宁夏银川市2021届高三上学期期末考试数学（理）试题（word版 含答案）

2021届高三上学期期末考试数学（理）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则=

A． B． C． D．

2．在复平面内，复数对应的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

3．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线C的离心率是（    ）

A． B． C． D．2

4．设，则“”是“直线与直线平行”的（     ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．若直线过点，则的最小值等于

A．2 B．3 C．4 D．5

6．记为等差数列的前项和．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知，且，则

A．

B．

C．

D．

8．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（    ）．

A． B． C． D．

9．圆的圆心到直线的距离为1，则

A． B． C． D．2

10．函数的导函数在上的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

11．已知曲线，其中m为非零常数且，则下列结论中错误的是（    ）

A．当时，曲线C是一个圆

B．当时，曲线C的离心率为

C．当时，曲线C的渐近线方程为

D．当且时，曲线C的焦点坐标分别为和

12．已知函数是定义在R上的可导函数，对于任意的实数x，都有，当时，，若，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．若实数、满足约束条件，则的最大值是______.

14．已知A为抛物线上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则______.

15．已知正方形的边长为2，点P满足，则_________．

16．已知三棱锥的顶点都在球上，，，，平面平面，且，则球的体积为_______．

三、解答题

17．在中，，.求：

（Ⅰ）a的值；

（Ⅱ）和的面积．

18．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，.点在侧棱上，且.

（1）求证：平面；

（2）设为的中点，求直线与平面所成角的正弦.

19．2020年“双11”当天各大线上网站的消费额统计都创下新高，体现了中国在“新冠”疫情之后经济复苏的良好态势.某网站为了调查线上购物时“高消费用户”是否与性别有一定关系，随机调查200个“双11”当天在该网站消费的用户，得到了如下不完整的列联表;定义“双11”当天消费不高于10000元的用户为“非高消费用户”，消费10000元以上的用户为“高消费用户".

附：，

（1）将列联表填充完整，并判断是否有99%的把握认为线上购物时“高消费用户”与性别有关?

（2）若采用分层抽样的方法从随机调查的200个用户中抽出10个人，再随机抽4人，记高消费用户人数为X，求X的分布列和数学期望.

20．已知椭圆的左､右焦点分别为，，离心率为，且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程.

21．已知函数．

（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；

（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）设点的坐标为，直线与曲线相交于，两点，求的值．

23．已知函数.

（1）解不等式；

（2）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值.

参考答案

1．C

【分析】

本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．

【详解】

由题意得，，则

．故选C．

【点睛】

不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．

2．C

【分析】

根据复数的乘法运算以及复数表示的几何意义即可求解.

【详解】

解：因为复数i（2+i）=2i﹣1，

故复数对应的点的坐标为（﹣1，2），

故选：C.

【点睛】

本题考查了复数的乘法运算以及复数的几何意义，属于基础题.

3．C

【分析】

由渐近线的概念得，由可得结果.

【详解】

因为，所以C的离心率，

故选：C.

4．A

【分析】

计算直线平行等价于或，根据范围大小关系得到答案.

【详解】

直线与直线平行，则，或，

验证均不重合，满足.

故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】

本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.

5．C

【详解】

试题分析：∵直线（，）过点，∴．则，当且仅当时取等号．故答案为C．

考点：基本不等式.

6．B

【分析】

首先根据题意得到，再解方程组即可得到答案.

【详解】

，

所以.

故选：B

7．C

【详解】

试题分析：A：由，得，即，A不正确；

B：由及正弦函数的单调性，可知不一定成立；

C：由，，得，故，C正确；

D：由，得，但xy的值不一定大于1，故不一定成立，故选C.

【考点】函数性质

【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．

(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；

(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.

8．D

【分析】

首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.

【详解】

由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，

则其表面积为：.

故选：D.

【点睛】

(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．

(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．

9．A

【详解】

试题分析：由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A.

【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式

【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．

10．B

【分析】

根据，得到，然后求得导函数判断.

【详解】

因为，

所以，，

所以，周期是，

故选：B

11．C

【分析】

A. 当时，曲线方程为判断；B. 当时，曲线方程为判断；C.当时，曲线方程为判断；D. 当且时，曲线方程为，分，判断.

【详解】

A. 当时，曲线方程为，曲线C是一个圆，故正确；

B. 当时，曲线方程为，曲线C是一个椭圆，则，故正确；

C.当时，曲线方程为，曲线C是一个双曲线，则，曲线C的渐近线方程为，故错误；

D. 当且时，曲线方程为，当时，曲线C是一焦点在x轴上的椭圆，曲线C的焦点坐标分别为和，当时，曲线C是一焦点在x轴上的双曲线，曲线C的焦点坐标分别为和，故正确；

故选：C

12．B

【分析】

构造函数，根据题意，可得函数的奇偶性，根据时，对函数求导，可得函数的单调性，将，左右同乘，可得，即，利用的性质，即可求得答案.

【详解】

∵，∴，

令，则，即为偶函数，

当时，

∴，即函数在上单调递增.

根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知在上单调递减，

∵，

∴，

∴，即，

解得，，

故选：B.

【点睛】

解题的关键是将题干条件转化为，根据左右相同的形式，构造函数，再根据题意，求得函数的奇偶性，单调性；难点在于：由于，不符合函数的形式，需左右同乘，方可利用函数的性质求解，属中档题.

13．10

【分析】

画出可行域，向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.

【详解】

画出可行域如下图所示，向上平移基准直线到可行域边界处，由此求得目标函数的最大值为.

故答案为

【点睛】

本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的思想方法，属于基础题.

14．6

【分析】

根据点A到C的焦点的距离为12，由抛物线的定义得到，然后由点A到y轴的距离为9，得到求解.

【详解】

设抛物线的焦点为F，因为点A到C的焦点的距离为12，

所以由抛物线的定义知，

又因为点A到y轴的距离为9，

所以，

所以 ，

解得.

故答案为：6.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义，还考查了转化化归思想，属于基础题.

15．

【分析】

首先根据得到为的中点，再利用勾股定理求即可.

【详解】

因为，所以为的中点，

所以.

故答案为：

16．

【分析】

分别取AB，AC的中点，根据 又，得到分别为截面PAB，截面ABC外接圆的圆心，再由平面平面，得到 平面，从而为球心求解.

【详解】

如图所示：

分别取AB，AC的中点，

因为，，，

所以 又，

所以分别为截面PAB，截面ABC外接圆的圆心，

又 平面平面，,

所以平面，

所以为球心，

所以球的半径为，

所以球的体积为

故答案为：

17．（Ⅰ）8；（Ⅱ），.

【分析】

（Ⅰ）在中，根据，，利用余弦定理求解.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，再利用正弦定理求 ，然后由求面积．

【详解】

（Ⅰ）在中，，，

由余弦定理得：，

，

解得.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，

由正弦定理得：，

解得，

所以的面积是．

【点睛】

方法点睛：有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等．

18．（1）证明见解析；（2）.

【分析】

以点为坐标原点，以射线，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，（1）利用坐标运算可得，，证明⊥平面；（2）利用线面角的向量求法求解即可.

【详解】

（1）证明：以点为坐标原点，以射线，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，，

则，，

可得，，

所以，，

又因为，且平面，平面，

所以⊥平面.

（2）设与平面所成角为，

因为，，

由（1）知为平面的法向量，

所以

19．（1）列联表见解析，，有99%的把握认为线上购物时“高消费用户”与性别有关.

（2）分布列见解析，.

【分析】

（1）补全列联表，计算，即可得到答案.

（2）首先根据分层抽样得到高消费用户抽取人，非高消费用户抽取人，从而得到，分别计算其概率，从而得到分布列，再求数学期望即可.

【详解】

（1）

.

所以有99%的把握认为线上购物时“高消费用户”与性别有关.

（2）抽样比，

高消费用户抽取人，非高消费用户抽取人，

，

，，

，，

，

分布列：

.

20．（1）；（2）.

【分析】

（1）结合离心率和以及点在椭圆上，得到关于的方程组，由此求解出的值，则椭圆方程可求；

（2）分别考虑直线的斜率是否存在，当直线的斜率不存在时，直接验证是否成立并进行判断；当直线的斜率存在时，设出直线的方程，联立直线与椭圆方程得到对应的韦达定理形式，将已知条件转化为韦达定理有关的形式，从而代入计算出直线的斜率，则直线的方程可求.

【详解】

（1）因为，解得，所以椭圆方程为：.

（2）由（1）知､，设，，

当斜率不存在时，直线方程为，代入椭圆方程解得：，，

，不成立.

当斜率存在时，设直线方程为，联立椭圆方程，即，

化简得：，

由韦达定理得：，，

因为，

即，即，

将，代入上式得；

，化简得：，

解得，所以直线方程为：，即.

【点睛】

关键点点睛：解答本题第二问的关键在于利用坐标运算解决向量问题，借助韦达定理形式进行相关计算，通过联立直线与椭圆的方程，将题设条件转化为关于直线斜率的方程，达到求解直线方程的目的.

21．（Ⅰ），（Ⅱ）.

【分析】

（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；

（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.

【详解】

（Ⅰ）因为，所以，

设切点为，则，即，所以切点为，

由点斜式可得切线方程为：，即.

（Ⅱ）显然，

因为在点处的切线方程为：，

令，得，令，得，

所以，

不妨设时，结果一样，

则，

所以

，

由，得，由，得，

所以在上递减，在上递增，

所以时，取得极小值，

也是最小值为.

【点睛】

本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.

22．（1）； （2）

【分析】

(1) 由得，把，代入上式即可.                                                                          (2) 将代入中,得 ，，，把， 代入上式即可.

【详解】

解：（1）曲线，即，

由于，，

所以，即．

（2）将代入中，

得，

，设两根分别为，，则

，，

∴，

．

所以．

【点睛】

考查把极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线方程中的几何意义求与两根之和、之积有关的式子的值，中档题.

23．（1）.（2）.

【分析】

（1）由题意结合函数的解析式零点分段可得不等式的解集为或.

（2）由题意结合(1)中函数的解析式可得，结合柯西不等式的结论可得的最小值为.

【详解】

（1），

所以等价于或或，

解得或，所以不等式的解集为或.

（2）由（1）可知，当时，取得最小值，

所以，即，

由柯西不等式，

整理得，当且仅当时，

即时等号成立，

所以的最小值为.

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.