2021届高考数学考前30天冲刺模拟卷（25）

考前30天冲刺高考模拟考试卷（25）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则　　

A． B． C． D．

2．已知点，是角的终边与单位圆的交点，则　　

A． B． C． D．

3．若双曲线的焦距为，则的渐近线方程为　　

A． B． C．． D．

4．夏季气温高，因食用生冷或变质食物导致的肠道感染类疾病是夏季多发病．某社区医院统计了该社区在夏季某4天患肠道感染类疾病的人数与平均气温的数据如表：

由表中数据算得线性回时方程中的，预测当平均气温为时，该社区患肠道感染类疾病的人数为　　

A．57 B．59 C．61 D．65

5．函数的定义域为，，则函数的值域为　　

A． B． C． D．

6．设，则　　

A．21 B．64 C．78 D．

7．如图，在三棱锥中，点，分别为棱，的中点．若点在线段上，且满足平面，则的值为　　

A．1 B．2 C． D．

8．已知数列中，，，对于，且，有，若，，且，互质），则等于　　

A．8089 B．8088 C．8087 D．8086

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9．为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从两个班各抽取7位同学分成甲、乙两组参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，则下列描述正确的有　　

A．甲、乙两组成绩的平均分相等 

B．甲、乙两组成绩的中位数相等 

C．甲、乙两组成绩的极差相等 

D．甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差

10．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射．12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是　　

A．焦距长约为300公里 B．长轴长约为3976公里 

C．两焦点坐标约为 D．离心率约为

11．下列说法有可能成立的是　　

A． B．（B）（A） 

C．（A）（B） D．

12．如图，在边长为4的正方形中，点、分别在边、上（不含端点）且，将，分别沿，折起，使、两点重合于点，则下列结论正确的有　　

A． 

B．当时，三棱锥的外接球体积为 

C．当时，三棱锥的体积为 

D．当时，点到平面的距离为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：

7327　0293　7140　9857　0347　4373　8636　6947　1417　4698

0371　6133　2616　8045　6011　3661　9597　7424　7610　4281

根据以上数据估计该运动员射击4次恰好击中3次的概率为　　．

14．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，则　　；　　．

15．已知各项均为正数的等比数列中，是它的前项和，若，且，则　　．

16．已知内角，，所对的边分别为，，，面积为，满足，且，则的外接圆半径为　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，，，三地在以为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，，是圆形区域外一景点，，．

（1）、相距多少公里？（精确到小数点后两位）

（2）若一汽车从处出发，以每小时50公里的速度沿公路行驶到处，需要多少小时？（精确到小数点后两位）

18．设正项数列的前项和满足．

（1）求的通项公式；

（2）令，数列的前项和为，求使得成立的的最小值．

19．某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表：

并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：

（1）求相关系数的大小（精确到，并判断管理时间与土地使用面积的线性相关程度；

（2）是否有的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？

（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望．

参考公式：，其中．

临界值表：

参考数据：．

20．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，、分别为、的中点．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

21．已知抛物线上的点，到其焦点的距离为1．

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）若直线交抛物线于两点、，线段的垂直平分线交抛物线于两点、，求证：、、、四点共圆．

22．已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若极大值大于2，求的取值范围．

考前30天冲刺高考模拟考试卷（25）答案

1．解：，，

．

故选：．

2．解：由题意知，，，

．

故选：．

3．解：由题意可得，

所以，

双曲线方程为：，

双曲线的渐近线方程为：．

故选：．

4．解：由题意得，，，

因为中的，所以，

所以线性回归方程为，当时，，

故选：．

5．解：的定义域为，，中，，解得，

即的定义域为，，令，则，，

则，

当时，；当时，，

的值域为．

故选：．

6．解：因为，

又因为二项式的展开式，

则时，；时，；

时，；时，；

时，；时，，

时，，

故，

故选：．

7．解：连接，交于，连接，如图，

平面，平面平面，

，

点，分别为棱，的中点．

是的重心，

．

故选：．

8．解：由两边取倒数可得：，

即，故数列为等差数列，

其首项为，公差为，

故，，

所以，因为，互质，且为正整数，

所以，，

所以，

故选：．

9．解：因为，所以甲组成绩的平均分小于乙组成绩的平均分，

甲、乙两组成绩的中位数均为6，

甲、乙两组成绩的极差均为4，

甲组的成绩比乙组的更加稳定，所以甲组成绩的方差小于乙组成绩的方程．

故选：．

10．解：设椭圆长轴长为，短轴长为，焦距为，则，

两式相加可得：，两式相减可得：，

故椭圆长轴长3976公里，焦距长为300公里，故正确；

离心率，故正确；

由于题中没有建立坐标系，焦点坐标不确定，故错误；

故选：．

11．解：根据题意，依次分析选项：

对于，，变形可得（A），

而（A），则，错误，

对于，，变形可得（A），

当（A）时，有（B）（A），正确，

对于，当、是相互独立事件时，（A）（B），正确，

对于，当、是互斥事件时，，正确，

故选：．

12解：取的中点，连接，，

由题意可得，，

所以，，，

所以平面，

所以，

故正确；

当时，，，

可得，又，，

可把三棱锥放到以，，为相邻棱的长方体中，

可得长方体的对角线长为，

故外接球的半径为，体积为，

故错误；

当时，，，

所以，

，

，

故正确；

当时，设到面的距离为，

则，

解得，

故正确．

故选：．

13．解：先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，

指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标，

以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：

7327　0293　7140　9857　0347　4373　8636　6947　1417　4698

0371　6133　2616　8045　6011　3661　9597　7424　7610　4281

该运动员射击4次恰好击中3次的数据有：

8636，8045，7424，共3个，

根据以上数据估计该运动员射击4次恰好击中3次的概率为．

故答案为：．

14．解：，

，

因此，．

故答案为：0，．

15．解：各项均为正数的等比数列中，，

所以，

因为，

所以，

则，即，，

则．

故答案为：31．

16．解：根据题意，设的外接圆半径为，由于，

则由正弦定理，

则，

又，

可得，即，

可得，可得，

所以，解得，即的外接圆半径为1．

故答案为：1．

17．解：（1）在中，由余弦定理可得，

，

，

则（公里）．

答：、相距约15.28公里；

（2）在中，，

在中，，

即，，

，

．

（公里）．

所需时间为小时．

答：从行驶到约需要1.25小时．

18．解：（1）因为，，所以，

于是，

，

令，则，，

所以是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为．

（2），

则，

，所以的最小值为24．

19．解：（1）由题意可得，，

，

，

，

管理时间与土地使用面积具有较强的相关性．

（2）由题意可知：

，

有的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．

（3）由题意可知的可能取值为0，1，2，3，

；

；

；

；

所以的分布列为：

．

20．Ⅰ）证明：法一：为的中点，

取的中点为，连、，（1分）

为正方形，为的中点，

且，，（3分）

又，且，、平面，

平面平面，（5分）

平面，平面．（6分）

法二：取的中点为，连、，（1分）

为正方形，为的中点，且，

又，且，（3分）

四边形为平行四边形，故．（5分）

平面，平面，平面．（6分）

（Ⅱ）连接，相交于，连接，为正方形，为，中点，

又，，且，平面

，，三线两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立坐标系（8分）

，，

，，，，，0，，

设平面的法向量为，，，，，

，

，令，，，平面的法向量为，1，．（9分）

设平面是法向量为，，，，，

，，令，，，

平面的法向量为，，．（10分）

设平面与平面所成锐二面角的平面角为，

则，

平面与平面所成锐二面角的余弦值为．（12分）

21．解：（Ⅰ）抛物线的准线为，

点，到其焦点的距离为1，，即，

抛物线方程为，

又点，在抛物线上，，即；

证明：（Ⅱ）设，，，，

联立，得，

则，，且，即，

则，

且线段中点的纵坐标为，则，

线段的中点，，

直线为线段的垂直平分线，直线的方程为，

联立，得．

设，，，，

则，，

故．

线段的中点为，，

，

，

，

点在以为直径的圆上，同理点在以为直径的圆上，

故、、、四点共圆．

22．解：，

（Ⅰ）时，，

令，解得：，令，解得：，

故在递减，在，单增；

时，令，解得：或，

令，解得：，

故在递增，在递减，在，单增；

时，，在单增，的单调递增区间为；

时，令，解得：或

令，解得：，

故在递增，在，递减，在单增；

综上：时，在递减，在，单增，

时，在递增，在递减，在，单增，

时，在单调递增，

时，在递增，在，递减，在单增．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当和时，无极大值，不成立，

当时，函数的极大值是，解得：，

由于，

故，

当时，函数的极大值是（a），得，

令，则，，

在时取得极大值（4），且（1），

，，而在递增，，解得：，故，

故的取值范围是，

综上：的取值范围是，，．