都是直线，
并且倾斜程度相同函数y＝﹣6x的图象经过原点，函数y＝﹣6x+5的图象与y轴交于点（0，5），即它可以看作直线y＝﹣6x向上平移5个单位长度而得到．
【结论应用】一次函数y＝x﹣3的图象可以看作正比例函数 的图象向 平移 个单位长度而得到；
【类比思考】如果将直线y＝﹣6x的图象向右平移5个单位长度，那么得到的直线的函数解析式是怎样的呢？
我们可以这样思考：在直线y＝﹣6x上任意取两点A（0，0）和B（1，﹣6），将点A（0，0）和B（1，﹣6）向右平移5个单位得到点C（5，0）和D（6，﹣6），连接CD，则直线CD就是直线AB向右平移5个单位长度后得到的直线，设直线CD的解析式为：y＝kx+b（k≠0），将C（5，0）和D（6，6）代入得到：5k+b=06k+b=-6．解得k=-6b=30，所以直线CD的解析式为：y＝﹣6x+30；
①将直线y＝﹣6x向左平移5个单位长度，则平移后得到的直线解析式为 ．
②若先将直线y＝﹣6x向左平移4个单位长度后，再向上平移5个单位长度，得到直线l，则直线l的解析式为 ；
【拓展应用】已知直线l：y＝2x+3与直线l’关于x轴对称，求直线l'的解析式．
【分析】【结论应用】根据题目材料中给出的结论即可求解；
【类比思考】①在直线y＝﹣6x上任意取两点A（0，0）和B（1，﹣6），将点A和B向左平移5个单位得到点C、D，根据点的平移规律得到点C、D的坐标．设直线CD的解析式为：y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法即可求出直线CD的解析式；
②在直线y＝﹣6x上任意取两点A（0，0）和B（1，﹣6），将点A和B向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点C、D，根据点的平移规律得到点C、D的坐标．设直线CD的解析式为：y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法即可求出直线CD的解析式；
【拓展应用】在直线l：y＝2x+3上任意取两点A（0，3）和B（1，5），作点A和B关于x轴的对称点C、D，根据关于x轴对称的点的规律得到C、D的坐标．设直线CD的解析式为：y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法即可求出直线CD的解析式．
【解答】解：【结论应用】一次函数y＝x﹣3的图象可以看作正比例函数y＝x的图象向下平移3个单位长度而得到．
故答案为y＝x，下，3；
【类比思考】①在直线y＝﹣6x上任意取两点A（0，0）和B（1，﹣6），
将点A（0，0）和B（1，﹣6）向左平移5个单位得到点C（﹣5，0）和D（﹣4，﹣6），连接CD，则直线CD就是直线AB向左平移5个单位长度后得到的直线，设直线CD的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
将C（﹣5，0）和D（﹣4，﹣6）代入得到：-5k+b=0-4k+b=-6，解得k=-6b=-30，
所以直线CD的解析式为：y＝﹣6x﹣30．
故答案为y＝﹣6x﹣30；
②在直线y＝﹣6x上任意取两点A（0，0）和B（1，﹣6），
将点A（0，0）和B（1，﹣6）向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点C（﹣4，5）和D（﹣3，﹣1），连接CD，则直线CD就是直线AB向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到的直线，
设直线CD的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
将C（﹣4，5）和D（﹣3，﹣1）代入得到：-4k+b=5-3k+b=-1，解得k=-6b=-19，
所以直线l的解析式为：y＝﹣6x﹣19．
故答案为y＝﹣6x﹣19；
【拓展应用】在直线l：y＝2x+3上任意取两点A（0，3）和B（1，5），
则点A和B关于x轴的对称点分别为C（0，﹣3）或D（1，﹣5），连接CD，则直线CD就是直线AB关于x轴对称的直线，
设直线CD的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
将C（0，﹣3）或D（1，﹣5）代入得到：b=-3k+b=-5，解得k=-2b=-3，
所以直线l′的解析式为y＝﹣2x﹣3．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与二元一次方程（组），考查了学生的阅读理解能力与知识的迁移能力．理解阅读材料是解题的关键．
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