2021届高考数学考前30天冲刺模拟卷（6）

考前30天冲刺高考模拟考试卷（6）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知全集，2，3，4，5，，集合，3，，集合，3，4，，则集合　　

A． B．， C．，4， D．，3，

2．（5分）已知复数为虚数单位），则的最大值为　　

A．1 B． C．2 D．4

3．（5分）已知，，则是的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（5分）在空间中，下列命题是真命题的是　　

A．经过三个点有且只有一个平面 

B．平行于同一平面的两直线相互平行 

C．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 

D．如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面

5．（5分）设等差数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是　　

A．， B．， 

C．， D．，

6．（5分）若正实数，满足，则　　

A． B． C． D．

7．（5分）点为坐标原点，若，是圆上的两个动点，且，点在直线上运动，则的最小值是　　

A． B． C． D．

8．（5分）设函数，其中，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9．（5分）是衡量空气质量得重要指标，我国采用世卫组织得最宽值限定值，即日均值在以下，空气质量为一级，在，空气质量为二级，超过为超标．如图是某地12月1日至10日得（单位：的日均值，则下列说法正确的是　　

A．这10天中有3天空气质量为一级 

B．从6日到9日日均值逐渐降低 

C．这10天中日均值的中位数是55 

D．这10天中日均值的平均值是45

10．（5分）若，则　　

A． 

B． 

C． 

D．

11．（5分）函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如，等，该函数被广泛应用于数学和计算机等领域，关于函数，正确的结论是　　

A． B．若，则 

C．若，则 D．

12．（5分）已知双曲线，、分别为双曲线的左，右顶点，、为左、右焦点，，且，，成等比数列，点是双曲线的右支上异于点的任意一点，记，的斜率分别为，，则下列说法正确的是　　

A．当轴时， 

B．双曲线的离心率 

C．为定值 

D．若为△的内心，满足，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知随机变量服从正态分布，，则　　．

14．（5分）若直线与直线平行，则实数　　，直线与之间的距离为　　．

15．（5分）已知三棱锥中，、、三条棱两两垂直，且长度均为，以顶点为球心，4为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为　　．

16．（5分）若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）设方程在，上恰有5个实数解，求的取值范围．

18．（12分）在①已知数列满足：，，②等比数列中，公比，前5项和为62，这两个条件中任选一个，并解答下列问题．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，若对恒成立，求正整数的最大值．

19．（12分）2021年春晚首次采用“云”传播，“云”互动形式，实现隔空连线心意相通，全球华人心连心“云团圆”，共享新春氛围，“云课堂”亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式，某市随机抽取200人对“云课堂”倡议的了解情况进行了问卷调查，记表示了解，表示不了解，统计结果如表所示：

（表一）

（表二）

（1）请根据所提供的数据，完成上面的列联表（表二），并判断是否有的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系；

（2）用样本估计总体，将频率视为概率，在男性市民和女性市民中各随机抽取4人，记“4名男性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为，“4名女性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为，试求出与，并比较与的大小．

附：临界值参考表的参考公式

，其中

20．（12分）已知四边形，，，将沿翻折至．

（Ⅰ）若，求证：；

（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求与面所成角的正弦值．

21．（12分）已知椭圆与的离心率相同，过的右焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆，的交点从上到下依次为，，，，且，求的值．

22．（12分）已知函数为自然对数的底数）．

（Ⅰ）当时，求曲线在点，（2）处的切线的斜率；

（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）设函数，且．若，为函数的两个零点，且的导函数为，求证：．

考前30天冲刺高考模拟考试卷（6）答案

1．解：全集，2，3，4，5，，集合，3，4，，，，又集合，3，，

则集合，．

故选：．

2．解：复数为虚数单位），

，

，

故当时，则取最大值2，

故选：．

3．解：由，当时，不能够推出，

故是的不充分条件，

由，

故是的必要条件，

综上所述：是的必要不充分条件．

故选：．

4．解：经过不在同一直线上的三个点有且只有一个平面，若三点共线，经过该三点有无数个平面，故错误；

平行于同一平面的两直线有三种位置关系：平行、相交或异面，故错误；

如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故错误；

如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面，正确，

证明如下：

，，，，，

在内，与外任取一点，作，，，，，

又，则，作，同理可得，

而，、，则．

故选：．

5．解：设，则为奇函数且单调递增，

因为，，

所以，且，

即，，

，

故选：．

6．解：正实数，满足，

变为：，，

若，则，可得．

若，则，可得．

若，则，可得，可得，矛盾，舍去．

，

故选：．

7．解：因为

，

又点到直线的距离为，

所以，此时直线与直线垂直，

所以，即的最小值为，

故选：．

8．解：函数，其中，

设，，

存在唯一的整数，使得，

存在唯一的整数，使得在直线的下方，

，

当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

当时，．

当时，，当时，，

直线恒过，斜率为，

故，且，

解得，

的取值范围是，．

故选：．

9．解：由图形知，日均值在以下的有第1天、第3天和第4天，共三天空气质量为一级，正确；

从6日到9日日均值是逐渐降低，所以选项正确；

这10天中日均值从小到大排列为30、32、34、40、41、45、48、60、78、80，

所以中位数是，所以选项错误；

计算平均数为，所以错误．

故选：．

10．解：，

故令，可得，故正确．

令，可得，

令，可得，

两式相减除以2，可得，故错误．

令，可知正确．

令，可得，故，故正确．

故选：．

11．解：根据题意，依次分析选项：

对于，当时，有，错误，

对于，若，则，正确，

对于，若，，

若，，

故有，

故正确，

对于，当，时，，，错误；

故选：．

12．解：因为，，成等比数列，所以，

中，轴时，的坐标为：即，

所以，所以，所以不正确；

中，因为，所以可得，可得，又，

解得：，所以正确；

，设，，则，所以，

由题意可得，，所以，

由，可得，所以正确；

中因为，所以，

可得，所以正确；

故选：．

13．解：随机变量服从正态分布，

，

，

，

，

故答案为：0.16．

14．解：直线与直线平行，

，

解得，

直线，直线，

直线与之间的距离为：

．

故答案为：，．

15．解：如图，，，则，，

，

，同理，

，，

故球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于，

故答案为：．

16．解：由恰有4个零点，

得，即有4个根，

令，也就是与的图象有四个交点．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，当时，，单调递增，

当时，，单调递减．

作出函数的图象如图：

函数恰有4个零点，则实数的取值范围是．

故答案为：．

17．解：（1）函数．

令，

整理得，

所以函数的单调递增区间为．

（2）设方程在，上恰有5个实数解，

令，

即，

整理得，

解得．

所以当时，时，

由于恰好有5个实数解．

故

18．解：（1）选①已知数列满足：，，

设等比数列的公比为，

由，可得，

又，即，解得，

所以；

选②等比数列中，公比，前5项和为62，

则，，

解得，

所以；

（2），

，

，

上面两式相减可得

，

化简可得，

因为，

所以递增，最小，且为，所以，

解得，

则的最大值为2022．

19．解：（1）根据题意填写列联表，如下：

根据表中数据，计算，

对照临界值表知，有的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系；

（2）用样本估计总体，将频率视为概率，

根据列联表得出男性了解“云课堂”倡议的概率为，

女性了解“云课堂”倡议的概率为，

所以计算概率，

概率，

所以．

20．解：（Ⅰ）取的中点，连接，，

不妨设，则，

即

因为，

所以，则，

又因为，所以，且，

面，面，则，

（Ⅱ）取的中点，连接，，，过点作，

不妨设，则，即，

因为，则，

又因为为中点，为的中点，则，所以，

所以为二面角的平面角．

且，面，面，又，则面，

在中，，，所以，

所以点到面距离为，，

设与面所成的角为，则，

解法2：取的中点，连接，，，过点作，

不妨设，则，即，

因为，则，

又因为为中点，为的中点，则，所以，

所以为二面角的平面角．

因此以点为坐标原点，以，，分别为，，轴建空间直角坐标系如图：

，0，，，2，，，0，，，，，

设面的法向量为，，，，0，，

，，，，，，

则，所以，令，则，

所以面的一个法向量为，，，

设与面所成的角为，则．

21．解：（1）设椭圆的标准方程为：，

令得：，

过的右焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为，

又椭圆的离心率，

，解得：，

椭圆的标准方程为：．

（2）设，，，，，，，，

联立方程，消去得：，则有，

同理，联立方程，消去得：，则有，

，，

，

，

，

，

，

即，

解得：．

的值为．

22．Ⅰ）解：当时，，，

所以曲线在点，（2）处的切线的斜率（2）．

（Ⅱ）解：由定义域可知，，所以恒成立，

，，所以在上单调递增，

又因为时，，当时，，

故存在唯一实数使，则，也即，

在上，，函数单调递减，

在，上，，函数单调递增，

因此

，

解得，

即实数的取值范围是．

（Ⅲ）证明“由题意可得，且①，②，

由①②得，

由，得③，

不防令，并设，

则，代入③可得，

要证，只需证明即可，即证明，

令，，

因为函数，在上恒成立，

所以在上单调递减，

所以，

所以，所以，

则在单调递减，

则，即，得证．