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北师大版七年级下册第六章 频率初步综合与测试当堂达标检测题
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这是一份北师大版七年级下册第六章 频率初步综合与测试当堂达标检测题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北师大新版七年级下册《第6章 概率初步》2
一、选择题（共5小题）
1．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
2．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（ ）
A．16个 B．20个 C．25个 D．30个
3．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同．如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雌鸟的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．在一个不透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计盒子中红球的个数约为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
5．在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共9小题）
6．色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如表：
抽取的体检表数n
50
100
200
400
500
800
1000
1200
1500
2000
色盲患者的频数m
3
7
13
29
37
55
69
85
105
138
色盲患者的频率m/n
0.060
0.070
0.065
0.073
0.074
0.069
0.069
0.071
0.070
0.069
根据表中数据，估计在男性中，男性患色盲的概率为 （结果精确到0.01）
7．一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子6颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在0.3左右，则盒子中黑珠子可能有 颗．
8．如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为 （精确到0.1）．
投篮次数（n）
50
100
150
200
250
300
500
投中次数（m）
28
60
78
104
123
152
251
投中频率（m/n）
0.56
0.60
0.52
0.52
0.49
0.51
0.50
9．袋中装有一个红球和一个白球，他们除了颜色外其它都相同，随机从中摸出一个球，记录下颜色后放回袋中充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到红球的概率是 ．
10．有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙能打开同一把锁，第三把钥匙能打开另一把锁．任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次能打开锁的概率是 ．
11．襄阳市辖区内旅游景点较多，李老师和刚初中毕业的儿子准备到古隆中、水镜庄、黄家湾三个景点去游玩．如果他们各自在这三个景点中任选一个作为游玩的第一站（每个景点被选为第一站的可能性相同），那么他们都选择古隆中为第一站的概率是 ．
12．从1，2，3这三个数字中任意取出两个不同的数字，则取出的两个数字都是奇数的概率是 ．
13．在一个不透明的口袋中，有3个完全相同的小球，他们的标号分别是2，3，4，从袋中随机地摸取一个小球然后放回，再随机的摸取一个小球，则两次摸取的小球标号之和为5的概率是 ．
14．已知a、b可以取﹣2、﹣1、1、2中任意一个值（a≠b），则直线y＝ax+b的图象不经过第四象限的概率是 ．
三、解答题（共16小题）
15．4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
16．在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余均相同）．其中白球、黄球各1个，若从中任意摸出一个球是白球的概率是．
（1）求暗箱中红球的个数．
（2）先从暗箱中任意摸出一个球记下颜色后放回，再从暗箱中任意摸出一个球，求两次摸到的球颜色不同的概率（用树形图或列表法求解）．
17．今年“五•一”节期间，红星商场举行抽奖促销活动，凡在本商场购物总金额在300元以上者，均可抽一次奖，奖品为精美小礼品．抽奖办法是：在一个不透明的袋子中装有四个标号分别为1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．抽奖者第一次摸出一个小球，不放回，第二次再摸出一个小球，若两次摸出的小球中有一个小球标号为“1”，则获奖．
（1）请你用树形图或列表法表示出抽奖所有可能出现的结果；
（2）求抽奖人员获奖的概率．
18．算式：1△1△1＝□，在每一个“△”中添加运算符号“+”或“﹣”后，通过计算，“□”中可得到不同的运算结果．求运算结果为1的概率．
19．在重阳节敬老爱老活动中，某校计划组织志愿者服务小组到“夕阳红”敬老院为老人服务，准备从初三（1）班中的3名男生小亮、小明、小伟和2名女生小丽、小敏中选取一名男生和一名女生参加学校志愿者服务小组．
（1）若随机选取一名男生和一名女生参加志愿者服务小组，请用树状图或列表法写出所有可能出现的结果；
（2）求出恰好选中男生小明与女生小丽的概率．
20．（1）一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、绿的球各1个．这些球除颜色外都相同．求下列事件的概率：
①搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；
②搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都是红球；
（2）某次考试共有6道选择题，每道题所给出的4个选项中，恰有一个是正确的．如果小明从每道题的4个选项中随机地选择1个，那么他6道选择题全部正确的概率是 ．
A. B. C.1﹣ D.1﹣．
21．小明从家到学校上学，沿途需经过三个路口，每个路口都设有红、绿两种颜色的信号灯，在信号灯正常情况下：
（1）请用树状图列举小明遇到交通信号灯的所有情况；
（2）小明遇到两次绿色信号的概率有多大？
（3）小明红绿色两种信号都遇到的概率有多大？
22．一只不透明的袋子中装有白球2个和黄球1个，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后不放回，搅匀后再从中任意摸出1个球，请用列表或画树状图的方法求两次都摸出白球的概率．
23．长城公司为希望小学捐赠甲、乙两种品牌的体育器材，甲品牌有A、B、C三种型号，乙品牌有D、E两种型号，现要从甲、乙两种品牌的器材中各选购一种型号进行捐赠．
（1）写出所有的选购方案（用列表法或树状图）；
（2）如果在上述选购方案中，每种方案被选中的可能性相同，那么A型器材被选中的概率是多少？
24．在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3，，．（卡片除了实数不同外，其余均相同）
（1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是3的概率；
（2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；卡片不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或树状图（树形图）法，求出两次恰好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率．
25．甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物（里面的东西只有颜色不同），将3件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件．
（1）下列事件是必然事件的是（ ）
A、乙抽到一件礼物
B、乙恰好抽到自己带来的礼物
C、乙没有抽到自己带来的礼物
D、只有乙抽到自己带来的礼物
（2）甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物（记为事件A），请列出事件A的所有可能的结果，并求事件A的概率．
26．在某校举行的“中国学生营养日”活动中，设计了抽奖环节：在一只不透明的箱子中有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外均相同．
（1）随机摸出一个球，恰好是红球就能中奖，则中奖的概率是多少？
（2）同时摸出两个球，都是红球 就能中特别奖，则中特别奖的概率是多少？（要求画树状图或列表求解）
27．把分别标有数字2、3、4、5的四个小球放入A袋内，把分别标有数字、、、、的五个小球放入B袋内，所有小球的形状、大小、质地完全相同，A、B两个袋子不透明、
（1）小明分别从A、B两个袋子中各摸出一个小球，求这两个小球上的数字互为倒数的概率；
（2）当B袋中标有的小球上的数字变为 时（填写所有结果），（1）中的概率为．
28．不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（小球除颜色外其余都相同），其中黄球2个，篮球1个．若从中随机摸出一个球，摸到篮球的概率是．
（1）求口袋里红球的个数；
（2）第一次随机摸出一个球（不放回），第二次再随机摸出一个球，请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的球恰是一黄一蓝的概率．
29．一只不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．
（1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图．
30．“五一”假期，黔西南州某公司组织部分员工分别到甲、乙、丙、丁四地考察，公司按定额购买了前往各地的车票，如图所示是用来制作完整的车票种类和相应数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：
（1）若去丁地的车票占全部车票的10%，请求出去丁地的车票数量，并补全统计图（如图所示）．
（2）若公司采用随机抽取的方式发车票，小胡先从所有的车票中随机抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同、均匀），那么员工小胡抽到去甲地的车票的概率是多少？
（3）若有一张车票，小王和小李都想去，决定采取摸球的方式确定，具体规则：“每人从不透明袋子中摸出分别标有1、2、3、4的四个球中摸出一球（球除数字不同外完全相同），并放回让另一人摸，若小王摸得的数字比小李的小，车票给小王，否则给小李．”试用列表法或画树状图的方法分析这个规则对双方是否公平？
北师大新版七年级下册《第6章 概率初步》2
参考答案与试题解析
一、选择题（共5小题）
1．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：由题意可得，×100%＝20%，
解得，a＝15．
故选：B．
2．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（ ）
A．16个 B．20个 C．25个 D．30个
【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解答】解：设红球有x个，根据题意得，
4：（4+x）＝1：5，
解得x＝16．
故选：A．
3．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同．如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雌鸟的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰有两只雌鸟的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：画树状图，如图所示：
所有等可能的情况数有8种，其中三只雏鸟中恰有两只雌鸟的情况数有3种，
则P＝．
故选：B．
4．在一个不透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计盒子中红球的个数约为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：由题意可得：，
解得：x＝8，
故选：C．
5．在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：分别用A、B、C、D表示等腰三角形、平行四边形、菱形、圆，
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的有6种情况，
∴抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为：＝．
故选：D．
二、填空题（共9小题）
6．色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如表：
抽取的体检表数n
50
100
200
400
500
800
1000
1200
1500
2000
色盲患者的频数m
3
7
13
29
37
55
69
85
105
138
色盲患者的频率m/n
0.060
0.070
0.065
0.073
0.074
0.069
0.069
0.071
0.070
0.069
根据表中数据，估计在男性中，男性患色盲的概率为 0.07 （结果精确到0.01）
【分析】观察随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到的常数即可表示男性患色盲的概率．
【解答】解：观察表格发现，随着实验人数的增多，男性患色盲的频率逐渐稳定在常数0.07左右，
故男性中，男性患色盲的概率为0.07，
故答案为：0.07．
7．一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子6颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在0.3左右，则盒子中黑珠子可能有 14 颗．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：由题意可得，，
解得n＝14．
故估计盒子中黑珠子大约有14个．
故答案为：14．
8．如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为 0.5 （精确到0.1）．
投篮次数（n）
50
100
150
200
250
300
500
投中次数（m）
28
60
78
104
123
152
251
投中频率（m/n）
0.56
0.60
0.52
0.52
0.49
0.51
0.50
【分析】计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．
【解答】解：由题意得，这名球员投篮的次数为1550次，投中的次数为796，
故这名球员投篮一次，投中的概率约为：≈0.5．
故答案为：0.5．
9．袋中装有一个红球和一个白球，他们除了颜色外其它都相同，随机从中摸出一个球，记录下颜色后放回袋中充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到红球的概率是 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，两次都摸到红球的有1种情况，
∴两次都摸到红球的概率是：．
故答案为：．
10．有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙能打开同一把锁，第三把钥匙能打开另一把锁．任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次能打开锁的概率是 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次能打开锁的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次能打开锁的有3种情况，
∴任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次能打开锁的概率是：＝．
故答案为：．
11．襄阳市辖区内旅游景点较多，李老师和刚初中毕业的儿子准备到古隆中、水镜庄、黄家湾三个景点去游玩．如果他们各自在这三个景点中任选一个作为游玩的第一站（每个景点被选为第一站的可能性相同），那么他们都选择古隆中为第一站的概率是 ．
【分析】可以看做是李老师先选择第一站，然后儿子再进行选择，画出树状图，再根据概率公式解答．
【解答】解：李老师先选择，然后儿子选择，
画出树状图如下：
一共有9种情况，都选择古隆中为第一站的有1种情况，
所以，P（都选择古隆中为第一站）＝．
故答案为：．
12．从1，2，3这三个数字中任意取出两个不同的数字，则取出的两个数字都是奇数的概率是 ．
【分析】首先列出树状图，可以直观的看出总共有几种情况，再找出都是奇数的情况，根据概率公式进行计算即可．
【解答】解：如图所示：
取出的两个数字都是奇数的概率是：＝，
故答案为：．
13．在一个不透明的口袋中，有3个完全相同的小球，他们的标号分别是2，3，4，从袋中随机地摸取一个小球然后放回，再随机的摸取一个小球，则两次摸取的小球标号之和为5的概率是 ．
【分析】列表得出所有可能的情况数，找出之和为5的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表如下：
2
3
4
2
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（2，4）
（3，4）
（4，4）
所有等可能的结果有9种，其中之和为5的情况有2种，
则P之和为5＝．
故答案为：
14．已知a、b可以取﹣2、﹣1、1、2中任意一个值（a≠b），则直线y＝ax+b的图象不经过第四象限的概率是 ．
【分析】列表得出所有等可能的结果数，找出a与b都为正数，即为直线y＝ax+b不经过第四象限的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表如下：
﹣2
﹣1
1
2
﹣2
（﹣1，﹣2）
（1，﹣2）
（2，﹣2）
﹣1
（﹣2，﹣1）
（1，﹣1）
（2，﹣1）
1
（﹣2，1）
（﹣1，1）
（2，1）
2
（﹣2，2）
（﹣1，2）
（1，2）
所有等可能的情况数有12种，其中直线y＝ax+b不经过第四象限情况数有2种，
则P＝＝．
故答案为：．
三、解答题（共16小题）
15．4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
【分析】（1）用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；
（2）令不合格产品为甲，合格产品为乙、丙、丁，则随机抽2件的情况只有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，6种情况，合格的有3种情形，再根据概率公式计算即可；
（3）根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值；
【解答】解：（1）∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，
∴P（不合格品）＝；
（2）令不合格产品为甲，合格产品为乙、丙、丁，则随机抽2件的情况只有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，6种情况．合格的有3种情形
P（抽到的都是合格品）＝＝；
（3）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率等于0.95，
∴＝0.95，
解得：x＝16．
16．在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余均相同）．其中白球、黄球各1个，若从中任意摸出一个球是白球的概率是．
（1）求暗箱中红球的个数．
（2）先从暗箱中任意摸出一个球记下颜色后放回，再从暗箱中任意摸出一个球，求两次摸到的球颜色不同的概率（用树形图或列表法求解）．
【分析】（1）设红球有x个，根据概率的意义列式计算即可得解；
（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）设红球有x个，
根据题意得，＝，
解得x＝1，
经检验x＝1是原方程的解，
所以红球有1个；
（2）根据题意画出树状图如下：
一共有9种情况，两次摸到的球颜色不同的有6种情况，
所以，P（两次摸到的球颜色不同）＝＝．
17．今年“五•一”节期间，红星商场举行抽奖促销活动，凡在本商场购物总金额在300元以上者，均可抽一次奖，奖品为精美小礼品．抽奖办法是：在一个不透明的袋子中装有四个标号分别为1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．抽奖者第一次摸出一个小球，不放回，第二次再摸出一个小球，若两次摸出的小球中有一个小球标号为“1”，则获奖．
（1）请你用树形图或列表法表示出抽奖所有可能出现的结果；
（2）求抽奖人员获奖的概率．
【分析】（1）根据列表法与画树状图的方法画出即可；
（2）根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）列表法表示如下：
第1次
第2次
1
2
3
4
1
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
或树状图：
（2）由表格或树形图可知，抽奖所有可能出现的结果共有12种，
这些结果出现的可能性相等，其中有一个小球标号为“1”的有6种，
所以抽奖人员的获奖概率为P＝＝．
18．算式：1△1△1＝□，在每一个“△”中添加运算符号“+”或“﹣”后，通过计算，“□”中可得到不同的运算结果．求运算结果为1的概率．
【分析】根据题意得到添加运算符合的所有情况，计算得到结果，即可求出所求的概率．
【解答】解：添加运算符合的情况有：“+”，“+”；“+”，“﹣”；“﹣”，“+”；“﹣”“﹣”，共4种情况，
算式分别为1+1+1＝3；1+1﹣1＝1；1﹣1+1＝1；1﹣1﹣1＝﹣1，其中结果为1的情况有2种，
则P运算结果为1＝＝．
19．在重阳节敬老爱老活动中，某校计划组织志愿者服务小组到“夕阳红”敬老院为老人服务，准备从初三（1）班中的3名男生小亮、小明、小伟和2名女生小丽、小敏中选取一名男生和一名女生参加学校志愿者服务小组．
（1）若随机选取一名男生和一名女生参加志愿者服务小组，请用树状图或列表法写出所有可能出现的结果；
（2）求出恰好选中男生小明与女生小丽的概率．
【分析】（1）用列表的方法将所有情况一一列举出来即可；
（2）确定共有6种情况，而正好是小丽和小明的有一种情况，根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）列表为：
小亮
小明
小伟
小丽
小丽，小亮
小丽，小明
小丽，小伟
小敏
小敏，小亮
小敏，小明
小敏，小伟
（2）∵共有6种等可能的情况，而正好是小丽和小明的有一种情况，
∴正好抽到小丽与小明的概率是．
20．（1）一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、绿的球各1个．这些球除颜色外都相同．求下列事件的概率：
①搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；
②搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都是红球；
（2）某次考试共有6道选择题，每道题所给出的4个选项中，恰有一个是正确的．如果小明从每道题的4个选项中随机地选择1个，那么他6道选择题全部正确的概率是 B ．
A. B. C.1﹣ D.1﹣．
【分析】（1）①搅匀后从4个球中任意摸出1个球，求出恰好是红球的概率即可；
②列表得出所有等可能的情况数，找出两次都是红球的情况数，即可求出所求的概率；
（2）求出每一道题选择正确的概率，利用乘法法则即可求出全部正确的概率．
【解答】解：（1）①搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球的概率为；
②列表如下：
红
黄
蓝
绿
红
（红，红）
（黄，红）
（蓝，红）
（绿，红）
黄
（红，黄）
（黄，黄）
（蓝，黄）
（绿，黄）
蓝
（红，蓝）
（黄，蓝）
（蓝，蓝）
（绿，蓝）
绿
（红，绿）
（黄，绿）
（蓝，绿）
（绿，绿）
所有等可能的情况数有16种，其中两次都为红球的情况数有1种，
则P＝；
（2）每道题所给出的4个选项中，恰有一个是正确的概率为，
则他6道选择题全部正确的概率是（）6．
故选B．
21．小明从家到学校上学，沿途需经过三个路口，每个路口都设有红、绿两种颜色的信号灯，在信号灯正常情况下：
（1）请用树状图列举小明遇到交通信号灯的所有情况；
（2）小明遇到两次绿色信号的概率有多大？
（3）小明红绿色两种信号都遇到的概率有多大？
【分析】（1）分红灯、绿灯两种等可能情况画出树状图即可；
（2）根据树状图得到总情况数和两次绿灯的情况数，然后利用概率公式列式计算即可得解；
（3）根据红、绿色两种信号都遇到的情况数，利用概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）根据题意画出树状图如下：
一共有8种情况；
（2）两次绿色信号的情况数是3种，
所以，P（两次绿色信号）＝；
（3）红绿色两种信号的情况有6种，
所以，P（红绿色两种信号）＝＝．
22．一只不透明的袋子中装有白球2个和黄球1个，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后不放回，搅匀后再从中任意摸出1个球，请用列表或画树状图的方法求两次都摸出白球的概率．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次都是白球的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表如下：
白
白
黄
白
﹣﹣﹣
（白，白）
（黄，白）
白
（白，白）
﹣﹣﹣
（黄，白）
黄
（白，黄）
（白，黄）
﹣﹣﹣
所有等可能的情况数为6种，其中两次都是白球的情况数有2种，
则P两次都为白球＝＝．
23．长城公司为希望小学捐赠甲、乙两种品牌的体育器材，甲品牌有A、B、C三种型号，乙品牌有D、E两种型号，现要从甲、乙两种品牌的器材中各选购一种型号进行捐赠．
（1）写出所有的选购方案（用列表法或树状图）；
（2）如果在上述选购方案中，每种方案被选中的可能性相同，那么A型器材被选中的概率是多少？
【分析】（1）画出树状图即可；
（2）根据树状图可以直观的得到共有6种情况，选中A的情况有2种，进而得到概率．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）所有的情况有6种，
A型器材被选中情况有2中，
概率是＝．
24．在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3，，．（卡片除了实数不同外，其余均相同）
（1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是3的概率；
（2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；卡片不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或树状图（树形图）法，求出两次恰好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率．
【分析】（1）由在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3，，，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果与两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3，，．
∴从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的实数是3的概率是：；
（2）画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的有2种情况，
∴两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率为：＝．
25．甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物（里面的东西只有颜色不同），将3件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件．
（1）下列事件是必然事件的是（ ）
A、乙抽到一件礼物
B、乙恰好抽到自己带来的礼物
C、乙没有抽到自己带来的礼物
D、只有乙抽到自己带来的礼物
（2）甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物（记为事件A），请列出事件A的所有可能的结果，并求事件A的概率．
【分析】（1）根据必然事件、随机事件的定义对各选项分析判断后利用排除法求解；
（2）画出树状图，然后根据概率公式列式进行计算即可得解．
【解答】解：（1）A、乙抽到一件礼物是必然事件；
B、乙恰好抽到自己带来的礼物是随机事件；
C、乙没有抽到自己带来的礼物是随机事件；
D、只有乙抽到自己带来的礼物是随机事件；
故选A；
（2）设甲、乙、丙三人的礼物分别记为a、b、c，
根据题意画出树状图如下：
一共有6种等可能的情况，三人抽到的礼物分别为（abc）、（acb）、（bac）、（bca）、（cab）、（cba），
3人抽到的都不是自己带来的礼物的情况有（bca）、（cab）有2种，
所以，P（A）＝＝．
26．在某校举行的“中国学生营养日”活动中，设计了抽奖环节：在一只不透明的箱子中有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外均相同．
（1）随机摸出一个球，恰好是红球就能中奖，则中奖的概率是多少？
（2）同时摸出两个球，都是红球 就能中特别奖，则中特别奖的概率是多少？（要求画树状图或列表求解）
【分析】（1）根据概率的意义解答即可；
（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵2个红球，1个白球，
∴中奖的概率为；
（2）根据题意画出树状图如下：
一共有6种情况，都是红球的有2种情况，
所以，P（都是红球）＝＝，
即中特别奖的概率是．
27．把分别标有数字2、3、4、5的四个小球放入A袋内，把分别标有数字、、、、的五个小球放入B袋内，所有小球的形状、大小、质地完全相同，A、B两个袋子不透明、
（1）小明分别从A、B两个袋子中各摸出一个小球，求这两个小球上的数字互为倒数的概率；
（2）当B袋中标有的小球上的数字变为 或或或 时（填写所有结果），（1）中的概率为．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这两个小球上的数字互为倒数的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）由概率为，可得这两个小球上的数字互为倒数的有5种情况，继而可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，这两个小球上的数字互为倒数的有4种情况，
∴这两个小球上的数字互为倒数的概率为：＝；
（2）∵当B袋中标有的小球上的数字变为或或或时，
∴这两个小球上的数字互为倒数的有5种情况，
∴这两个小球上的数字互为倒数的概率为：＝．
故答案为：或或或．
28．不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（小球除颜色外其余都相同），其中黄球2个，篮球1个．若从中随机摸出一个球，摸到篮球的概率是．
（1）求口袋里红球的个数；
（2）第一次随机摸出一个球（不放回），第二次再随机摸出一个球，请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的球恰是一黄一蓝的概率．
【分析】（1）设口袋里红球的个数为x，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值即可；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸到的球恰是一黄一蓝的情况数，即可求出所求概率．
【解答】解：（1）设红球有x个，
根据题意得：＝，
解得：x＝1，
经检验x＝1是原方程的根．
则口袋中红球有1个；
（2）列表如下：
红
黄
黄
蓝
红
﹣﹣﹣
（黄，红）
（黄，红）
（蓝，红）
黄
（红，黄）
﹣﹣﹣
（黄，黄）
（蓝，黄）
黄
（红，黄）
（黄，黄）
﹣﹣﹣
（蓝，黄）
蓝
（红，蓝）
（黄，蓝）
（黄，蓝）
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种，其中两次摸到的球恰是一黄一蓝的情况有4种，
则P＝＝．
29．一只不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．
（1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图．
【分析】（1）根据概率的意义列式即可；
（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵共有3个球，2个白球，
∴随机摸出一个球是白球的概率为；
（2）根据题意画出树状图如下：
一共有6种等可能的情况，两次摸出的球都是白球的情况有2种，
所以，P（两次摸出的球都是白球）＝＝．
30．“五一”假期，黔西南州某公司组织部分员工分别到甲、乙、丙、丁四地考察，公司按定额购买了前往各地的车票，如图所示是用来制作完整的车票种类和相应数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：
（1）若去丁地的车票占全部车票的10%，请求出去丁地的车票数量，并补全统计图（如图所示）．
（2）若公司采用随机抽取的方式发车票，小胡先从所有的车票中随机抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同、均匀），那么员工小胡抽到去甲地的车票的概率是多少？
（3）若有一张车票，小王和小李都想去，决定采取摸球的方式确定，具体规则：“每人从不透明袋子中摸出分别标有1、2、3、4的四个球中摸出一球（球除数字不同外完全相同），并放回让另一人摸，若小王摸得的数字比小李的小，车票给小王，否则给小李．”试用列表法或画树状图的方法分析这个规则对双方是否公平？
【分析】（1）根据丁地车票的百分比求出甲，乙，丙地车票所占的百分比之和，用甲，乙，丙车票之和除以百分比求出总票数，得出丁车票的数量，补全条形统计图即可；
（2）根据甲，乙，丙，丁车票总数，与甲地车票数为20张，即可求出所求的概率；
（3）列表得出所有等可能的情况数，求出两人获胜概率，比较即可得到公平与否．
【解答】解：（1）根据题意得：（20+40+30）÷（1﹣10%）＝100（张），
则D地车票数为100﹣（20+40+30）＝10（张），补全图形，如图所示：
（2）总票数为100张，甲地票数为20张，
则员工小胡抽到去甲地的车票的概率为＝；
（3）列表如下：
1
2
3
4
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
所有等可能的情况数有16种，其中小王掷得数字比小李掷得的数字小的有6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），
∴P小王掷得的数字比小李小＝＝，
则P小王掷得的数字不小于小李＝1﹣＝，
则这个规则不公平．
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北师大新版七年级下册《第6章 概率初步》2
一、选择题（共5小题）
1．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
2．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（ ）
A．16个 B．20个 C．25个 D．30个
3．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同．如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雌鸟的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．在一个不透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计盒子中红球的个数约为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
5．在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共9小题）
6．色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如表：
抽取的体检表数n
50
100
200
400
500
800
1000
1200
1500
2000
色盲患者的频数m
3
7
13
29
37
55
69
85
105
138
色盲患者的频率m/n
0.060
0.070
0.065
0.073
0.074
0.069
0.069
0.071
0.070
0.069
根据表中数据，估计在男性中，男性患色盲的概率为 （结果精确到0.01）
7．一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子6颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在0.3左右，则盒子中黑珠子可能有 颗．
8．如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为 （精确到0.1）．
投篮次数（n）
50
100
150
200
250
300
500
投中次数（m）
28
60
78
104
123
152
251
投中频率（m/n）
0.56
0.60
0.52
0.52
0.49
0.51
0.50
9．袋中装有一个红球和一个白球，他们除了颜色外其它都相同，随机从中摸出一个球，记录下颜色后放回袋中充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到红球的概率是 ．
10．有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙能打开同一把锁，第三把钥匙能打开另一把锁．任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次能打开锁的概率是 ．
11．襄阳市辖区内旅游景点较多，李老师和刚初中毕业的儿子准备到古隆中、水镜庄、黄家湾三个景点去游玩．如果他们各自在这三个景点中任选一个作为游玩的第一站（每个景点被选为第一站的可能性相同），那么他们都选择古隆中为第一站的概率是 ．
12．从1，2，3这三个数字中任意取出两个不同的数字，则取出的两个数字都是奇数的概率是 ．
13．在一个不透明的口袋中，有3个完全相同的小球，他们的标号分别是2，3，4，从袋中随机地摸取一个小球然后放回，再随机的摸取一个小球，则两次摸取的小球标号之和为5的概率是 ．
14．已知a、b可以取﹣2、﹣1、1、2中任意一个值（a≠b），则直线y＝ax+b的图象不经过第四象限的概率是 ．
三、解答题（共16小题）
15．4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
16．在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余均相同）．其中白球、黄球各1个，若从中任意摸出一个球是白球的概率是．
（1）求暗箱中红球的个数．
（2）先从暗箱中任意摸出一个球记下颜色后放回，再从暗箱中任意摸出一个球，求两次摸到的球颜色不同的概率（用树形图或列表法求解）．
17．今年“五•一”节期间，红星商场举行抽奖促销活动，凡在本商场购物总金额在300元以上者，均可抽一次奖，奖品为精美小礼品．抽奖办法是：在一个不透明的袋子中装有四个标号分别为1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．抽奖者第一次摸出一个小球，不放回，第二次再摸出一个小球，若两次摸出的小球中有一个小球标号为“1”，则获奖．
（1）请你用树形图或列表法表示出抽奖所有可能出现的结果；
（2）求抽奖人员获奖的概率．
18．算式：1△1△1＝□，在每一个“△”中添加运算符号“+”或“﹣”后，通过计算，“□”中可得到不同的运算结果．求运算结果为1的概率．
19．在重阳节敬老爱老活动中，某校计划组织志愿者服务小组到“夕阳红”敬老院为老人服务，准备从初三（1）班中的3名男生小亮、小明、小伟和2名女生小丽、小敏中选取一名男生和一名女生参加学校志愿者服务小组．
（1）若随机选取一名男生和一名女生参加志愿者服务小组，请用树状图或列表法写出所有可能出现的结果；
（2）求出恰好选中男生小明与女生小丽的概率．
20．（1）一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、绿的球各1个．这些球除颜色外都相同．求下列事件的概率：
①搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；
②搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都是红球；
（2）某次考试共有6道选择题，每道题所给出的4个选项中，恰有一个是正确的．如果小明从每道题的4个选项中随机地选择1个，那么他6道选择题全部正确的概率是 ．
A. B. C.1﹣ D.1﹣．
21．小明从家到学校上学，沿途需经过三个路口，每个路口都设有红、绿两种颜色的信号灯，在信号灯正常情况下：
（1）请用树状图列举小明遇到交通信号灯的所有情况；
（2）小明遇到两次绿色信号的概率有多大？
（3）小明红绿色两种信号都遇到的概率有多大？
22．一只不透明的袋子中装有白球2个和黄球1个，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后不放回，搅匀后再从中任意摸出1个球，请用列表或画树状图的方法求两次都摸出白球的概率．
23．长城公司为希望小学捐赠甲、乙两种品牌的体育器材，甲品牌有A、B、C三种型号，乙品牌有D、E两种型号，现要从甲、乙两种品牌的器材中各选购一种型号进行捐赠．
（1）写出所有的选购方案（用列表法或树状图）；
（2）如果在上述选购方案中，每种方案被选中的可能性相同，那么A型器材被选中的概率是多少？
24．在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3，，．（卡片除了实数不同外，其余均相同）
（1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是3的概率；
（2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；卡片不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或树状图（树形图）法，求出两次恰好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率．
25．甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物（里面的东西只有颜色不同），将3件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件．
（1）下列事件是必然事件的是（ ）
A、乙抽到一件礼物
B、乙恰好抽到自己带来的礼物
C、乙没有抽到自己带来的礼物
D、只有乙抽到自己带来的礼物
（2）甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物（记为事件A），请列出事件A的所有可能的结果，并求事件A的概率．
26．在某校举行的“中国学生营养日”活动中，设计了抽奖环节：在一只不透明的箱子中有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外均相同．
（1）随机摸出一个球，恰好是红球就能中奖，则中奖的概率是多少？
（2）同时摸出两个球，都是红球 就能中特别奖，则中特别奖的概率是多少？（要求画树状图或列表求解）
27．把分别标有数字2、3、4、5的四个小球放入A袋内，把分别标有数字、、、、的五个小球放入B袋内，所有小球的形状、大小、质地完全相同，A、B两个袋子不透明、
（1）小明分别从A、B两个袋子中各摸出一个小球，求这两个小球上的数字互为倒数的概率；
（2）当B袋中标有的小球上的数字变为 时（填写所有结果），（1）中的概率为．
28．不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（小球除颜色外其余都相同），其中黄球2个，篮球1个．若从中随机摸出一个球，摸到篮球的概率是．
（1）求口袋里红球的个数；
（2）第一次随机摸出一个球（不放回），第二次再随机摸出一个球，请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的球恰是一黄一蓝的概率．
29．一只不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．
（1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图．
30．“五一”假期，黔西南州某公司组织部分员工分别到甲、乙、丙、丁四地考察，公司按定额购买了前往各地的车票，如图所示是用来制作完整的车票种类和相应数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：
（1）若去丁地的车票占全部车票的10%，请求出去丁地的车票数量，并补全统计图（如图所示）．
（2）若公司采用随机抽取的方式发车票，小胡先从所有的车票中随机抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同、均匀），那么员工小胡抽到去甲地的车票的概率是多少？
（3）若有一张车票，小王和小李都想去，决定采取摸球的方式确定，具体规则：“每人从不透明袋子中摸出分别标有1、2、3、4的四个球中摸出一球（球除数字不同外完全相同），并放回让另一人摸，若小王摸得的数字比小李的小，车票给小王，否则给小李．”试用列表法或画树状图的方法分析这个规则对双方是否公平？
北师大新版七年级下册《第6章 概率初步》2
参考答案与试题解析
一、选择题（共5小题）
1．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：由题意可得，×100%＝20%，
解得，a＝15．
故选：B．
2．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（ ）
A．16个 B．20个 C．25个 D．30个
【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解答】解：设红球有x个，根据题意得，
4：（4+x）＝1：5，
解得x＝16．
故选：A．
3．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同．如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雌鸟的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰有两只雌鸟的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：画树状图，如图所示：
所有等可能的情况数有8种，其中三只雏鸟中恰有两只雌鸟的情况数有3种，
则P＝．
故选：B．
4．在一个不透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计盒子中红球的个数约为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：由题意可得：，
解得：x＝8，
故选：C．
5．在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：分别用A、B、C、D表示等腰三角形、平行四边形、菱形、圆，
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的有6种情况，
∴抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为：＝．
故选：D．
二、填空题（共9小题）
6．色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如表：
抽取的体检表数n
50
100
200
400
500
800
1000
1200
1500
2000
色盲患者的频数m
3
7
13
29
37
55
69
85
105
138
色盲患者的频率m/n
0.060
0.070
0.065
0.073
0.074
0.069
0.069
0.071
0.070
0.069
根据表中数据，估计在男性中，男性患色盲的概率为 0.07 （结果精确到0.01）
【分析】观察随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到的常数即可表示男性患色盲的概率．
【解答】解：观察表格发现，随着实验人数的增多，男性患色盲的频率逐渐稳定在常数0.07左右，
故男性中，男性患色盲的概率为0.07，
故答案为：0.07．
7．一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子6颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在0.3左右，则盒子中黑珠子可能有 14 颗．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：由题意可得，，
解得n＝14．
故估计盒子中黑珠子大约有14个．
故答案为：14．
8．如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为 0.5 （精确到0.1）．
投篮次数（n）
50
100
150
200
250
300
500
投中次数（m）
28
60
78
104
123
152
251
投中频率（m/n）
0.56
0.60
0.52
0.52
0.49
0.51
0.50
【分析】计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．
【解答】解：由题意得，这名球员投篮的次数为1550次，投中的次数为796，
故这名球员投篮一次，投中的概率约为：≈0.5．
故答案为：0.5．
9．袋中装有一个红球和一个白球，他们除了颜色外其它都相同，随机从中摸出一个球，记录下颜色后放回袋中充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到红球的概率是 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，两次都摸到红球的有1种情况，
∴两次都摸到红球的概率是：．
故答案为：．
10．有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙能打开同一把锁，第三把钥匙能打开另一把锁．任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次能打开锁的概率是 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次能打开锁的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次能打开锁的有3种情况，
∴任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次能打开锁的概率是：＝．
故答案为：．
11．襄阳市辖区内旅游景点较多，李老师和刚初中毕业的儿子准备到古隆中、水镜庄、黄家湾三个景点去游玩．如果他们各自在这三个景点中任选一个作为游玩的第一站（每个景点被选为第一站的可能性相同），那么他们都选择古隆中为第一站的概率是 ．
【分析】可以看做是李老师先选择第一站，然后儿子再进行选择，画出树状图，再根据概率公式解答．
【解答】解：李老师先选择，然后儿子选择，
画出树状图如下：
一共有9种情况，都选择古隆中为第一站的有1种情况，
所以，P（都选择古隆中为第一站）＝．
故答案为：．
12．从1，2，3这三个数字中任意取出两个不同的数字，则取出的两个数字都是奇数的概率是 ．
【分析】首先列出树状图，可以直观的看出总共有几种情况，再找出都是奇数的情况，根据概率公式进行计算即可．
【解答】解：如图所示：
取出的两个数字都是奇数的概率是：＝，
故答案为：．
13．在一个不透明的口袋中，有3个完全相同的小球，他们的标号分别是2，3，4，从袋中随机地摸取一个小球然后放回，再随机的摸取一个小球，则两次摸取的小球标号之和为5的概率是 ．
【分析】列表得出所有可能的情况数，找出之和为5的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表如下：
2
3
4
2
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（2，4）
（3，4）
（4，4）
所有等可能的结果有9种，其中之和为5的情况有2种，
则P之和为5＝．
故答案为：
14．已知a、b可以取﹣2、﹣1、1、2中任意一个值（a≠b），则直线y＝ax+b的图象不经过第四象限的概率是 ．
【分析】列表得出所有等可能的结果数，找出a与b都为正数，即为直线y＝ax+b不经过第四象限的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表如下：
﹣2
﹣1
1
2
﹣2
（﹣1，﹣2）
（1，﹣2）
（2，﹣2）
﹣1
（﹣2，﹣1）
（1，﹣1）
（2，﹣1）
1
（﹣2，1）
（﹣1，1）
（2，1）
2
（﹣2，2）
（﹣1，2）
（1，2）
所有等可能的情况数有12种，其中直线y＝ax+b不经过第四象限情况数有2种，
则P＝＝．
故答案为：．
三、解答题（共16小题）
15．4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
【分析】（1）用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；
（2）令不合格产品为甲，合格产品为乙、丙、丁，则随机抽2件的情况只有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，6种情况，合格的有3种情形，再根据概率公式计算即可；
（3）根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值；
【解答】解：（1）∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，
∴P（不合格品）＝；
（2）令不合格产品为甲，合格产品为乙、丙、丁，则随机抽2件的情况只有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，6种情况．合格的有3种情形
P（抽到的都是合格品）＝＝；
（3）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率等于0.95，
∴＝0.95，
解得：x＝16．
16．在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余均相同）．其中白球、黄球各1个，若从中任意摸出一个球是白球的概率是．
（1）求暗箱中红球的个数．
（2）先从暗箱中任意摸出一个球记下颜色后放回，再从暗箱中任意摸出一个球，求两次摸到的球颜色不同的概率（用树形图或列表法求解）．
【分析】（1）设红球有x个，根据概率的意义列式计算即可得解；
（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）设红球有x个，
根据题意得，＝，
解得x＝1，
经检验x＝1是原方程的解，
所以红球有1个；
（2）根据题意画出树状图如下：
一共有9种情况，两次摸到的球颜色不同的有6种情况，
所以，P（两次摸到的球颜色不同）＝＝．
17．今年“五•一”节期间，红星商场举行抽奖促销活动，凡在本商场购物总金额在300元以上者，均可抽一次奖，奖品为精美小礼品．抽奖办法是：在一个不透明的袋子中装有四个标号分别为1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．抽奖者第一次摸出一个小球，不放回，第二次再摸出一个小球，若两次摸出的小球中有一个小球标号为“1”，则获奖．
（1）请你用树形图或列表法表示出抽奖所有可能出现的结果；
（2）求抽奖人员获奖的概率．
【分析】（1）根据列表法与画树状图的方法画出即可；
（2）根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）列表法表示如下：
第1次
第2次
1
2
3
4
1
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
或树状图：
（2）由表格或树形图可知，抽奖所有可能出现的结果共有12种，
这些结果出现的可能性相等，其中有一个小球标号为“1”的有6种，
所以抽奖人员的获奖概率为P＝＝．
18．算式：1△1△1＝□，在每一个“△”中添加运算符号“+”或“﹣”后，通过计算，“□”中可得到不同的运算结果．求运算结果为1的概率．
【分析】根据题意得到添加运算符合的所有情况，计算得到结果，即可求出所求的概率．
【解答】解：添加运算符合的情况有：“+”，“+”；“+”，“﹣”；“﹣”，“+”；“﹣”“﹣”，共4种情况，
算式分别为1+1+1＝3；1+1﹣1＝1；1﹣1+1＝1；1﹣1﹣1＝﹣1，其中结果为1的情况有2种，
则P运算结果为1＝＝．
19．在重阳节敬老爱老活动中，某校计划组织志愿者服务小组到“夕阳红”敬老院为老人服务，准备从初三（1）班中的3名男生小亮、小明、小伟和2名女生小丽、小敏中选取一名男生和一名女生参加学校志愿者服务小组．
（1）若随机选取一名男生和一名女生参加志愿者服务小组，请用树状图或列表法写出所有可能出现的结果；
（2）求出恰好选中男生小明与女生小丽的概率．
【分析】（1）用列表的方法将所有情况一一列举出来即可；
（2）确定共有6种情况，而正好是小丽和小明的有一种情况，根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）列表为：
小亮
小明
小伟
小丽
小丽，小亮
小丽，小明
小丽，小伟
小敏
小敏，小亮
小敏，小明
小敏，小伟
（2）∵共有6种等可能的情况，而正好是小丽和小明的有一种情况，
∴正好抽到小丽与小明的概率是．
20．（1）一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、绿的球各1个．这些球除颜色外都相同．求下列事件的概率：
①搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；
②搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都是红球；
（2）某次考试共有6道选择题，每道题所给出的4个选项中，恰有一个是正确的．如果小明从每道题的4个选项中随机地选择1个，那么他6道选择题全部正确的概率是 B ．
A. B. C.1﹣ D.1﹣．
【分析】（1）①搅匀后从4个球中任意摸出1个球，求出恰好是红球的概率即可；
②列表得出所有等可能的情况数，找出两次都是红球的情况数，即可求出所求的概率；
（2）求出每一道题选择正确的概率，利用乘法法则即可求出全部正确的概率．
【解答】解：（1）①搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球的概率为；
②列表如下：
红
黄
蓝
绿
红
（红，红）
（黄，红）
（蓝，红）
（绿，红）
黄
（红，黄）
（黄，黄）
（蓝，黄）
（绿，黄）
蓝
（红，蓝）
（黄，蓝）
（蓝，蓝）
（绿，蓝）
绿
（红，绿）
（黄，绿）
（蓝，绿）
（绿，绿）
所有等可能的情况数有16种，其中两次都为红球的情况数有1种，
则P＝；
（2）每道题所给出的4个选项中，恰有一个是正确的概率为，
则他6道选择题全部正确的概率是（）6．
故选B．
21．小明从家到学校上学，沿途需经过三个路口，每个路口都设有红、绿两种颜色的信号灯，在信号灯正常情况下：
（1）请用树状图列举小明遇到交通信号灯的所有情况；
（2）小明遇到两次绿色信号的概率有多大？
（3）小明红绿色两种信号都遇到的概率有多大？
【分析】（1）分红灯、绿灯两种等可能情况画出树状图即可；
（2）根据树状图得到总情况数和两次绿灯的情况数，然后利用概率公式列式计算即可得解；
（3）根据红、绿色两种信号都遇到的情况数，利用概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）根据题意画出树状图如下：
一共有8种情况；
（2）两次绿色信号的情况数是3种，
所以，P（两次绿色信号）＝；
（3）红绿色两种信号的情况有6种，
所以，P（红绿色两种信号）＝＝．
22．一只不透明的袋子中装有白球2个和黄球1个，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后不放回，搅匀后再从中任意摸出1个球，请用列表或画树状图的方法求两次都摸出白球的概率．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次都是白球的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表如下：
白
白
黄
白
﹣﹣﹣
（白，白）
（黄，白）
白
（白，白）
﹣﹣﹣
（黄，白）
黄
（白，黄）
（白，黄）
﹣﹣﹣
所有等可能的情况数为6种，其中两次都是白球的情况数有2种，
则P两次都为白球＝＝．
23．长城公司为希望小学捐赠甲、乙两种品牌的体育器材，甲品牌有A、B、C三种型号，乙品牌有D、E两种型号，现要从甲、乙两种品牌的器材中各选购一种型号进行捐赠．
（1）写出所有的选购方案（用列表法或树状图）；
（2）如果在上述选购方案中，每种方案被选中的可能性相同，那么A型器材被选中的概率是多少？
【分析】（1）画出树状图即可；
（2）根据树状图可以直观的得到共有6种情况，选中A的情况有2种，进而得到概率．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）所有的情况有6种，
A型器材被选中情况有2中，
概率是＝．
24．在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3，，．（卡片除了实数不同外，其余均相同）
（1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是3的概率；
（2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；卡片不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或树状图（树形图）法，求出两次恰好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率．
【分析】（1）由在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3，，，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果与两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3，，．
∴从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的实数是3的概率是：；
（2）画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的有2种情况，
∴两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率为：＝．
25．甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物（里面的东西只有颜色不同），将3件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件．
（1）下列事件是必然事件的是（ ）
A、乙抽到一件礼物
B、乙恰好抽到自己带来的礼物
C、乙没有抽到自己带来的礼物
D、只有乙抽到自己带来的礼物
（2）甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物（记为事件A），请列出事件A的所有可能的结果，并求事件A的概率．
【分析】（1）根据必然事件、随机事件的定义对各选项分析判断后利用排除法求解；
（2）画出树状图，然后根据概率公式列式进行计算即可得解．
【解答】解：（1）A、乙抽到一件礼物是必然事件；
B、乙恰好抽到自己带来的礼物是随机事件；
C、乙没有抽到自己带来的礼物是随机事件；
D、只有乙抽到自己带来的礼物是随机事件；
故选A；
（2）设甲、乙、丙三人的礼物分别记为a、b、c，
根据题意画出树状图如下：
一共有6种等可能的情况，三人抽到的礼物分别为（abc）、（acb）、（bac）、（bca）、（cab）、（cba），
3人抽到的都不是自己带来的礼物的情况有（bca）、（cab）有2种，
所以，P（A）＝＝．
26．在某校举行的“中国学生营养日”活动中，设计了抽奖环节：在一只不透明的箱子中有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外均相同．
（1）随机摸出一个球，恰好是红球就能中奖，则中奖的概率是多少？
（2）同时摸出两个球，都是红球 就能中特别奖，则中特别奖的概率是多少？（要求画树状图或列表求解）
【分析】（1）根据概率的意义解答即可；
（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵2个红球，1个白球，
∴中奖的概率为；
（2）根据题意画出树状图如下：
一共有6种情况，都是红球的有2种情况，
所以，P（都是红球）＝＝，
即中特别奖的概率是．
27．把分别标有数字2、3、4、5的四个小球放入A袋内，把分别标有数字、、、、的五个小球放入B袋内，所有小球的形状、大小、质地完全相同，A、B两个袋子不透明、
（1）小明分别从A、B两个袋子中各摸出一个小球，求这两个小球上的数字互为倒数的概率；
（2）当B袋中标有的小球上的数字变为 或或或 时（填写所有结果），（1）中的概率为．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这两个小球上的数字互为倒数的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）由概率为，可得这两个小球上的数字互为倒数的有5种情况，继而可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，这两个小球上的数字互为倒数的有4种情况，
∴这两个小球上的数字互为倒数的概率为：＝；
（2）∵当B袋中标有的小球上的数字变为或或或时，
∴这两个小球上的数字互为倒数的有5种情况，
∴这两个小球上的数字互为倒数的概率为：＝．
故答案为：或或或．
28．不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（小球除颜色外其余都相同），其中黄球2个，篮球1个．若从中随机摸出一个球，摸到篮球的概率是．
（1）求口袋里红球的个数；
（2）第一次随机摸出一个球（不放回），第二次再随机摸出一个球，请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的球恰是一黄一蓝的概率．
【分析】（1）设口袋里红球的个数为x，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值即可；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸到的球恰是一黄一蓝的情况数，即可求出所求概率．
【解答】解：（1）设红球有x个，
根据题意得：＝，
解得：x＝1，
经检验x＝1是原方程的根．
则口袋中红球有1个；
（2）列表如下：
红
黄
黄
蓝
红
﹣﹣﹣
（黄，红）
（黄，红）
（蓝，红）
黄
（红，黄）
﹣﹣﹣
（黄，黄）
（蓝，黄）
黄
（红，黄）
（黄，黄）
﹣﹣﹣
（蓝，黄）
蓝
（红，蓝）
（黄，蓝）
（黄，蓝）
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种，其中两次摸到的球恰是一黄一蓝的情况有4种，
则P＝＝．
29．一只不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．
（1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图．
【分析】（1）根据概率的意义列式即可；
（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵共有3个球，2个白球，
∴随机摸出一个球是白球的概率为；
（2）根据题意画出树状图如下：
一共有6种等可能的情况，两次摸出的球都是白球的情况有2种，
所以，P（两次摸出的球都是白球）＝＝．
30．“五一”假期，黔西南州某公司组织部分员工分别到甲、乙、丙、丁四地考察，公司按定额购买了前往各地的车票，如图所示是用来制作完整的车票种类和相应数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：
（1）若去丁地的车票占全部车票的10%，请求出去丁地的车票数量，并补全统计图（如图所示）．
（2）若公司采用随机抽取的方式发车票，小胡先从所有的车票中随机抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同、均匀），那么员工小胡抽到去甲地的车票的概率是多少？
（3）若有一张车票，小王和小李都想去，决定采取摸球的方式确定，具体规则：“每人从不透明袋子中摸出分别标有1、2、3、4的四个球中摸出一球（球除数字不同外完全相同），并放回让另一人摸，若小王摸得的数字比小李的小，车票给小王，否则给小李．”试用列表法或画树状图的方法分析这个规则对双方是否公平？
【分析】（1）根据丁地车票的百分比求出甲，乙，丙地车票所占的百分比之和，用甲，乙，丙车票之和除以百分比求出总票数，得出丁车票的数量，补全条形统计图即可；
（2）根据甲，乙，丙，丁车票总数，与甲地车票数为20张，即可求出所求的概率；
（3）列表得出所有等可能的情况数，求出两人获胜概率，比较即可得到公平与否．
【解答】解：（1）根据题意得：（20+40+30）÷（1﹣10%）＝100（张），
则D地车票数为100﹣（20+40+30）＝10（张），补全图形，如图所示：
（2）总票数为100张，甲地票数为20张，
则员工小胡抽到去甲地的车票的概率为＝；
（3）列表如下：
1
2
3
4
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
所有等可能的情况数有16种，其中小王掷得数字比小李掷得的数字小的有6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），
∴P小王掷得的数字比小李小＝＝，
则P小王掷得的数字不小于小李＝1﹣＝，
则这个规则不公平．
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日期：2019/11/14 9:44:03；用户：张瑞兰；邮箱：15963432934；学号：30210107
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