黑龙江省大庆市2021届高三下学期第二次教学质量监测试题（二模）（4月）：数学（文）（有答案）

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文科数学

2021.04

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

第I卷(选择题共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|x>2}，B＝{0，1，2，3，4}，则A∩B＝

A.{3，4}     B.{0，3，4}     C.{0，1，2}     D.{0}

2.设i是虚数单位，则复数z＝2i(3－2i)对应的点在复平面内位于

A.第一象限     B.第二象限     C.第三象限     D.第四象限

3.命题“∀x∈R，x2－x＋2021>0”的否定是

A.∃x0∈R，x02－x0＋2021<0     B.∀x∈R，x2－x＋2021≤0

C.∀x∈R，x2－x＋2021<0       D.∃x0∈R，x02－x0＋2021≤0

4.

A.     B.     C.     D.

5.已知直线l：x＋y＋1＝0与圆C：(x＋1)2＋(y＋2)2＝8相交于A，B两点，则弦AB的长度为

A.     B.2     C.2     D.4

6.已知m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断不正确的是

A.若m⊥α，nα，则m⊥n。

B.若m，n都与l相交且m//n，则直线m，n，l共面。

C.若m⊥α，n⊥β，m//n，则α//β。

D.若m，n，l两两相交，且交于同一点，则直线m，n，l共面。

7.已知向量＝(2，1)，＝(－1，x)，(2＋)⊥，则x的值为

A.－4     B.－8     C.4     D.8

8.日晷是我国古代按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度。我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同。二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，如此周而复始。已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是

A.白露比立秋的晷长长两尺           B.大寒的晷长为一丈五寸

C.处暑和谷雨两个节气的晷长相同     D.立春的晷长比立秋的晷长长

9.定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)＝f(x)，f(1－x)＝f(1＋x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝，则函数f(x)的图象与g(x)＝的图象的交点个数为

A.5     B.6     C.7     D.8

10.函数f(x)＝的部分图象大致是

11.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b2＋c2－bc＝3，则△ABC面积的取值范围是

A.(，]     B.(，)     C.(，)     D.(，]

12.已知函数f(x)＝ex－e－x，g(x)＝cosx＋x2－ax。对于任意x1，x2∈[－，]且x1≠x2，都有，则实数a的最大值是

A.     B.＋1     C.1－     D.1

第II卷(非选择题 共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(－1，3)，则cosα＝           。

14.若x，y满足约束条件，则z＝y－2x的最小值为           。

15.某机构一年需购买消毒液300吨，每次购买x吨，每次运费为3万元，一年的总存储费用为4x万元。要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是           。

16.已知抛物线y2＝2px(p>0)，圆(x－)2＋y2＝1与y轴相切，斜率为k的直线过抛物线的焦点与抛物线交于A，D两点，与圆交于B，C两点(A，B两点在x轴的同一侧)，若，则k的值为           。

三、解答题：共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。

17.(本小题满分12分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－3(n∈N*)。

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn。

18.(本小题满分12分)

随着新冠疫情防控进入常态化，人们的生产生活逐步步入正轨。为拉动消费，某市政府分批发行2亿元政府消费券。为了解政府消费券使用人群的年龄结构情况，在发行完第一批政府消费券后，该市政府采用随机抽样的方法在全市市民中随机抽取了200人，对是否使用过政府消费券的情况进行调查，部分结果如下表所示，其中年龄在45岁及以下的人数占样本总数的，没使用过政府消费券的人数占样本总数的。

(1)请将题中表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为该市市民是否使用政府消费券与年龄有关？

(2)现从45岁及以下的样本中按是否使用过政府消费券进行分层抽样，抽取8人做进一步访谈，然后再从这8人中随机抽取2人填写调查问卷，则抽取的2人中恰好一个使用过政府消费券，一个没使用过政府消费券的概率为多少?

附：，其中n＝a＋b＋c＋d。

19.(本小题满分12分)

如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，且E，F分别为BB1，DD1的中点。

(1)求证：AE//平面BC1F；

(2)求四面体A－BC1F的体积。

20.(本小题满分12分)

已知椭圆E：的长轴长为4，离心率为。

(1)求椭圆E的方程；

(2)设P为椭圆右顶点，过点C(，0)作斜率不为0的直线l与曲线E交于A，B两点，求证：PA⊥PB。

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝x－alnx。

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个相异零点x1，x2，求证： x1·x2>e2。

请考生在第22、23二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝。

(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)已知点P(0，)，若直线l与曲线C相交于不同的两点M，N，求的值。

23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

设函数f(x)＝|x＋3|＋|x－2|的最小值为M。

(1)求M；

(2)设a，b，c均为正实数，且2a＋2b＋c＝M，证明：。

大庆市高三年级第一次教学质量检测

文科数学答案及评分标准

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 

 13. ；  14. ；     15. ；    16. .

三.解答题

17.（本小题满分12分）

解：（1）当时，                                     

，

解得，                                              ……………1分

当时，

，                               ……………3分

得，

因为，

所以，                                        

因为，

所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，                            ……………5分

所以.                                              ……………6分

（2）因为，                             ……………7分

所以，                            ……………9分

所以数列的前项和

.             ……………12分

18.（本小题满分12分）

解：（1）由题意得，总人数为200人，年龄在45岁及以下的人数为人，

没使用过政府消费券的人数为人，                              

完成表格如下：

……………2分

由列联表可知，                          ……………4分

因为，

所以有90%的把握认为该市市民民是否使用政府消费券与年龄有关．            ……………6分

（2）由题意可知，

从45岁及以下的市民中采用分层抽样的方法可以抽取使用过政府消费券的市民6人，

没有使用过政府消费券的市民2人，                                       ……………7分

设使用过政府消费券的人为1，2，3，4，5，6，没使用过政府消费券的人为，，则全部情况为：

12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，1，2，3，4，5，6，1，2，3，4，5，6，， 共计28种情况，                       ……………9分

其中，一个使用过政府消费券，一个没使用过政府消费券的情况有12种，       ……………10分

所以恰好抽到“一个使用过政府消费券，一个没使用过政府消费券”的概率为．………12分

19.（本小题满分12分）

取中点为，连接、，

因为是正方体，点和为所在棱中点，

所以∥，，

所以四边形为平行四边形，                      

所以∥，                                     ……………2分

在正方形中，点和为中点，

所以∥，                                     ……………3分

所以∥，                                      ……………4分

又因为，，                               ……………5分

所以//平面．                                 ……………6分

（2）因为∥平面，

所以，                          ……………8分

在四面体中，

，                       ……………10分

到平面的距离为2，

所以．                                      ……………12分

20．（本小题满分12分）

解：（1）因为椭圆的长轴长为4，

所以，即．                                  ……………1分

又因为椭圆上的离心率为，

，

即，                                            ……………2分

所以，

所以椭圆的方程为．                        ……………4分

（2）由（1）得，

因为，

设直线的方程为，，                         ……………5分

联立方程得，

化简得，

，                                  ……………7分

且，                                  ……………9分

因为，，                                   

所以

，            ……………11分

所以．                                        ……………12分

21.（本小题满分12分）

解：由题意得，                                 ……………1分

①时，恒成立，

所以，所以在单调递增．                              ……………3分

②时，在上，在上，

所以在单调递减，在单调递增．                           ……………5分

综上,

时，在单调递增．

时，在单调递减，在单调递增．                      ……………6分

（2）因为有两个相异零点，，

由（1）可知，，

不妨设，

因为，，

所以，，

所以，                           ……………7分

要证，

即证，

等价于证明，而，

所以等价于证明，

也就是.           （*）                                   ……………9分

令，则，

于是欲证（*）成立，等价于证明成立，

设函数，

求导得，

所以函数是上的增函数，                                       ……………11分

所以，

即成立，

所以成立．                                      ……………12分

22．（本小题满分10分）

解：（1）由（为参数），消去参数可得直线的普通方程为，

……………2分

由，

得，

即，

整理可得曲线的直角坐标方程为．                             ……………4分

（2）直线经过点，

将直线的参数方程（为参数）代入椭圆中，

整理得，                                 ……………6分

显然，

设点，对应的参数分别为，，

则有，，                             ……………8分

因为同号，                                       

故．                    ……………10分

23．（本小题满分10分）

解：（1）法一：

由绝对值三角不等式可得，              ……………2分

当且仅当时，等号成立，                      

所以．                                          ……………4分

法二：

因为．

①当时，；                            ……………1分

②当时，；                                  ……………2分

③当时，；                               ……………3分

综上，的最小值．                             ……………4分

（2）因为，

所以，                                   

同理可得，，                                       ……………6分

由基本不等式可得

，                            ……………9分

当且仅当时，等号成立，                      

因此．                         ……………10分