上海市宝山区2022届高三数学二模试卷及答案

 高三数学二模试卷

一、填空题

1．设集合A＝｛x｜－＜x＜2｝，B＝｛x｜x2≤1｝，则A∪B＝　                 　．

2．如果函数是奇函数，则　     　．

3．若线性方程组的增广矩阵为、解为，则　     　．

4．方程cos2x+sinx=1在（0，π）上的解集是 　                　

5．若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为　     　．

6．若一组样本数据2，3，7，8，的平均数为5，则该组数据的方差　     　.

7．已知点在不等式组，表示的平面区域上运动，则的取值范围是　        　

8．已知是双曲线上的点，过点作双曲线两渐近线的平行线，直线分别交轴于两点，则　     　．

9．已知分别为三个内角的对边，，则　     　．

10．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，则　     　

11．已知直线与直线互相平行且距离为.等差数列的公差为，且，令，则的值为　     　．

12．已知分别是边的中点，是线段上的一动点(不包含两点)，且满足，则的最小值为　     　．

二、单选题

13．已知，，，为实数，且，则“”是“”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．充要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

14．已知是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）

A．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行

B．过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直

C．平面不垂直平面，但平面内存在直线垂直于平面

D．若直线不垂直于平面，则在平面内不存在与垂直的直线

15．关于函数和实数的下列结论中正确的是（　　）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

16．设函数 ，其中 ，若 、 、 是 的三条边长，则下列结论：①对于一切 都有 ；②存在 使 、 、 不能构成一个三角形的三边长；③ 为钝角三角形，存在 ，使 ，其中正确的个数为（　　）个  

A．3 B．2 C．1 D．0

三、解答题

17．在长方体－A1B1C1D1中，，，点是棱上的点，.

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）求点到平面的距离．

18．某地区的一种特色水果上市时间11个月中，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①②③(以上三式中均为非零常数，.)

（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么?

（2）若求出所选函数的解析式(注：函数的定义域是，其中表示月份，表示2月份，，以此类推)，为保证果农的收益，打算在价格在5元以下期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？

19．已知函数．

（1）当时，求满足的的取值范围；

（2）若的定义域为，又是奇函数，求的解析式，判断其在上的单调性并加以证明．

20．已知是椭圆的两个焦点坐标，是椭圆上的一个定点，是椭圆上的两点，点的坐标为.

（1）求椭圆的方程；

（2）当两点关于轴对称，且为等边三角形时，求的长；

（3）当两点不关于轴对称时，证明：△不可能为等边三角形.

21．已知无穷数列的前项和为，且满足，其中、、是常数.

（1）若，，，求数列的通项公式；

（2）若，，，且，求数列的前项和；

（3）试探究、、满足什么条件时，数列是公比不为-1的等比数列.

答案解析部分

1．【答案】｛x｜－1≤x＜2｝

2．【答案】-3

3．【答案】16

4．【答案】{，}

5．【答案】

6．【答案】5.2

7．【答案】[-1，2]

8．【答案】4

9．【答案】60°

10．【答案】

11．【答案】52

12．【答案】

13．【答案】C

14．【答案】B

15．【答案】C

16．【答案】A

17．【答案】（1）解：在平面ABCD内作交于，连接，

则为异面直线与所成角或其补角.

因为，所以，所以，

因为，所以

而所以△为正三角形，，

从而异面直线与所成角的大小为.

（2）解：设点到平面的距离为，

，，

由得，所以

18．【答案】（1）解：对于①，函数是单调函数，不符合题意，

对于②，二次函数的图象不具备先上升，后下降，再上升的特点，不符合题意，

对于③，当时，函数在上的图象是上升的，在上的图象是下降的，

在上的图象是上升的，满足题设条件，应选③.

（2）解：依题意，，解得，则，

由，即，而，解得，

所以该水果在第月份应该采取外销策略.

19．【答案】（1）解：由题意，，化简得，

解得

所以x≤-1

（2）解：已知定义域为R，所以

又

所以

对任意

可知

因为，所以，所以

因此在R上递减．

20．【答案】（1）解：可设椭圆的方程为

由题意得：，解得：，

所以椭圆的方程为，即

（2）解：设，，

因为为等边三角形，所以.

又点在椭圆上，所以，

消去，得到，解得或，

当时，，所以；

当时，，所以

（3）证明：设，则，且，

所以，

设，同理可得，且.

因为在上单调，所以有，

因为不关于轴对称，所以，所以.

所以不可能为等边三角形.

21．【答案】（1）解：由，得；

当时，，即

所以；

（2）解：由，得，进而，

当时，

得，

因为，所以，

进而

（3）解：若数列是公比为的等比数列，

①当时，，

由，得恒成立.

所以，与数列是等比数列矛盾；

②当，时，，，

由恒成立，

得对于一切正整数都成立

所以，或或，

事实上，当，或或，时，

，时，，得或-1

所以数列是以为首项，以为公比的等比数列