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    上海市宝山区2023届高三(二模)数学试题

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    这是一份上海市宝山区2023届高三(二模)数学试题,共18页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    上海市宝山区2023届高三(二模)数学试题

     

    一、单选题

    1.若,则的(    

    A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

    C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

    2.已知定义在上的偶函数,若正实数ab满足,则的最小值为(    

    A B9 C D8

    3.将正整数分解为两个正整数的积,即,当两数差的绝对值最小时,我们称其为最优分解.如,其中4×5即为20的最优分解,当的最优分解时,定义,则数列的前2023项的和为(    

    A B C D

    4.在空间直角坐标系,已知定点,和动点.的面积为,为顶点的锥体的体积为,的最大值为(   )

    A B C D

     

    二、填空题

    5.已知集合,则_________

    6.不等式的解集为_____

    7.若幂函数的图象经过点,则该函数的解析式为_____________

    8.已知复数(其中为虚数单位),则实数_________

    9.已知数列的递推公式为,则该数列的通项公式_________

    10.在的展开式中常数项为________(用数字作答).

    11.从装有3个红球和4个蓝球的袋中,每次不放回地随机摸出一球.记第一次摸球时摸到红球A第二次摸球时摸到蓝球B,则__________

    12.若数列为等差数列,且,则该数列的前项和为_________

    13.已知的内角ABC的对边分别为abc,已知,则_______.

    14.如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图(图中仅列出的数据)和频率分布直方图,则_________

    15.已知函数),若关于的不等式的解集为,其中,则实数的取值范围是_________

    16.已知非零平面向量不共线,且满足,记,当的夹角取得最大值时,的值为______

     

    三、解答题

    17.已知函数

    (1)求函数的最小正周期和单调区间;

    (2)若关于的方程上有两个不同的实数解,求实数的取值范围.

    18.四棱锥的底面是边长为2的菱形,,对角线ACBD相交于点O底面ABCDPB与底面ABCD所成的角为60°EPB的中点.

    (1)求异面直线DEPA所成角的大小(结果用反三角函数值表示);

    (2)证明:平面PAD,并求点E到平面PAD的距离.

    19.下表是某工厂每月生产的一种核心产品的产量(件)与相应的生产成本(万元)的四组对照数据.

    4

    6

    8

    10

    12

    20

    28

    84

     

    (1)试建立的线性回归方程;

    (2)研究人员进一步统计历年的销售数据发现.在供销平衡的条件下,市场销售价格会波动变化.经分析,每件产品的销售价格(万元)是一个与产量相关的随机变量,分布为

     

    假设产品月利润=月销售量×销售价格成本.(其中月销售量=生产量)

    根据(1)进行计算,当产量为何值时.月利润的期望值最大?最大值为多少?

    20.已知抛物线

    (1)求抛物线的焦点F的坐标和准线的方程;

    (2)过焦点F且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点AB,求线段AB的长;

    (3)已知点,是否存在定点Q,使得过点Q的直线与抛物线交于两个不同的点MN(均不与点Р重合),且以线段MN为直径的圆恒过点P?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

    21.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体.如:方程中,当取给定的实数时,表示一条直线;当在实数范围内变化时,表示过点的直线族(不含轴).记直线族(其中)为,直线族(其中)为

    (1)分别判断点是否在的某条直线上,并说明理由;

    (2)对于给定的正实数,点不在的任意一条直线上,求的取值范围(用表示);

    (3)直线族的包络被定义为这样一条曲线:直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线,且该曲线上每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.求的包络和的包络.


    参考答案:

    1B

    【分析】根据充分、必要条件分析判断.

    【详解】由题意可得:

    显然可以推出,但不能推出

    所以的必要非充分条件.

    故选:B.

    2A

    【分析】根据偶函数的对称性可得,由题意分析可得,结合基本不等式分析运算.

    【详解】若函数为偶函数,则

    ,可得

    整理得,故,解得

    .

    若正实数ab满足,即,可得

    可得

    当且仅当,即时,等号成立,

    的最小值为.

    故选:A.

    3B

    【分析】根据最优分解定义得到为奇数和为偶数时,的通项公式,进而求出数列2023项和.

    【详解】当时,由于,此时

    时,由于,此时

    所以数列的前2023项的和为

    .

    故选:B

    4C

    【分析】由已知,设直线的单位方向向量为,根据空间向量公式求出到直线的距离,得到的面积为,根据椎体体积公式得到以为顶点的锥体的体积为,利用分离常数法和基本不等式求解即可得到最大值.

    【详解】由已知,

    设直线的单位方向向量为,,

    所以到直线的距离,

    所以,

    ,

    ,

    ,,

    所以,

    当且仅当时等号成立,

    所以,

    的最大值为.

    故选:C.

    5

    【分析】利用交集定义直接求解.

    【详解】因为集合

    所以

    故答案为:

    6

    【分析】将不等式化为,即可得答案.

    【详解】由题意得不等式

    即不等式的解集为

    故答案为:

    7

    【分析】结合幂函数定义,给出解析式,代入点坐标即可计算出结果.

    【详解】设幂函数解析式为:

    根据题意此函数经过点代入解析式中得

    解得:

    所以所求函数的解析式为.

    8

    【分析】利用复数相等的条件即可求解.

    【详解】由题意可知,,解得,

    所以实数.

    故答案为:.

    9

    【分析】由已知凑配出等比数列,从而求得通项公式

    【详解】由,又

    所以是等比数列,公比为2,所以

    故答案为:

    10

    【解析】写出的展开式的通项,即可求得常数项.

    【详解】的展开式的通项为:

    解得

    的展开式中常数项是:.

    故答案为:.

    【点睛】关键点睛:本题考查二项式定理,利用通项公式求二项展开式中的指定项,解题关键是掌握的展开通项公式.

    11

    【分析】根据独立事件概率乘法公式结合条件概率分析运算.

    【详解】由题意可得:

    所以.

    故答案为:.

    12

    【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程,求得首项和公差,即可求得答案.

    【详解】由题意数列为等差数列,且

    设数列公差为d,则,解得

    故答案为:

    13

    【解析】运用三角函数的诱导公式和二倍角公式,以及正弦定理,计算可得所求角;

    【详解】利用正弦定理有:

    又由,则

    又由,则

    ,由

    解得.

    故答案为:.

    【点睛】运用三角函数的诱导公式和二倍角公式化简条件,及灵活运用正弦定理,是解决三角形问题的基本思路.

    14

    【分析】根据茎叶图可得相应的频数,根据频率分布直方图可得相应的频率,根据频率与频数之间的关系列式求解.

    【详解】由茎叶图可知:的频数分别为52

    由频率分布直方图可得:每组的频率依次为

    设样本容量为

    ,解得

    .

    故答案为:.

    15

    【分析】根据题意结合指数函数性质判断出,且的解集为,根据一元二次不等式和相应方程的关系可得,结合b的范围,即可求得答案.

    【详解】由题意知若,即

    时,;当 时,

    的解集为

    ,且的解集为

    的两根,

     

    故答案为:

    164

    【分析】先建系,再结合平面向量数量积的坐标及基本不等式的应用求出向量,进而通过运算求得的值.

    【详解】由非零平面向量不共线,且满足,建立如图所示的平面直角坐标系:

    ,则,由,则

    则直线的斜率分别为

    由两直线的夹角公式可得:

    当且仅当,即时取等号,此时,则

    所以,故填:4.

    【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及基本不等式求最值的运用,考查转化与化归思想,在使用基本不等式时,注意等号成立的条件.

    17(1)最小正周期;单调递增区间为;单调递减区间为.

    (2)

     

    【分析】(1)利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式,用周期公式求周期,整体代入法求函数单调区间;

    2)由区间内函数的单调性和函数值的变化范围求解实数的取值范围.

    【详解】(1

    则函数的最小正周期

    ,解得

    可得函数的单调递增区间为·

    ,解得

    可得因数的单调递减区间为

    2)由(1)可知,时,上单调递增,在上单调递减,

    增大到1

    1减小到

    若关于的方程上有两个不同的实数解,则实数的取值范围为

    18(1)

    (2)证明见解析,

     

    【分析】(1)建立空间直角坐标系,利用向量法求异面直线所成的角即可;

    2)根据中位线及线面平行的判定定理证明线面平行,再由点面距离的向量法公式求解.

    【详解】(1)由题意,两两互相垂直,以O为坐标原点,射线OBOCOP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系,如图,

    菱形中,,所以,

    因为底面ABCD ,所以PB与底面ABCD所成的角为

    所以

    则点ABDP的坐标分别是

    EPB的中点,则,于是.

    的夹角为θ,则有

    异面直线DEPA所成角的大小是.

    2)连接

    分别是的中点,

    平面PAD平面PAD

    平面PAD.

    因为,

    设平面PAD的法向量

    ,令,则

    所以,又

    则点E到平面PAD的距离.

    19(1)

    (2)时,月利润的期望值最大,最大值为.

     

    【分析】(1)由线性回归方程计算公式可得答案;

    2)由题可得月利润的期望值表达式,后由单调性可得答案.

    【详解】(1)设的回归方程为,则

    .

    .,则回归方程为:.

    2)设月利润的期望值为,则由题可得:

    ,则上单调递增,

    则当时,最大,.

    件时,月利润的期望值最大,最大值为万元

    20(1)抛物线的焦点,准线.

    (2)20

    (3)存在,

     

    【分析】(1)根据抛物线的方程求焦点和准线;

    2)根据题意可得直线AB的方程,联立方程,理由韦达定理结合抛物线的定义分析运算;

    3)设直线MN,联立方程,根据题意可得,结合韦达定理分析运算.

    【详解】(1抛物线,则,且焦点在轴正半轴,

    故抛物线的焦点,准线.

    2)由(1)可得:,可得直线

    联立方程,消去y

    可得

    .

    3)存在,理由如下:

    设直线

    联立方程,消去x

    可得

    若以线段MN为直径的圆恒过点P,则

    可得

    可得

    ,则,可得直线

    过定点,与点重合,不合题意;

    ,则,此时

    可得直线,过定点

    综上所述:直线过定点.

    【点睛】方法定睛:存在性问题求解的思路及策略

    (1)思路:先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在;若结论不正确则不存在.

    (2)策略:当条件和结论不唯一时要分类讨论;

    当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;

    当条件和结论都不知,按常规法解题很难时,可先由特殊情况探究,再推广到一般情况.

    21(1)的某条直线上,点不在的某条直线上;

    (2)

    (3)的包络方程为的包络方程为.

     

    【分析】(1)分别把点的坐标代入直线族的方程,然后判断方程是否有实数解即可.

    (2)由点不在的任意一条直线上,得到关于的方程时无实数解,再用导数法求的最小值,令的最小值大于零即可求出的取值范围.

    (3)先求直线族中的取值范围,从而猜测包络线的方程,再用包络线的切线方程进行验证,从而确定所求的方程为包络线方程.

    【详解】(1)把点代入直线族的方程

    得:

    因为,所以方程有实数根,

    所以点的某条直线上.

    把点代入直线族的方程

    得:

    因为,所以方程无实数根,

    所以点不在的某条直线上.

    2)因为点不在的任意一条直线上,

    所以方程上无实数解,

    即方程上无实数解.

    ,则

    因为为正实数,所以当时,解得;当时,解得

    所以上单调递减,在上单调递增,

    所以

    解得

    所以的取值范围为.

    3)由(2)的结论猜测的包络是曲线.                   

    ,解,得.           

    在曲线上任取一点

    则过该点的切线方程是.

    而对任意的的确为曲线的切线.

    的包络是曲线.                                        

    整理为关于的方程

    若该方程无解,则

    整理得.        

    猜测的包络是抛物线.                                      

    ,解,得.

    在抛物线上任取一点

    则过该点的切线方程是

    而对任意的确为抛物线的切线.

    的包络是抛物线.

    【点睛】难点点睛:新文化题出题的特点,就是先给出一段材料,然后利用材料中的有用信息解决问题,这种题目的特点,就是要把要解决的问题转化为材料中的公式或者概念,难度较大.

     

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