宁夏长庆高级中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理）试卷（含答案）

宁夏长庆高级中学2020-2021学年第二学期高二年级

期末数学（理科）试卷

满分：150分   考试时间：120分钟    命题人：

卷Ⅰ

一、选择题（共12题，每题5分，共60分，均为单选题，将选项填涂在答题卡相应位置）

1. 用辗转相除法求得168与486的最大公约数(　　)

A  3     B   4     C  6      D  16

2.不等式的解集是 （    ）

A．或    B．

C．或    D．

3.将曲线y＝sin 2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为(　　)

A．y＝3sin x　　　　　　 B．y＝3sin 2x

C．y＝3sin x  D．y＝sin 2x

4．观察如图所示的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量x，y之间有关系的是(　　)

A．     B．

C．     D．

5．曲线的参数方程是(t为参数，t≠0)，它的普通方程是(　　)

A．(x－1)2(y－1)＝1

B．y＝

C．y＝－1

D．y＝＋1

6. 下列四个命题：①在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定；②若变量x，y满足关系，且变量y与z正相关，则x与z也正相关；③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；④以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，．

其中真命题的个数为（    ）

A．1个     B．2个      C．3个 D．4个

直接利用回归直线的方程的应用，相关的变量关系的应用，残差图的应用分析结果．

详解：下列四个命题：

①在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定；根据回归模型中的变量关系，正确．

②若变量x，y满足关系，且变量y与z正相关，则x与z也正相关；应该是负相关．故错误．

③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；即越接近于回归直线的距离越小，故正确．

④以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，．故正确．

7.通过随机询问110名不同的我校学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

经计算的观测值.  参照附表，得到的正确结论是

附表：

A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

8..程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为91，39，则输出的（   ）

A. 11    B. 12    C. 13    D. 14

9．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l被圆C截得的弦长为(　　)

A.  B．2

C.  D．2

10.对于实数，若，则的最大值为（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

11.中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡，即七个等距的同心圆.七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，.设内一衡直径为，衡间距为，则次二衡直径为，次三衡直径为，…，执行如下程序框图，则输出的中最大的一个数为（  ）

A． B． C． D．

12. 函数的定义域为,若存在非零实数，使得对于任意有且，则称为上的度低调函数.已知定义域为的函数，且为上的度低调函数，那么实数的取值范围是（ ）

A．    B．    C．    D．

卷Ⅱ

二、填空题（共4题，每题5分，共20分，将答案作答在答题卡相应位置）

13. 把二进制数110 011化为十进制数为         ；

14.下面程序的运行结果是_____．

根据程序语句列出循环的每一步，可得出输出结果.

15、直线y＝x＋b与曲线有两个不同的交点，则实数b的取值范围是________．

16.中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造. 算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，用算筹表示数1～9的方法如图:例如：163可表示为“”，27可表示为“”.现有6根算筹，用来表示不能被10整除的两位数，算筹必须用完，则这样的两位数的个数为_________.

三、解答题（共6题，17题10分，18-22题每题12分，共70分，将答案作答在答题卡相应位置）

17.（本题10分）．在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C，半径R＝，求圆C的极坐标方程．

18.（本题12分）不等式2＜|2x＋3|≤4的解集为(　　)

19.（本题12分）在印度“新冠疫情"的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种新冠疫情疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：

附：

根据上表，有多大的把握认为“小动物是否感染与服用疫苗有关”.

20.（本题12分）已知函数.

（1）求不等式的解集；

若不等式解集非空，求实数的取值范围.

 21.（本题12分）2021年，宁夏银川市经历了59年来沙尘天气最多的一个月．经气象局统计，银川市从3月1日至3月30日的30天里有26天出现沙尘天气，《环境空气质量指数(AQI)技术规定(试行)》将空气质量指数分为六级，其中，中度污染(四级)指数为151～200；重度污染(五级)指数为201～300；严重污染(六级)指数大于300.下面表1是某观测点记录的4天里AQI指数M与当天的空气水平可见度y(千米)的情况，表2是某气象观测点记录的银川3月1日到3月30日AQI指数频数的统计结果．

表1

表2

(1)设变量x＝，根据表1的数据，求出y关于x的线性回归方程；

(2)根据表2估计这30天AQI指数的平均值．

22.在极坐标系中，点M坐标是，曲线C的方程为ρ＝2sin，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是－1的直线l经过点M.

(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)求证：直线l和曲线C相交于两点A，B，并求|MA|·|MB|的值．

1.

【答案】c

2.

【答案】B

3.

解析：选A.

4．

答案D

5．

解析：由x＝1－，得t＝，代入y＝1－t2，

得y＝1－＝.

答案：B

 6.

答案C

直接利用回归直线的方程的应用，相关的变量关系的应用，残差图的应用分析结果．

详解：下列四个命题：

①在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定；根据回归模型中的变量关系，正确．

②若变量x，y满足关系，且变量y与z正相关，则x与z也正相关；应该是负相关．故错误．

③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；即越接近于回归直线的距离越小，故正确．

④以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，．故正确．

故选：C．

7.

答案A

详解

，

则有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”.

8.

答案C执行循环得：

结束循环，输出选C.
 

A. 11    B. 12    C. 13    D. 14

9．

解析：选D.由题意得，直线l的普通方程为y＝x－4，圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心到直线l的距离d＝＝，直线l被圆C截得的弦长为2＝2.

10.

【答案】D

【解析】∵|x−2y+1|=|(x−1)−2(y−1)|⩽|x−1|+2|y−1|⩽|x−1|+2|y−1|

再由|x−1|⩽2，|y−1|⩽2可得|x−1|+2|y−1|⩽2+2×2=6，

故|x−2y+1|的最大值为6，

故答案为：6.故选D.

11.

答案D

由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出的值，结合等差数列的通项公式可得，由均值不等式的结论即可确定输出的中最大的一个数.

详解

由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出的值，

由等差数列通项公式有：，且易知恒成立，则：

，

当且仅当，即时等号成立.

综上可得，输出的中最大的一个数为.

本题选择D选项.

12.

【答案】D

【解析】试题分析：由题意得， 对任意都成立.当时， 恒成立；当时，结合图象可知，要对任意都成立，只需时成立即可，即.选D.

卷Ⅱ

二、填空题（共4题，每题5分，共20分，将答案作答在答题卡相应位置）

13.

答案51

14.

解

根据程序语句，成立，执行第一次循环，，；

成立，执行第二次循环，，；

成立，执行第三次循环，，；

不成立，跳出循环体，输出的值为.

故答案为：.

15、

解析：曲线的普通方程为x2＋y2＝1(x≥0)，它表示以原点为圆心，以1为半径，位于y轴右侧的半圆，作直线y＝x＋b，如图，当直线过点A(0，－1)时，b＝－1，当直线在下方与半圆相切时，b＝－，所以实数b的取值范围是(－，－1]．

答案：(－，－1]

16.

答案16

根据算筹计数法，需要对不能被10整除的两位数进行分类讨论。可采用列举法写出具体个数

详解

根据算筹计数法中的技术特点，可分为：

“1”作十位数：另外五根算筹有两种组合方式，分别为15、19

“2”作十位数：另外四根算筹有两种组合方式，分别为24、28

“3”作十位数：另外三根算筹有两种组合方式，分别为33、37

“4”作十位数：另外两根算筹有两种组合方式，分别为42、46

“5”作十位数：另外一根算筹有两种组合方式，分别为51

“6”作十位数：另外四根算筹有两种组合方式，分别为64、68

“7”作十位数：另外三根算筹有两种组合方式，分别为73、77

“8”作十位数：另外两根算筹有两种组合方式，分别为82、86

“9”作十位数：另外一根算筹有两种组合方式，分别为91

所以这样的两位数的个数共有16个

16.

17.

解：法一：设P(ρ，θ)是圆上的任意一点，

则PC＝R＝.

由余弦定理，得ρ2＋22－2×2×ρcos(θ－)＝5.

化简，得ρ2－4ρcos(θ－)－1＝0，此即为所求的圆C的方程．

法二：将圆心C化成直角坐标为(1，)，半径R＝，

故圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2＝5.

再将C化成极坐标方程，

得(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－)2＝5.

化简，得ρ2－4ρcos(θ－)－1＝0，此即为所求的圆C的方程．

18.【详解】

由2＜|2x＋3|≤4，可得2＜2x＋3≤4或－4≤2x＋3＜－2.

解得－＜x≤或－≤x＜－.

19.

答案95%

先由题中数据求出，再由临界值表，即可得出结果.

详解

由题中数据可得：

，

根据临界值表可得：犯错误的概率不超过0.05.

即有95%的把握认为“小动物是否感染与服用疫苗有关”.

故答案为95%

20.

【答案】（1） （2）

试题解析：解：（Ⅰ）由可化为：

或或

解得： 或或，所以，不等式解集为.    

（Ⅱ）因为

所以，即的最小值为，

要不等式解集非空，需，

从而，解得或，

所以的取值范围为.

 21.

答案(1)＝－1.05x＋10.25；（2）500.

先由表2知AQI指数的频率，再利用平均数公式估计这30天AQI指数的平均值.

详解

(1)由x＝及图表，可得x1＝9，x2＝7，x3＝3，x4＝1，

所以＝×(9＋7＋3＋1)＝5，＝×(0.5＋3.5＋6.5＋9.5)＝5，

由公式计算得＝－1.05，所以＝5－5×(－1.05)＝10.25，

所以y关于x的线性回归方程是＝－1.05x＋10.25.

(2)由表2知AQI指数的频率分别为＝0.1，＝0.2，＝0.4，＝0.2，＝0.1，

故这30天AQI指数的平均值为100×0.1＋300×0.2＋500×0.4＋700×0.2＋900×0.1＝500.

22.

解：(1)∵点M的直角坐标是(0,3)，直线l倾斜角是135°，

∴直线l的参数方程是即

ρ＝2sin， 即ρ＝2(sin θ＋cos  θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin  θ＋ρcos  θ)，

∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0.

(2)证明：代入x2＋y2－2x－2y＝0，得t2＋3t＋3＝0，

 ∵Δ＝6>0，直线l和曲线C相交于两点A，B，

设t2＋3t＋3＝0的两个根是t1，t2，∴t1t2＝3，

∴|MA|·|MB|＝|t1t2|＝3.