2021六安舒城中学高二下学期第二次月考数学(理)试题含答案
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这是一份2021六安舒城中学高二下学期第二次月考数学(理)试题含答案,共11页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
舒城中学2020-2021学年度第二学期第二次统考高二理数 满分:150分 时间:120分钟 一、单选题:本大题共12小题,每小提5分,共60分.1.若i为虚数单位,则在复平面上对应的点位于 ( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.设函数在上可导,则等于 ( )A. B. C. D.以上都不对3.函数在上 ( )A.有最大值0,无最小值 B.有最大值0,最小值C.最小值,无最大值 D.既无最大值,也无最小值4.若函数在上可导,且,则 ( )A. B.C. D.以上答案都不对5.函数的大致图象是 ( )A. B.C. D.6.已知,则 ( )A.中共有项,当n=2时,B.中共有项,当n=2时,C.中共有项,当n=2时,D.中共有项,当n=2时,7.若函数,则 ( )A.既有极大值,也有极小值 B.有极小值,无极大值C.有极大值,无极小值 D.既无极大值,也无极小值8.已知函数的图象经过点,则的最小值为 ( )A.11 B.12 C.13 D.149.曲线与曲线的公切线方程为 ( )A. B. C. D.10.已知偶函数的定义域为,导函数为,,,则不等式的解集为 ( )A.或 B.或C.或 D.或11.已知函数,若方程有4个零点,则a的可能的值为 ( )A. B.1 C. D.12.已知函数有两个极值点,则a的取值范围是 ( )A. B. C. D. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13..______________.14.由曲线y=,y2=x与直线x=2,y=0围成封闭图形的其面积为________.15.已知函数,且当时,,则实数的取值范围为___________.16.若对一切正实数恒成立,则实数的取值范围是___________. 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本题10分)已知函数.(1)若在上是增函数,求实数的取值范围;(2)若是的极值点,求在上的最大值和最小值. 18.(本题12分)如图,已知多面体中,为菱形,,平面,,,.(1)求证:平面平面;(2)求二面角的余弦值. 19.(本题12分)已知函数(1)求曲线y=f(x)在x=Z处的切线方程;(2)设,证明: 20.(本题12分)在平面直角坐标系中,直线过点且与直线垂直,直线与轴交于点,点与点关于轴对称,动点满足.(1)求动点的轨迹的方程;(2)过点的直线与轨迹相交于两点,设点,直线的斜率分别为,问是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 21.(本题12分)已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)若,且对任意恒成立,求的最大值. 22.(本题12分)已知函数.(1)若,求实数的取值范围;(2)求证:.
舒城中学2020-2021学年度第二学期统考(二)高二理数满分:150分 时间:120分钟一、单选题:本大题共12小题,每小提5分,共60分.1.若i为虚数单位,则在复平面上对应的点位于( C )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.设函数在上可导,则等于( C )A. B. C. D.以上都不对3.函数在上( B )A.有最大值0,无最小值 B.有最大值0,最小值C.最小值,无最大值 D.既无最大值,也无最小值4.若函数在上可导,且,则( C )A. B.C. D.以上答案都不对4,,,,,图象为开口向上的抛物线,其对称轴方程为:,.故选:C.5.函数的大致图象是( A )A.B.C.D.5.函数的定义域为关于原点对称,又所以是奇函数,排除BC当时,,则在上递增,又 ,所以函数 在内存在零点,且当时,,当时,,所以在上递减,在上递增,排除D故选:A 6.已知,则( C )A.中共有项,当n=2时,B.中共有项,当n=2时,C.中共有项,当n=2时,D.中共有项,当n=2时, 7.若函数,则( B )A.既有极大值,也有极小值 B.有极小值,无极大值C.有极大值,无极小值 D.既无极大值,也无极小值7依题意,;令,解得,故当时,,当时,,故当时,函数有极小值,且函数无极大值,故选:B. 8.已知函数的图象经过点,则的最小值为( A )A.11 B.12 C.13 D.148.由题可得:,所以=,令y=,,令可得在递增,则在递减,故在x=2处取得最小值,最小值为,故答案为11. 9.曲线与曲线的公切线方程为( A )A. B. C. D.10.已知偶函数的定义域为,导函数为,,,则不等式的解集为( )A.或 B.或C.或 D.或10.设,则易知为偶函数又则当时,函数为增函数,当时,函数为减函数又,不等式可化为即,所以或,所以不等式的解集为或故选:D.11.已知函数,若方程有4个零点,则a的可能的值为( A )A. B.1 C. D.11解:根据函数的解析式可知,函数的图象如下: 要使方程有4个零点,则的图象与直线有4个不同的交点,所以只需a小于在区间上的过坐标原点的切线的斜率即可.由,得,设切点坐标为,则切线方程为,又切线过,所以,解得,故此时切线的斜率为,故,结合选项知,选:A.12.已知函数有两个极值点,则a的取值范围是( D )A. B. C. D.12.因为有两个极值点,所以有两个不同实数根,所以有两个不同实数根,所以有两个不同实数根,显然,所以有两个不同实数根,记,,当时,当时,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,又因为时,;当时,;当时,,所以当有两个不同实数根时 ,所以,所以, 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13..______________. 14.由曲线y=,y2=x与直线x=2,y=0围成封闭图形的其面积为________.+ln216.已知函数,且当时,,则实数的取值范围为___________.15.依题意,,令,则函数在上单调递增,则在上恒成立,即在上恒成立,令,则在上显然恒成立,所以在上单调递增,则;因此只需,解得,即实数的取值范围为.16.若对一切正实数恒成立,则实数的取值范围是___________.16设,则恒成立,由,令,则恒成立,所以为增函数,令得,当时,,当时,;所以在递减,在递增,故在处取得最小值,故最小值,因为,则所以恒成立,得,又因为(当且仅当时等号成立);所以 即 .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本题10分)已知函数.(1)若在上是增函数,求实数的取值范围;(2)若是的极值点,求在上的最大值和最小值.解:(1)令f′(x)=3x2-2ax+3>0,∴a<min=3(当x=1时取最小值).∵x≥1,∴a<3,a=3时亦符合题意,∴a≤3.(2)f′(3)=0,即27-6a+3=0,∴a=5,f(x)=x3-5x2+3x,f′(x)=3x2-10x+3.令f′(x)=0,得x1=3,x2=(舍去).当1<x<3时,f′(x)<0,当3<x<5时,f′(x)>0,即当x=3时,f(x)的极小值f(3)=-9.又f(1)=-1,f(5)=15,∴f(x)在[1,5]上的最小值是f(3)=-9,最大值是f(5)=15. 18.(本题12分)如图,已知多面体中,为菱形,,平面,,,.(1)求证:平面平面;(2)求二面角的余弦值.(1)证明:∵,∴四点、、、共面.如图所示,连接,,相交于点,∵四边形是菱形,∴对角线,∵平面,∴,又,∴平面,∴,又,,∴平面,平面,∴平面平面.(2)取的中点,∵,,∴是等边三角形,∴,又,∴,以A点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,.,,,.∵.∴,解得.设平面的法向量为,则,∴,取.同理可得:平面的法向量.∴.由图可知:二面角的平面角为钝角,∴二面角的余弦值为. 19 .(本题12分)已知函数(1)求曲线在点处的切线方程;(2)设,证明:(1),且,所以切线方程,即.(2)由,.,所以在为增函数,又因为,,所以存在唯一,使,即且当时,,为减函数,时,为增函数,所以,,记,,,所以在上为减函数,所以,所以. 20.(本题12分)在平面直角坐标系中,直线过点且与直线垂直,直线与轴交于点,点与点关于轴对称,动点满足.(1)求动点的轨迹的方程;(2)过点的直线与轨迹相交于两点,设点,直线的斜率分别为,问是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.(1)由已知设直线的方程为,因为点在直线上,所以,解得.所以直线的方程为. 令,解得,所以,故.因为, 由椭圆的定义可得,动点的轨迹是以为焦点的椭圆,长轴长为4. 所以,,所以轨迹的方程为. (2)①当直线的斜率不存在时,由,解得.不妨设,,则.②当直线的斜率存在时,设直线的方程为,由,消去,得,依题意,直线与轨迹必相交于两点,设,,则,,又,,所以.综上可得,为定值.21.(本题12分)已知函数. (I)求函数的单调区间 ; (II)若,且对任意恒成立,求的最大值.试题分析:(1)解:因为,所以,
函数的图像在点处的切线方程;…………5分
(2)解:由(1)知,,所以对任意恒成立,即对任意恒成立.…………7分
令,则,……………………8分
令,则,
所以函数在上单调递增.………………………9分
因为,所以方程在上存在唯一实根,且满足.
当,即,当,即,…13分
所以函数在上单调递减,在上单调递增.
所以.…………14分
所以.故整数的最大值是3.………………………15分 22.(本题12分)32.已知函数.(1)若,求实数的取值范围;(2)求证:. (1)因为,,当时,,符合题意,当时,,在上单调递减,而,不合题意,当时,令,得,令,得,即在上单调递增,在上单调递减,所以,解得.综上,实数的取值范围为.(2)由(1)知,当时,,即,所以,得,所以,即证.
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