上海市宝山区2023届高三(二模)数学试题
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一、单选题
1.若:,:,则是的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
2.已知定义在上的偶函数,若正实数a、b满足,则的最小值为( )
A. B.9 C. D.8
3.将正整数分解为两个正整数、的积,即,当、两数差的绝对值最小时,我们称其为最优分解.如,其中4×5即为20的最优分解,当、是的最优分解时,定义,则数列的前2023项的和为( )
A. B. C. D.
4.在空间直角坐标系中,已知定点,和动点.若的面积为,以为顶点的锥体的体积为,则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题
5.已知集合,,则_________.
6.不等式的解集为_____.
7.若幂函数的图象经过点,则该函数的解析式为_____________
8.已知复数(其中为虚数单位),则实数_________.
9.已知数列的递推公式为,则该数列的通项公式_________.
10.在的展开式中常数项为________(用数字作答).
11.从装有3个红球和4个蓝球的袋中,每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为A,“第二次摸球时摸到蓝球”为B,则__________.
12.若数列为等差数列,且,,则该数列的前项和为_________.
13.已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,则_______.
14.如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图(图中仅列出,的数据)和频率分布直方图,则_________.
15.已知函数(且),若关于的不等式的解集为,其中,则实数的取值范围是_________.
16.已知非零平面向量不共线,且满足,记,当的夹角取得最大值时,的值为______.
三、解答题
17.已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调区间;
(2)若关于的方程在上有两个不同的实数解,求实数的取值范围.
18.四棱锥的底面是边长为2的菱形,,对角线AC与BD相交于点O,底面ABCD,PB与底面ABCD所成的角为60°,E是PB的中点.
(1)求异面直线DE与PA所成角的大小(结果用反三角函数值表示);
(2)证明:平面PAD,并求点E到平面PAD的距离.
19.下表是某工厂每月生产的一种核心产品的产量(件)与相应的生产成本(万元)的四组对照数据.
4 | 6 | 8 | 10 | |
12 | 20 | 28 | 84 |
(1)试建立与的线性回归方程;
(2)研究人员进一步统计历年的销售数据发现.在供销平衡的条件下,市场销售价格会波动变化.经分析,每件产品的销售价格(万元)是一个与产量相关的随机变量,分布为
假设产品月利润=月销售量×销售价格成本.(其中月销售量=生产量)
根据(1)进行计算,当产量为何值时.月利润的期望值最大?最大值为多少?
20.已知抛物线:.
(1)求抛物线的焦点F的坐标和准线的方程;
(2)过焦点F且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点A、B,求线段AB的长;
(3)已知点,是否存在定点Q,使得过点Q的直线与抛物线交于两个不同的点M、N(均不与点Р重合),且以线段MN为直径的圆恒过点P?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
21.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体.如:方程中,当取给定的实数时,表示一条直线;当在实数范围内变化时,表示过点的直线族(不含轴).记直线族(其中)为,直线族(其中)为.
(1)分别判断点,是否在的某条直线上,并说明理由;
(2)对于给定的正实数,点不在的任意一条直线上,求的取值范围(用表示);
(3)直线族的包络被定义为这样一条曲线:直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线,且该曲线上每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.求的包络和的包络.
参考答案:
1.B
【分析】根据充分、必要条件分析判断.
【详解】由题意可得::,
显然可以推出,但不能推出,
所以是的必要非充分条件.
故选:B.
2.A
【分析】根据偶函数的对称性可得,由题意分析可得,结合基本不等式分析运算.
【详解】若函数为偶函数,则,
即,可得,
整理得,故,解得,
∴.
若正实数a、b满足,即,可得,
可得,
当且仅当,即时,等号成立,
∴的最小值为.
故选:A.
3.B
【分析】根据最优分解定义得到为奇数和为偶数时,的通项公式,进而求出数列前2023项和.
【详解】当时,由于,此时,
当时,由于,此时,
所以数列的前2023项的和为
.
故选:B
4.C
【分析】由已知,设直线的单位方向向量为,根据空间向量公式求出到直线的距离,得到的面积为,根据椎体体积公式得到以为顶点的锥体的体积为,利用分离常数法和基本不等式求解即可得到最大值.
【详解】由已知,
设直线的单位方向向量为,则,
所以到直线的距离,
所以,
,
则
,
令,则,
所以,
当且仅当即时等号成立,
所以,
即的最大值为.
故选:C.
5.
【分析】利用交集定义直接求解.
【详解】因为集合,,
所以.
故答案为:.
6.
【分析】将不等式化为,即可得答案.
【详解】由题意得不等式即,
即不等式的解集为,
故答案为:
7.
【分析】结合幂函数定义,给出解析式,代入点坐标即可计算出结果.
【详解】设幂函数解析式为:,
根据题意此函数经过点代入解析式中得
即解得:,
所以所求函数的解析式为.
8.
【分析】利用复数相等的条件即可求解.
【详解】由题意可知,,解得,
所以实数.
故答案为:.
9.
【分析】由已知凑配出等比数列,从而求得通项公式.
【详解】由得,又,
所以是等比数列,公比为2,所以,
,
故答案为:.
10.
【解析】写出的展开式的通项,即可求得常数项.
【详解】的展开式的通项为:
,
当,
解得,
的展开式中常数项是:.
故答案为:.
【点睛】关键点睛:本题考查二项式定理,利用通项公式求二项展开式中的指定项,解题关键是掌握的展开通项公式.
11.
【分析】根据独立事件概率乘法公式结合条件概率分析运算.
【详解】由题意可得:,
所以.
故答案为:.
12.
【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程,求得首项和公差,即可求得答案.
【详解】由题意数列为等差数列,且,,
设数列公差为d,则,解得,
故,
故答案为:
13.
【解析】运用三角函数的诱导公式和二倍角公式,以及正弦定理,计算可得所求角;
【详解】利用正弦定理有:,
又由,则,
则,
即,
又由,则,
即,由,
解得.
故答案为:.
【点睛】运用三角函数的诱导公式和二倍角公式化简条件,及灵活运用正弦定理,是解决三角形问题的基本思路.
14.
【分析】根据茎叶图可得相应的频数,根据频率分布直方图可得相应的频率,根据频率与频数之间的关系列式求解.
【详解】由茎叶图可知:,的频数分别为5,2;
由频率分布直方图可得:每组的频率依次为,
设样本容量为,
则,解得,
故.
故答案为:.
15.
【分析】根据题意结合指数函数性质判断出,,且的解集为,根据一元二次不等式和相应方程的关系可得,结合b的范围,即可求得答案.
【详解】由题意知若,即,
∴,
∴当时,;当 时,,
∵的解集为,
∴,,且的解集为,
∴与是的两根,
故,∴,
又,∴,
又,∴ ,
故答案为:
16.4
【分析】先建系,再结合平面向量数量积的坐标及基本不等式的应用求出向量,进而通过运算求得的值.
【详解】由非零平面向量不共线,且满足,建立如图所示的平面直角坐标系:
则,则,由,则,
则直线的斜率分别为,
由两直线的夹角公式可得:
,
当且仅当,即时取等号,此时,则,
所以,故填:4.
【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及基本不等式求最值的运用,考查转化与化归思想,在使用基本不等式时,注意等号成立的条件.
17.(1)最小正周期;单调递增区间为;单调递减区间为.
(2)
【分析】(1)利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式,用周期公式求周期,整体代入法求函数单调区间;
(2)由区间内函数的单调性和函数值的变化范围求解实数的取值范围.
【详解】(1),
则函数的最小正周期;
令,解得 ,
可得函数的单调递增区间为·
令 ,解得 ,
可得因数的单调递减区间为 ;
(2)由(1)可知,时,在上单调递增,在上单调递减,
当,,由增大到1,
当,,由1减小到,
若关于的方程在上有两个不同的实数解,则实数的取值范围为
18.(1)
(2)证明见解析,
【分析】(1)建立空间直角坐标系,利用向量法求异面直线所成的角即可;
(2)根据中位线及线面平行的判定定理证明线面平行,再由点面距离的向量法公式求解.
【详解】(1)由题意,两两互相垂直,以O为坐标原点,射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系,如图,
菱形中,,所以,
在中,
因为底面ABCD ,所以PB与底面ABCD所成的角为,
所以,
则点A、B、D、P的坐标分别是,
E是PB的中点,则,于是,.
设的夹角为θ,则有,
故,
∴异面直线DE与PA所成角的大小是.
(2)连接,
分别是的中点,
,
平面PAD,平面PAD,
平面PAD.
因为,,
设平面PAD的法向量,
则,令,则,
所以,又,
则点E到平面PAD的距离.
19.(1)
(2)时,月利润的期望值最大,最大值为.
【分析】(1)由线性回归方程计算公式可得答案;
(2)由题可得月利润的期望值表达式,后由单调性可得答案.
【详解】(1)设与的回归方程为,则,
又,,
,.
则.,则回归方程为:.
(2)设月利润的期望值为,则由题可得:
,则在上单调递增,
则当时,最大,.
即件时,月利润的期望值最大,最大值为万元
20.(1)抛物线的焦点,准线.
(2)20
(3)存在,
【分析】(1)根据抛物线的方程求焦点和准线;
(2)根据题意可得直线AB的方程,联立方程,理由韦达定理结合抛物线的定义分析运算;
(3)设直线MN,联立方程,根据题意可得,结合韦达定理分析运算.
【详解】(1)∵抛物线:,则,且焦点在轴正半轴,
故抛物线的焦点,准线.
(2)由(1)可得:,可得直线,
设,
联立方程,消去y得,
可得,
故.
(3)存在,理由如下:
设直线,
联立方程,消去x得,
则,
可得,
若以线段MN为直径的圆恒过点P,则,
可得
,
可得或,
若,则,可得直线,
过定点,与点重合,不合题意;
若,则,此时,
可得直线,过定点;
综上所述:直线过定点.
【点睛】方法定睛:存在性问题求解的思路及策略
(1)思路:先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在;若结论不正确则不存在.
(2)策略:①当条件和结论不唯一时要分类讨论;
②当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;
③当条件和结论都不知,按常规法解题很难时,可先由特殊情况探究,再推广到一般情况.
21.(1)点在的某条直线上,点不在的某条直线上;
(2);
(3)的包络方程为,的包络方程为.
【分析】(1)分别把点的坐标代入直线族的方程,然后判断方程是否有实数解即可.
(2)由点不在的任意一条直线上,得到关于的方程在时无实数解,再用导数法求的最小值,令的最小值大于零即可求出的取值范围.
(3)先求直线族中的取值范围,从而猜测包络线的方程,再用包络线的切线方程进行验证,从而确定所求的方程为包络线方程.
【详解】(1)把点代入直线族的方程
得:,
因为,所以方程有实数根,
所以点在的某条直线上.
把点代入直线族的方程
得:,
因为,所以方程无实数根,
所以点不在的某条直线上.
(2)因为点不在的任意一条直线上,
所以方程在上无实数解,
即方程在上无实数解.
令,则,
因为为正实数,所以当时,解得;当时,解得;
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,
解得,
所以的取值范围为.
(3)由(2)的结论猜测的包络是曲线.
,解,得.
在曲线上任取一点,
则过该点的切线方程是即.
而对任意的,的确为曲线的切线.
故的包络是曲线.
将整理为关于的方程
,
若该方程无解,则,
整理得.
猜测的包络是抛物线.
,解,得.
在抛物线上任取一点,
则过该点的切线方程是,
而对任意的,确为抛物线的切线.
故的包络是抛物线.
【点睛】难点点睛:新文化题出题的特点,就是先给出一段材料,然后利用材料中的有用信息解决问题,这种题目的特点,就是要把要解决的问题转化为材料中的公式或者概念,难度较大.
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