上海市宝山区2023届高三（二模）数学试题

上海市宝山区2023届高三（二模）数学试题

一、单选题

1．若：，：，则是的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

2．已知定义在上的偶函数，若正实数a、b满足，则的最小值为（    ）

A． B．9 C． D．8

3．将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如，其中4×5即为20的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前2023项的和为（    ）

A． B． C． D．

4．在空间直角坐标系中,已知定点,和动点.若的面积为,以为顶点的锥体的体积为,则的最大值为(   )

A． B． C． D．

二、填空题

5．已知集合，，则_________．

6．不等式的解集为_____．

7．若幂函数的图象经过点，则该函数的解析式为_____________

8．已知复数（其中为虚数单位），则实数_________．

9．已知数列的递推公式为，则该数列的通项公式_________．

10．在的展开式中常数项为________(用数字作答).

11．从装有3个红球和4个蓝球的袋中，每次不放回地随机摸出一球．记“第一次摸球时摸到红球”为A，“第二次摸球时摸到蓝球”为B，则__________．

12．若数列为等差数列，且，，则该数列的前项和为_________．

13．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则_______.

14．如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图（图中仅列出，的数据）和频率分布直方图，则_________．

15．已知函数（且），若关于的不等式的解集为，其中，则实数的取值范围是_________．

16．已知非零平面向量不共线，且满足，记，当的夹角取得最大值时，的值为______．

三、解答题

17．已知函数．

(1)求函数的最小正周期和单调区间；

(2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．

18．四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线AC与BD相交于点O，底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点．

(1)求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

(2)证明：平面PAD，并求点E到平面PAD的距离．

19．下表是某工厂每月生产的一种核心产品的产量（件）与相应的生产成本（万元）的四组对照数据．

(1)试建立与的线性回归方程；

(2)研究人员进一步统计历年的销售数据发现．在供销平衡的条件下，市场销售价格会波动变化．经分析，每件产品的销售价格（万元）是一个与产量相关的随机变量，分布为

假设产品月利润=月销售量×销售价格成本．（其中月销售量=生产量）

根据（1）进行计算，当产量为何值时．月利润的期望值最大？最大值为多少？

20．已知抛物线：．

(1)求抛物线的焦点F的坐标和准线的方程；

(2)过焦点F且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点A、B，求线段AB的长；

(3)已知点，是否存在定点Q，使得过点Q的直线与抛物线交于两个不同的点M、N（均不与点Р重合），且以线段MN为直径的圆恒过点P？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

21．直线族是指具有某种共同性质的直线的全体．如：方程中，当取给定的实数时，表示一条直线；当在实数范围内变化时，表示过点的直线族（不含轴）．记直线族（其中）为，直线族（其中）为．

(1)分别判断点，是否在的某条直线上，并说明理由；

(2)对于给定的正实数，点不在的任意一条直线上，求的取值范围（用表示）；

(3)直线族的包络被定义为这样一条曲线：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．求的包络和的包络．

参考答案：

1．B

【分析】根据充分、必要条件分析判断.

【详解】由题意可得：：，

显然可以推出，但不能推出，

所以是的必要非充分条件.

故选：B.

2．A

【分析】根据偶函数的对称性可得，由题意分析可得，结合基本不等式分析运算.

【详解】若函数为偶函数，则，

即，可得，

整理得，故，解得，

∴.

若正实数a、b满足，即，可得，

可得，

当且仅当，即时，等号成立，

∴的最小值为.

故选：A.

3．B

【分析】根据最优分解定义得到为奇数和为偶数时，的通项公式，进而求出数列前2023项和.

【详解】当时，由于，此时，

当时，由于，此时，

所以数列的前2023项的和为

.

故选：B

4．C

【分析】由已知,设直线的单位方向向量为,根据空间向量公式求出到直线的距离,得到的面积为,根据椎体体积公式得到以为顶点的锥体的体积为,利用分离常数法和基本不等式求解即可得到最大值.

【详解】由已知,

设直线的单位方向向量为,则,

所以到直线的距离,

所以,

,

则

,

令,则,

所以,

当且仅当即时等号成立,

所以,

即的最大值为.

故选:C.

5．

【分析】利用交集定义直接求解．

【详解】因为集合，，

所以．

故答案为：．

6．

【分析】将不等式化为，即可得答案.

【详解】由题意得不等式即，

即不等式的解集为，

故答案为：

7．

【分析】结合幂函数定义，给出解析式，代入点坐标即可计算出结果.

【详解】设幂函数解析式为：，

根据题意此函数经过点代入解析式中得

即解得：，

所以所求函数的解析式为.

8．

【分析】利用复数相等的条件即可求解.

【详解】由题意可知，，解得,

所以实数.

故答案为：.

9．

【分析】由已知凑配出等比数列，从而求得通项公式．

【详解】由得，又，

所以是等比数列，公比为2，所以，

，

故答案为：．

10．

【解析】写出的展开式的通项，即可求得常数项.

【详解】的展开式的通项为：

，

当，

解得，

的展开式中常数项是：.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式.

11．

【分析】根据独立事件概率乘法公式结合条件概率分析运算.

【详解】由题意可得：，

所以.

故答案为：.

12．

【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程，求得首项和公差，即可求得答案.

【详解】由题意数列为等差数列，且，，

设数列公差为d，则，解得，

故，

故答案为：

13．

【解析】运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角；

【详解】利用正弦定理有：，

又由，则，

则，

即，

又由，则，

即，由，

解得.

故答案为：.

【点睛】运用三角函数的诱导公式和二倍角公式化简条件，及灵活运用正弦定理，是解决三角形问题的基本思路.

14．

【分析】根据茎叶图可得相应的频数，根据频率分布直方图可得相应的频率，根据频率与频数之间的关系列式求解.

【详解】由茎叶图可知：，的频数分别为5，2；

由频率分布直方图可得：每组的频率依次为，

设样本容量为，

则，解得，

故.

故答案为：.

15．

【分析】根据题意结合指数函数性质判断出，，且的解集为，根据一元二次不等式和相应方程的关系可得，结合b的范围，即可求得答案.

【详解】由题意知若，即，

∴，

∴当时，；当 时，，

∵的解集为，

∴，，且的解集为，

∴与是的两根，

 故，∴，

又，∴，

又，∴ ，

故答案为：

16．4

【分析】先建系，再结合平面向量数量积的坐标及基本不等式的应用求出向量，进而通过运算求得的值.

【详解】由非零平面向量不共线，且满足，建立如图所示的平面直角坐标系：

则，则，由，则，

则直线的斜率分别为，

由两直线的夹角公式可得：

，

当且仅当，即时取等号，此时，则，

所以，故填：4.

【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及基本不等式求最值的运用，考查转化与化归思想，在使用基本不等式时，注意等号成立的条件.

17．(1)最小正周期；单调递增区间为；单调递减区间为.

(2)

【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，用周期公式求周期，整体代入法求函数单调区间；

（2）由区间内函数的单调性和函数值的变化范围求解实数的取值范围．

【详解】（1），

则函数的最小正周期；

令，解得 ，

可得函数的单调递增区间为·

令 ，解得 ，

可得因数的单调递减区间为 ；

（2）由（1）可知，时，在上单调递增，在上单调递减，

当，，由增大到1，

当，，由1减小到，

若关于的方程在上有两个不同的实数解，则实数的取值范围为

18．(1)

(2)证明见解析，

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成的角即可；

（2）根据中位线及线面平行的判定定理证明线面平行，再由点面距离的向量法公式求解.

【详解】（1）由题意，两两互相垂直，以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，

菱形中，，所以,

在中，

因为底面ABCD ，所以PB与底面ABCD所成的角为，

所以，

则点A、B、D、P的坐标分别是，

E是PB的中点，则，于是，.

设的夹角为θ，则有，

故，

∴异面直线DE与PA所成角的大小是.

（2）连接，

分别是的中点，

，

平面PAD，平面PAD，

平面PAD.

因为，,

设平面PAD的法向量，

则，令，则，

所以，又，

则点E到平面PAD的距离.

19．(1)

(2)时，月利润的期望值最大，最大值为.

【分析】（1）由线性回归方程计算公式可得答案；

（2）由题可得月利润的期望值表达式，后由单调性可得答案.

【详解】（1）设与的回归方程为，则，

又，，

，.

则.，则回归方程为：.

（2）设月利润的期望值为，则由题可得：

，则在上单调递增，

则当时，最大，.

即件时，月利润的期望值最大，最大值为万元

20．(1)抛物线的焦点，准线.

(2)20

(3)存在，

【分析】（1）根据抛物线的方程求焦点和准线；

（2）根据题意可得直线AB的方程，联立方程，理由韦达定理结合抛物线的定义分析运算；

（3）设直线MN，联立方程，根据题意可得，结合韦达定理分析运算.

【详解】（1）∵抛物线：，则，且焦点在轴正半轴，

故抛物线的焦点，准线.

（2）由（1）可得：，可得直线，

设，

联立方程，消去y得，

可得，

故.

（3）存在，理由如下：

设直线，

联立方程，消去x得，

则，

可得，

若以线段MN为直径的圆恒过点P，则，

可得

，

可得或，

若，则，可得直线，

过定点，与点重合，不合题意；

若，则，此时，

可得直线，过定点；

综上所述：直线过定点.

【点睛】方法定睛：存在性问题求解的思路及策略

(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．

(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；

②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；

③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．

21．(1)点在的某条直线上，点不在的某条直线上；

(2)；

(3)的包络方程为，的包络方程为.

【分析】(1)分别把点的坐标代入直线族的方程，然后判断方程是否有实数解即可.

(2)由点不在的任意一条直线上，得到关于的方程在时无实数解，再用导数法求的最小值，令的最小值大于零即可求出的取值范围.

(3)先求直线族中的取值范围，从而猜测包络线的方程，再用包络线的切线方程进行验证，从而确定所求的方程为包络线方程.

【详解】（1）把点代入直线族的方程

得：，

因为，所以方程有实数根，

所以点在的某条直线上.

把点代入直线族的方程

得：，

因为，所以方程无实数根，

所以点不在的某条直线上.

（2）因为点不在的任意一条直线上，

所以方程在上无实数解，

即方程在上无实数解.

令，则，

因为为正实数，所以当时，解得；当时，解得；

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

解得，

所以的取值范围为.

（3）由(2)的结论猜测的包络是曲线.                   

，解，得.           

在曲线上任取一点，

则过该点的切线方程是即.

而对任意的，的确为曲线的切线.

故的包络是曲线.                                        

将整理为关于的方程

，

若该方程无解，则，

整理得.        

猜测的包络是抛物线.                                      

，解，得.

在抛物线上任取一点，

则过该点的切线方程是，

而对任意的，确为抛物线的切线.

故的包络是抛物线.

【点睛】难点点睛：新文化题出题的特点，就是先给出一段材料，然后利用材料中的有用信息解决问题，这种题目的特点，就是要把要解决的问题转化为材料中的公式或者概念，难度较大.