中考冲刺-数学-第3课 因式分解

这是一份中考冲刺-数学-第3课 因式分解，共16页。PPT课件主要包含了第3课因式分解，考点跟踪训练等内容，欢迎下载使用。

要点梳理1．因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做因式分解．因式分解与整式的乘法是互逆运算．2．基本方法： (1)提取公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a+b+c)．(2)公式法：运用平方差公式：a2－b2＝(a+b)(a-b)；运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2．3．因式分解的一般步骤：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式来分解；(3)分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这些统称分解彻底；(4)注意因式分解中的范围，如x4－4＝(x2＋2)(x2－2)，在实数范围内分解因式，x4－4＝(x2＋2)(x＋ )(x－ )，题目不作说明的，表明是在有理数范围内因式分解．
分解彻底作为结果的代数式的最后运算必须是乘法；要分解到每个因式都不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，并且同类项合并完毕，若有重因式应写成幂的形式．这些，统称分解彻底．思考步骤多项式的因式分解有许多方法，但对于一个具体的多项式，有些方法是根本不适用的．因此，拿过一道题目，先试试这个方法，再试试那个办法．解题时思考程序建议如下：(1)提取公因式；(2)看几项；(3)分解彻底．在分解出的每个因式化简整理后，把它作为一个新的多项式，再重复以上程序进行思考，试探分解的可能性，直至不可能分解为止．变形技巧 当n为奇数时，(a－b)n＝－(b－a)n；当n为偶数时，(a－b)n＝(b－a)n.
温馨提醒：请同学们在课前完成客观题训练考点巩固测试1.下列式子变形是因式分解的是 (　　)A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6 B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6 D．x2－5x＋6＝(x＋2)(x＋3)解析　A. x2－5x＋6＝x(x－5)＋6右边不是整式积的形式，故不是分解因式，本选项错误；B. x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)是整式积的形式，故是分解因式，本选项正确；C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6是整式的乘法，故不是分解因式，本选项错误；D. x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)，本选项错误．
感悟提高因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式的恒等变形，若结果不是积的形式，则不是因式分解．变式训练　1　(2013·包头) 如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是___________________．解析　根据题意得：图1中阴影部分的面积为a2－b2； 图2中阴影部分的面积为(a＋b)(a－b)．∵两图形阴影面积相等，∴可以得到的结论是a2－b2＝(a＋b)(a－b)
2.(2013·遂宁) 阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：(1)am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n)；(2)x2－y2－2y－1＝x2－(y2＋2y＋1)＝x2－(y＋1)2＝(x＋y＋1)(x－y－1)．试用上述方法分解因式a2＋2ab＋ac＋bc＋b2＝_____________．解析　原式＝(a2＋2ab＋b2)＋(ac＋bc)＝(a＋b)2＋c(a＋b)＝(a＋b)(a＋b＋c)．
(a＋b)(a＋b＋c)
感悟提高(1)当某项正好为公因式时，提取公因式后，该项应为1，不可漏掉；(2)首项系数为负数时，一般公因式的系数取负数，使括号内首项系数为正；(3)公因式也可以是多项式．变式训练2　(1)把多项式(m＋1)(m－1)＋(m－1)提公因式(m－1)后，余下的部分是 (　　)A．m＋1 B．2m C．2 D．m＋2解析　提取公因式后，前项余下m＋1，后项余下1，(m＋1)＋1＝m＋2.(2)分解因式：(x＋y)2－3(x＋y)解　(x＋y)2－3(x＋y)＝(x＋y)(x＋y－3)
3.　(1)(2012·丽水) 下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是 (　　)A. x2＋1 B. x2＋2x－1 C. x2＋x＋1 D. x2＋4x＋4解析　根据完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2可得，选项A、B、C都不能用完全平方公式进行分解因式，只有x2＋4x＋4＝(x＋2)2.故选D.(2)分解以下各多项式：①9x2－16y2；＝(3x)2－(4y)2＝(3x＋4y)(3x－4y)②(x－1)2－9；＝(3x)2－(4y)2＝(3x＋4y)(3x－4y)③16x4－72x2y2＋81y4.＝(4x2－9y2)2＝[(2x＋3y)(2x－3y)]2＝(2x＋3y)2(2x－3y)2
感悟提高(1)用平方差公式分解因式，其关键是将多项式转化为a2－b2的形式，需注意对所给多项式要善于观察，并作适当变形，使之符合平方差公式的特点，公式中的“a”“b”也可以是多项式，可将这个多项式看作一个整体，分解后注意合并同类项；(2)用完全平方公式分解因式时，其关键是掌握公式的特征．变式训练变式训练3　分解因式：(1)4a2－1；＝(2a＋1)(2a－1) (2)25(x＋y)2－9(x－y)2；＝[5(x＋y)＋3(x－y)][5(x＋y)－3(x－y)]＝(8x＋2y)(2x＋8y)＝4(4x＋y)(x＋4y)
(3)a2＋a＋1；＝＝ (4)x3－6x2＋9x.＝x(x2－6x＋9)＝x(x－3)2例4.　给出三个多项式： ，请你选择其中两个进行加法 运算，并把结果分解因式．解 ( x2＋x－1)＋( x2＋3x＋1)＝x2＋4x＝x(x＋4)；( x2＋x－1)＋( x2－x)＝x2－1＝(x＋1)(x－1)；( x2＋3x＋1)＋( x2－x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2.
感悟提高(1)具有一定的开放性；(2)灵活运用多种方法分解因式，其一般顺序是：首先提取公因式，然后再考虑用公式，最后结果一定要分解到不能再分解为止．变式训练4　(1)分解因式：a5－a解　a5－a＝a(a4－1)＝a(a2＋1)(a2－1)＝a(a2＋1)(a＋1)(a－1) (2)分解因式：(x＋2)(x＋4)＋x2－4解　(x＋2)(x＋4)＋x2－4＝x2＋6x＋8＋x2－4＝2x2＋6x＋4＝2(x2＋3x＋2)＝2(x＋1)(x＋2)
或(x＋2)(x＋4)＋x2－4＝(x＋2)(x＋4)＋(x＋2)(x－2)＝(x＋2)[(x＋4)＋(x－2)]＝(x＋2)(2x＋2)＝2(x＋2)(x＋1) (3)(2013·临沂)分解因式：a－6ab＋9ab2＝________．解析　a－6ab＋9ab2＝a(1－6b＋9b2)＝a(1－3b)2(4)在实数范围内分解因式：x4－4解　原式＝(x2＋2)(x2－2)＝(x2＋2)(x＋ )(x－ )
例5.(1)(2013·保山) 已知a＋b＝3, ab ＝2，则a2b＋ab2＝____解析　a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝2×3＝6.(2)已知a2＋b2＋6a－10b＋34＝0，求a＋b的值．解　∵a2＋b2＋6a－10b＋34＝0，∴(a2＋6a＋9)＋(b2－10b＋25)＝0，(a＋3)2＋(b－5)2＝0，∵(a＋3)3≥0，(b－5)2≥0，∴a＋3＝0且b－5＝0，∴a＝－3，b＝5，∴a＋b＝－3＋5＝2.（3)如果多项式2x3＋x2－26x＋k有一个因式是2x＋1，求k的值．解　∵2x＋1是2x3＋x2－26x＋k的因式，∴可设2x3＋x2－26x＋k＝(2x＋1)·R，令2x＋1＝0，x＝1/2 ，得－ ＋ ＋13＋k＝0，k＝－13.
感悟提高(1)利用因式分解，将多项式分解之后整体代入求值；(2)一个问题有两个未知数，只有一个条件，考虑到已知式右边等于0，若将左边转化成两个完全平方式的和，而它们都是非负数，要使和为0，则每个完全平方式都等于0，从而使问题得以求解；(3)逆向思维，推出多项式分解后的几个因式，采用系数求等的方法列方程组求解，或者利用恒等变形的性质，设2x＋1＝0，x＝－ 代入原式，可求得k.变式训练5　(1)(2012·苏州) 若a＝2，a＋b＝3，则a2＋ab＝________．解析　∵a＝2，a＋b＝3，∴a2＋ab＝a(a＋b)＝2×3＝6.(2)(2013·大庆) 已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a3＋ab2＋bc2＝b3＋a2b＋ac2，则△ABC的形状是 (　　)A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形解析　∵a3＋ab2＋bc2＝b3＋a2b＋ac2，∴a3－b3－a2b＋ab2－ac2＋bc2＝0，(a3－a2b)＋(ab2－b3)－(ac2－bc2)＝0，a2(a－b)＋b2(a－b)－c2(a－b)＝0，(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，∴a－b＝0或a2＋b2－c2＝0.∴a＝b或a2＋b2＝c2.故△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．