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2021年浙江省绍兴市中考第一次质检数学试题（word版 含答案）
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这是一份2021年浙江省绍兴市中考第一次质检数学试题（word版 含答案），共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年浙江省绍兴市中考第一次质检数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图是由5个相同的小正方体和1个圆锥组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．已知是锐角三角形，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
5．如图，这个圆锥的主（正）视图是一个边长为4的等边三角形，则这个圆锥的俯视图的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．由若干个相同的小立方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，俯视图的方格中的字母和数字表示该位置上小立方体的个数，则以下说法正确的是（ ）
A．x＝1或2，y＝3 B．x＝1或2，y＝1或3
C．x＝1，y＝1或3 D．x＝2，y＝1或3
8．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则（ ）．
A． B．3 C． D．2
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE＝（ ）
A． B． C． D．
10．已知在中，，是的中点，的延长线上的点满足．的内切圆与边，的切点分别为，，延长分别与，的延长线交于，，则（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
二、填空题
11．如图，有一个小山坡，坡比．已知小山坡的水平距离，则小山坡的高度是______．
12．圆的直径是，如果圆心与直线的距离是，那么该直线和圆的位置关系是_____．
13．如图1，一个圆球放置在形架中，图2是它的平面示意图，和都是的切线，切点分别是，若的半径为，且，则______．
14．同一平面内有，，三点，，两点之间的距离为，点到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点有______个．
15．如图，在中，交，于点，，与的内切圆相切．若的周长为12，则的最大值为______．
16．如图，直线：与轴交于点，与轴交于点，以为直径的交于另一点，把弧沿直线翻转后与交于点．
（1）当时，______；
（2）若翻转后所得的弧与相切，则此时的值为______．
三、解答题
17．计算：．
18．如图，已知圆柱底面的直径，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈长度最短的金属丝．
（1）现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
A.；B.；C.；D.
（2）求该长度最短的金属丝的长．
19．如图，以的边为直径的交边于点，为的中点，于点．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线．
20．某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为53°．如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是0.98米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，sin53°≈0.8，cos53°＝0.6，cot53°≈0.75，．）
21．如图，在的正方形网格中，有部分网格线被擦去．点，，在格点（正方形网格的交点）上．
（1）请用无刻度的直尺在图1中找到三角形的外心；
（2）请用无刻度的直尺在图2中找到三角形的内心．
22．如图，中，为的内心，为上一点，过两点的⊙交于点，．
（1）求线段的长；
（2）求线段的长．
23．定义：我们把圆心在的边上，与的一边相切，且经过的一个顶点（非切点）的圆叫做的伴切圆．
（1）已知在中，，，是的伴切圆，且点在上，求的长；
（2）在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，半径为3的是的伴切圆且圆心在上，直接写出所有满足条件的的值．
24．如图，的半径是3，点是上一点，弦垂直平分线段，点是上的任意一点（不与，重合），于点，以为圆心，为半径作，分别过，两点作的切线，切点分别为，，两切线交于点．
（1）求弦的长；
（2）求的大小；
（3）设的面积为，若，求的半径．
参考答案
1．C
【分析】
从正面看所得到的图形即为主视图，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】
解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形，右边是一个三角形．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
2．A
【分析】
先根据正弦函数的定义和题意列出sin=，然后计算即可．
【详解】
解：∵在中，，，
∴sin=，即AB=．
故选A．
【点睛】
本题考查了正弦函数的定义，根据正弦函数的定义正确列式成为解答本题的关键．
3．B
【分析】
大边对大角，可得∠C＞∠B，当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；依此即可求解．
【详解】
解：△ABC是锐角三角形，若AB＞AC，
则∠C＞∠B，
则sinB＜sinC．
故选：B．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
4．D
【分析】
根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
B、∵∠B﹣∠C＝∠A，
∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
C、∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，
∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
【点睛】
本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键．
5．A
【分析】
易知圆锥的俯视图是一个带圆心的圆，由主（正）视图是边长为4的等边三角形，可知此圆锥的底面半径长，进而可得圆锥的俯视图的面积．
【详解】
解：易知圆锥的俯视图是一个带圆心的圆，由圆锥的主（正）视图是一个边长为4的等边三角形可知，该圆半径为2，故该圆的面积为=．
故选：A．
【点睛】
本题考查简单几何体的三视图，注重培养学生空间想象的能力，体现了直观想象和数学运算的核心素养．
6．C
【分析】
将图形标记各点,即可从图中看出长度关系证明A正确,再由构造的直角三角形和30°特殊角证明B正确,利用勾股定理求出r和R,即可判断C、D．
【详解】
如图所示,标上各点，AO为R，OB为r，AB为h，
从图象可以得出AB=AO+OB，即，A正确；
∵三角形为等边三角形，
∴∠CAO=30°，
根据垂径定理可知∠ACO=90°，
∴AO=2OC，即R=2r，B正确；
在Rt△ACO中，利用勾股定理可得：AO2=AC2+OC2，即，
由B中关系可得：，解得，则，
所以C错误，D正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查圆与正三角形的性质结合,关键在于巧妙利用半径和构建直角三角形．
7．A
【分析】
俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，结合主视图2列中的个数，分析其中的数字，从而求出x、y的值．
【详解】
解：由俯视图可知，该组合体有两行两列，
左边一列前一行有两个正方体，结合主视图可知左边一列最高叠2个正方体，故x＝1或2；
由主视图右边一列可知，右边一列最高可以叠3个正方体，故y＝3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了根据三视图判断几何体的构成及对几何体三种视图的空间想象能力．注意找到该几何体的主视图中每列小正方体最多的个数．
8．B
【分析】
设小正方形的边长为1，根据勾股定理可得AD、AC的值，进而可得△ADC是等腰直角三角形，进而可得AD⊥CD，根据相似三角形的判定和性质可得PC＝2DP，根据等量代换和线段和差可得AD＝CD＝3DP，继而即可求解．
【详解】
解析 设小正方形的边长为1，
由图形可知，，
是等腰直角三角形，
．
，
，
，
，
．
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定及其性质以及锐角三角函数．此题难度适中，注意转化思想与数形结合思想的应用．
9．D
【分析】
取BC的中点O，则O为圆心，连接OE，AO，AO与BE的交点是F，则易证AO⊥BE，△BOF∽△AOB，则sin∠CBE＝，求得OF的长即可求解．
【详解】
解：取BC的中点O，则O为圆心，连接OE，AO，AO与BE的交点是F，
∵AB，AE都为圆的切线，
∴AE＝AB，
∵OB＝OE，AO＝AO，
∴△ABO≌△AEO（SSS），
∴∠OAB＝∠OAE，
∴AO⊥BE，
在直角△AOB中，AO2＝OB2+AB2，
∵OB＝1，AB＝3，
∴AO＝，
∵∠BFO＝∠ABO＝90°，∠BOF＝∠AOB，
∴△BOF∽△AOB，
∴BO：AO＝OF：OB，
∴1：＝OF：1，
∴OF＝，
∴sin∠CBE＝＝，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了切线长定理，三角形的相似，求角的三角函数值的问题常转化为求线段的比的问题．
10．B
【分析】
取△ACB的内切圆的圆心是O，连接OE、OF，得出正方形AEOF，求出AE=AF，推出∠AEF=∠AFE=∠CFQ，根据直角三角形斜边上中线性质求出AM=MC，推出∠MCA=∠MAC，根据∠BAC=∠MAG=∠MAN=90°，求出∠GAE=∠MAC=∠MCA，∠EAM=∠CAP，根据三角形的外角性质得出∠GAE=∠APE+∠AEP，∠MCA=∠Q+∠CFQ，求出∠Q=∠NPQ，推出PN=NQ即可．
【详解】
解：取△ACB的内切圆的圆心是O，连接OE、OF，作NA的延长线AG，
则OE⊥AB，OF⊥AC，OE=OF，
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEOF是正方形，
∴AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠BAC=90°，M为斜边BC上中线，
∴AM=CM=BM，
∴∠MAC=∠MCA，
∵∠BAC=90°，AN⊥AM，
∴∠BAC=∠MAG=∠MAN=90°，
∴∠GAE+∠EAM=90°，∠EAM+∠MAC=90°，∠MAC+∠CAN=90°，
∴∠GAE=∠MAC=∠MCA，∠EAM=∠CAP，
∵∠GAE=∠APE+∠AEP，∠MCA=∠Q+∠CFQ，
∵∠AEF=∠AFE=∠CFQ，∠EPA=∠NPQ，
∴∠Q=∠NPQ，
∴PN=QN，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形内切圆与内心、直角三角形斜边上中线性质、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角性质、对顶角相等等，题目综合性比较强，有一定的难度．
11．
【分析】
根据坡比的定义直接列比例式求解即可．
【详解】
解：∵坡比，，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是理解坡比的意义，准确列出比例式．
12．相离
【分析】
根据题意，解出圆的半径长，再与圆心到直线的距离作比较，即可解题．
【详解】
圆的直径是，
圆的半径是，
，
该直线和圆的位置关系是相离，
故答案为：相离．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
13．60°
【分析】
构建直角三角形，将数据转换到直角三角形中进行计算．连接OC，OA，那么，在Rt△OBD中,OB=2 ，可求sin∠BOD= ，得到∠BOD=60°，再求∠OCB=30°，则可求得∠ACB=60°．
【详解】
解：如图，连接OC，OA，交AB于点D，
∵CA、CB分别是⊙O的切线
∴CA=CB，
∵OA=OB，OC=OC
∴
∴，即OC平分∠ACB
∴OC⊥AB
∵AB=6
∴
在Rt△OBD中
∵OB=2 ，
∴sin∠BOD= ，
∴∠BOD=60°
∵B是切点
∴OB⊥BC
∴∠OCB=30°
∴∠ACB=60°．
故答案为：60°．
【点睛】
本题主要考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，通过构建直角三角形来求度数是比较常用的方法．
14．8
【分析】
该题存在两种情况；（1）AB为斜边，则；（2）AB为直角边，或；
【详解】
（1）当AB为斜边时，点到直线的距离为，即AB边上的高为，符合要求的C点有4个，如图：
（2）当AB为直角边时，或，符合条件的点有4个，如图；
符合要求的C点有8个；
故答案是8．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析判断是解题的关键．
15．
【分析】
由切线长性质可得BE＝BG，GC＝CF，ME＝MH，NF＝HN，设BC＝x，MN＝y，可得△AMN的周长＝12﹣2x，由相似三角形的性质可得y与x的函数解析式，再根据二次函数的性质可求最值．
【详解】
解：如图，设切点分别为E点，H点，F点，G点，
∵BC，AB，AC，MN都与△ABC内切圆相切，
∴BE＝BG，GC＝CF，ME＝MH，NF＝HN，
∴设BE+CF＝BG+GC＝BC＝x，ME+NF＝MH+NH＝MN＝y
∵△ABC周长为12
∴AB+AC+BC＝12
∴AE+AF＝12﹣2x，
∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+MH+AN+NF＝AE+AF＝12﹣2x，
∵MN∥BC
∴△AMN∽△ABC
∴，
∴，
∴y＝﹣x2+x=﹣（x-3）2+，
故的最大值为；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆和内心，切线长定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求出△AMN的周长，利用相似三角形的性质得出二次函数解析式是本题的关键．
16． －1
【分析】
（1）过点D作DC⊥OA于点C，根据圆周角与弧的关系可得∠DEO＝∠AOD，并推出OD＝DE，再利用等腰三角形的性质求出OC，最后根据相似三角形的判定与性质求得结果；
（2）根据翻转后所得的弧与相切，可得切点必为A，即E与A重合，结合（1）所得结论则OD＝AD，利用圆的性质证得∠OAD＝45°，可推出OB＝OA＝6，B（6，0），最后将点B的坐标代入即可求解．
【详解】
解：（1）如图所示，过点D作DC⊥OA于点C，
由翻折性质得：，
∵∠DEO＝∠EAD＋∠ADE＝的度数，
∠AOD＝的度数，
∴∠DEO＝∠AOD，
∴OD＝DE，
∵DC⊥OA，OE＝2，
∴∠OCD＝90°，OC＝OE＝1，
∵为的直径，
∴∠ADO＝90°，
∵直线：与轴交于点，
∴A（0,6），
∴OA＝6，
∵∠ADO＝∠OCD＝90°，∠AOD＝∠AOD
∴△ADO∽△DCO，
∴，
即，
解得OD＝，
即DE＝．
故答案为：；
（2）∵翻转后所得的弧与相切，则切点必为A，即E与A重合，如图，
由（1）知OD＝DE＝AD．
∵∠ADO＝90°，
∴∠OAD＝45°，
∴OB＝OA＝6，
∴B（6，0），
将B（6，0）代入得：，
∴k＝−1．
故答案为：−1．
【点睛】
本题考查了圆在坐标系的变换情况，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．
17．
【分析】
先计算三角函数值、0指数、负指数，再加减即可．
【详解】
解：原式，
；
【点睛】
本题考查了实数计算，包括三角函数值、0指数、负指数，解题关键是熟记三角函数值，熟练进行0指数、负指数计算．
18．（1）A；（2）
【分析】
（1）因圆柱的展开面为长方形，AC展开应该是两线段，且有公共点C，根据立体图形的表面展开图这个特点即可解题；
（2）侧面展开后，两点之间的距离为，，两点之间的距离，利用勾股定理可得，长度最短的金属丝的长=，即可得到答案．
【详解】
解：（1）因圆柱的展开面为长方形，AC展开应该是两线段，且有公共点C，A选项符合要求．
故选A．
（2）如图：
侧面展开后，两点之间的距离为，
，两点之间的距离为，
该长度最短的金属丝的长=
所以该长度最短的金属丝的长为．
【点睛】
此题主要考查圆柱的展开图、圆的周长、勾股定理，解答此题的关键是正确掌握圆柱体的展开图．
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
(1)连结,由圆周角定理可得出，则，由中垂线的性质得出结论；
(2) 连结，再证明即可．
【详解】
证明：（1）如图所示，连结,
∵是的直径，
∴，
∴．
又∵为的中点，
∴，
∴．
（2）如图所示，连结，
∵，，
∴是的中位线，
∴,
∵，
∴,
又∵点在上，即为的半径，
∴是的切线．
【点睛】
本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
20．
【分析】
延长BC交AD于点E，构造直角△ABE和矩形EDNC，设AE=x米，通过解直角三角形分别求出BE、CE的长度，继而求出BC，进而可得关于x的方程，解方程求得x，即AE，继而即可求解．
【详解】
解：延长BC交AD于点E，
∵BM＝CN且CN⊥DM，BM⊥DM
∴BM∥CN，
∴四边形BCNM是平行四边形，
∵∠CNM＝∠BMN＝90°
∴四边形BCNM是矩形，
同理：四边形CEDN是矩形，
∴DE＝CN＝BM＝1.6米
∠AEC＝90°
∵BC＝MN，
设AE=x米，
∵tan53°＝，tan30°＝，
∴CE＝≈0.75x，≈1.73x，
∴BC＝BE－CE＝1.73x－0.75x＝0.98x，
又MN＝0.98，
∴0.98x＝0.98，
∴x＝1，
即AE＝1米
∵DE＝CN＝BM＝1.6米
∴AE＋DE＝1+1.6＝2.6米
答：测温门顶部A处距地面的高度约为2.6米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，涉及到矩形的判定及其性质解题的关键是做辅助线构造直角三角形并解直角三角形．
21．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）作以AC为对角线的平行四边形的另一条对角线，其余AC的交点即为所求；
（2）分别作出∠BAC和∠ABC的角平分线，其交点即为所求．
【详解】
解：（1）如图，点即为所求；
（2）如图，点即为所求．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内心和外心、等腰三角形的性质以及平行四边形的性质等知识点，灵活运用等腰三角形的性质和平行四边形的性质成为解答本题的关键．
22．（1）BD＝ ；（2）BC＝
【分析】
（1）连接CI并延长交AB于E，由I是△ABC的内心，得到CI平分∠ACB，根据三线合一得到CE垂直平分AB，由相似三角形的性质得到比例式解出结果．
（2）根据三角形的内心的性质得到BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，利用三角形的内角和得到∠IBC＝∠CID，证得△BIC∽△IDC，得到比例式＝，求出结果．
【详解】
解：（1）如图连接CI并延长交AB于E，连接ID，
∵I是△ABC的内心，
∴CI平分∠ACB，
∵AC＝BC，
∴CE垂直平分AB，
∴BE＝AB＝3，∠ABI＝∠CBI，
∵tan∠CBI＝ ，
∴＝ ，
∴IE＝1，
BI＝＝，
∵∠BEI＝∠BID，∠EBI＝∠IBD，
∴△BEI∽△BID，
∴＝，
∴BD＝；
（2）∵BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠BIC＝90∠A＝90＝90°+∠IBC，
∴∠IBC＝∠BIC﹣90°，
∵∠CID＝∠BIC﹣90°，
∴∠IBC＝∠CID，
∵∠ICD＝∠ICD，
∴△BIC∽△IDC，
∴＝，
∵CI＝CE﹣IE＝﹣1，
∴BC＝3（﹣1），
解得：BC＝．
．
【点睛】
本题考查了三角形的内心，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，连接CI并延长交AB于E，利用三线合一是解题的关键．
23．（1）或；（2）或
【分析】
（1）分类讨论①当与相切时，经过点A，过点作于点，点A作于点D．利用勾股定理可求出．又易证，即．根据题意可知，，即，解出PC即可；②当与相切时，经过点，过点作于点M，点C作于点N．同理可证，即．由三角形面积公式可求出．再根据题意可知 ，，即得出，解出PC即可．
（2）分类讨论①当经过点，与OA相切时，设直线与轴交于点．由题意可知，QB=3．再在中，利用勾股定理可求出．即得出B点坐标，代入一次函数解析式即可求出b的值．②当经过点A，与相切时，设直线与轴交于点．由题意可知，同理可求出，即，即得出A点坐标，代入一次函数解析式即可求出b的值．
【详解】
解：（1）分两种情况讨论：①如图，当与相切时，经过点A，过点作于点，点A作于点D．
∵，，．
∴．
∴在中，．
在和中，
∴．
∴．
∵，，
∴，
∴；
②如图,当与相切时，经过点，过点作于点M，点C作于点N．
同理可证，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
∵，由题意，得，
∴，即，
∴．
综上，PC的长为或．
（2）分两种情况讨论：①如图，当经过点，与OA相切时，设直线与轴交于点，
由得，，
在中，．
又根据题意可知QB=3．
∴，解得．
∴，即．
将B点坐标代入中，得；
②如图，当经过点A，与相切时，设直线与轴交于点，
由得，，
同理在中，利用勾股定理可求出，
∴，
∴，即
将A点坐标代入中，得，
解得：．
综上，b的值为或．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理以及一次函数的图象和性质，综合性强，较难．根据题意理解伴切圆的定义，且画出符合题意的几何图形以及利用分类讨论的思想是解答本题的关键．
24．（1）；（2）60°；（3）1
【分析】
（1）连结，记与的交点为，则有．由弦垂直平分线段，可得，．在中求得，即可得；
（2）连结，，，由（1）得，，即可得，所以，．由题意，得点为的内心，可得，．再由，即可得．
（3）连结，，，设的周长为，的半径为，则有，，，所以．又因，是的切线，可得，在直角中，，求得．已知，可得，解之即可得的半径．
【详解】
（1）如图，连结，记与的交点为，则有．
∵弦垂直平分线段，
∴，．
在中，
∵，
∴．
（2）如图，连结，，，
由（1）得，，∴，
∴，∴．
∵由题意，得点为的内心，
∴，．
∵，
∴，
∴．
（3）如图，连结，，ME，设的周长为，的半径为，
则有，，，
∴．
∵，是的切线，
∴，
∴在直角中，，
∴．
∵，
∴，
∴，或（舍去），
∴的半径是1．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识，熟练运用相关知识是解决问题的关键．
2021年浙江省绍兴市中考第一次质检数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图是由5个相同的小正方体和1个圆锥组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．已知是锐角三角形，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
5．如图，这个圆锥的主（正）视图是一个边长为4的等边三角形，则这个圆锥的俯视图的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．由若干个相同的小立方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，俯视图的方格中的字母和数字表示该位置上小立方体的个数，则以下说法正确的是（ ）
A．x＝1或2，y＝3 B．x＝1或2，y＝1或3
C．x＝1，y＝1或3 D．x＝2，y＝1或3
8．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则（ ）．
A． B．3 C． D．2
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE＝（ ）
A． B． C． D．
10．已知在中，，是的中点，的延长线上的点满足．的内切圆与边，的切点分别为，，延长分别与，的延长线交于，，则（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
二、填空题
11．如图，有一个小山坡，坡比．已知小山坡的水平距离，则小山坡的高度是______．
12．圆的直径是，如果圆心与直线的距离是，那么该直线和圆的位置关系是_____．
13．如图1，一个圆球放置在形架中，图2是它的平面示意图，和都是的切线，切点分别是，若的半径为，且，则______．
14．同一平面内有，，三点，，两点之间的距离为，点到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点有______个．
15．如图，在中，交，于点，，与的内切圆相切．若的周长为12，则的最大值为______．
16．如图，直线：与轴交于点，与轴交于点，以为直径的交于另一点，把弧沿直线翻转后与交于点．
（1）当时，______；
（2）若翻转后所得的弧与相切，则此时的值为______．
三、解答题
17．计算：．
18．如图，已知圆柱底面的直径，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈长度最短的金属丝．
（1）现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
A.；B.；C.；D.
（2）求该长度最短的金属丝的长．
19．如图，以的边为直径的交边于点，为的中点，于点．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线．
20．某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为53°．如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是0.98米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，sin53°≈0.8，cos53°＝0.6，cot53°≈0.75，．）
21．如图，在的正方形网格中，有部分网格线被擦去．点，，在格点（正方形网格的交点）上．
（1）请用无刻度的直尺在图1中找到三角形的外心；
（2）请用无刻度的直尺在图2中找到三角形的内心．
22．如图，中，为的内心，为上一点，过两点的⊙交于点，．
（1）求线段的长；
（2）求线段的长．
23．定义：我们把圆心在的边上，与的一边相切，且经过的一个顶点（非切点）的圆叫做的伴切圆．
（1）已知在中，，，是的伴切圆，且点在上，求的长；
（2）在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，半径为3的是的伴切圆且圆心在上，直接写出所有满足条件的的值．
24．如图，的半径是3，点是上一点，弦垂直平分线段，点是上的任意一点（不与，重合），于点，以为圆心，为半径作，分别过，两点作的切线，切点分别为，，两切线交于点．
（1）求弦的长；
（2）求的大小；
（3）设的面积为，若，求的半径．
参考答案
1．C
【分析】
从正面看所得到的图形即为主视图，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】
解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形，右边是一个三角形．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
2．A
【分析】
先根据正弦函数的定义和题意列出sin=，然后计算即可．
【详解】
解：∵在中，，，
∴sin=，即AB=．
故选A．
【点睛】
本题考查了正弦函数的定义，根据正弦函数的定义正确列式成为解答本题的关键．
3．B
【分析】
大边对大角，可得∠C＞∠B，当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；依此即可求解．
【详解】
解：△ABC是锐角三角形，若AB＞AC，
则∠C＞∠B，
则sinB＜sinC．
故选：B．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
4．D
【分析】
根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
B、∵∠B﹣∠C＝∠A，
∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
C、∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，
∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
【点睛】
本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键．
5．A
【分析】
易知圆锥的俯视图是一个带圆心的圆，由主（正）视图是边长为4的等边三角形，可知此圆锥的底面半径长，进而可得圆锥的俯视图的面积．
【详解】
解：易知圆锥的俯视图是一个带圆心的圆，由圆锥的主（正）视图是一个边长为4的等边三角形可知，该圆半径为2，故该圆的面积为=．
故选：A．
【点睛】
本题考查简单几何体的三视图，注重培养学生空间想象的能力，体现了直观想象和数学运算的核心素养．
6．C
【分析】
将图形标记各点,即可从图中看出长度关系证明A正确,再由构造的直角三角形和30°特殊角证明B正确,利用勾股定理求出r和R,即可判断C、D．
【详解】
如图所示,标上各点，AO为R，OB为r，AB为h，
从图象可以得出AB=AO+OB，即，A正确；
∵三角形为等边三角形，
∴∠CAO=30°，
根据垂径定理可知∠ACO=90°，
∴AO=2OC，即R=2r，B正确；
在Rt△ACO中，利用勾股定理可得：AO2=AC2+OC2，即，
由B中关系可得：，解得，则，
所以C错误，D正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查圆与正三角形的性质结合,关键在于巧妙利用半径和构建直角三角形．
7．A
【分析】
俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，结合主视图2列中的个数，分析其中的数字，从而求出x、y的值．
【详解】
解：由俯视图可知，该组合体有两行两列，
左边一列前一行有两个正方体，结合主视图可知左边一列最高叠2个正方体，故x＝1或2；
由主视图右边一列可知，右边一列最高可以叠3个正方体，故y＝3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了根据三视图判断几何体的构成及对几何体三种视图的空间想象能力．注意找到该几何体的主视图中每列小正方体最多的个数．
8．B
【分析】
设小正方形的边长为1，根据勾股定理可得AD、AC的值，进而可得△ADC是等腰直角三角形，进而可得AD⊥CD，根据相似三角形的判定和性质可得PC＝2DP，根据等量代换和线段和差可得AD＝CD＝3DP，继而即可求解．
【详解】
解析 设小正方形的边长为1，
由图形可知，，
是等腰直角三角形，
．
，
，
，
，
．
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定及其性质以及锐角三角函数．此题难度适中，注意转化思想与数形结合思想的应用．
9．D
【分析】
取BC的中点O，则O为圆心，连接OE，AO，AO与BE的交点是F，则易证AO⊥BE，△BOF∽△AOB，则sin∠CBE＝，求得OF的长即可求解．
【详解】
解：取BC的中点O，则O为圆心，连接OE，AO，AO与BE的交点是F，
∵AB，AE都为圆的切线，
∴AE＝AB，
∵OB＝OE，AO＝AO，
∴△ABO≌△AEO（SSS），
∴∠OAB＝∠OAE，
∴AO⊥BE，
在直角△AOB中，AO2＝OB2+AB2，
∵OB＝1，AB＝3，
∴AO＝，
∵∠BFO＝∠ABO＝90°，∠BOF＝∠AOB，
∴△BOF∽△AOB，
∴BO：AO＝OF：OB，
∴1：＝OF：1，
∴OF＝，
∴sin∠CBE＝＝，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了切线长定理，三角形的相似，求角的三角函数值的问题常转化为求线段的比的问题．
10．B
【分析】
取△ACB的内切圆的圆心是O，连接OE、OF，得出正方形AEOF，求出AE=AF，推出∠AEF=∠AFE=∠CFQ，根据直角三角形斜边上中线性质求出AM=MC，推出∠MCA=∠MAC，根据∠BAC=∠MAG=∠MAN=90°，求出∠GAE=∠MAC=∠MCA，∠EAM=∠CAP，根据三角形的外角性质得出∠GAE=∠APE+∠AEP，∠MCA=∠Q+∠CFQ，求出∠Q=∠NPQ，推出PN=NQ即可．
【详解】
解：取△ACB的内切圆的圆心是O，连接OE、OF，作NA的延长线AG，
则OE⊥AB，OF⊥AC，OE=OF，
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEOF是正方形，
∴AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠BAC=90°，M为斜边BC上中线，
∴AM=CM=BM，
∴∠MAC=∠MCA，
∵∠BAC=90°，AN⊥AM，
∴∠BAC=∠MAG=∠MAN=90°，
∴∠GAE+∠EAM=90°，∠EAM+∠MAC=90°，∠MAC+∠CAN=90°，
∴∠GAE=∠MAC=∠MCA，∠EAM=∠CAP，
∵∠GAE=∠APE+∠AEP，∠MCA=∠Q+∠CFQ，
∵∠AEF=∠AFE=∠CFQ，∠EPA=∠NPQ，
∴∠Q=∠NPQ，
∴PN=QN，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形内切圆与内心、直角三角形斜边上中线性质、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角性质、对顶角相等等，题目综合性比较强，有一定的难度．
11．
【分析】
根据坡比的定义直接列比例式求解即可．
【详解】
解：∵坡比，，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是理解坡比的意义，准确列出比例式．
12．相离
【分析】
根据题意，解出圆的半径长，再与圆心到直线的距离作比较，即可解题．
【详解】
圆的直径是，
圆的半径是，
，
该直线和圆的位置关系是相离，
故答案为：相离．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
13．60°
【分析】
构建直角三角形，将数据转换到直角三角形中进行计算．连接OC，OA，那么，在Rt△OBD中,OB=2 ，可求sin∠BOD= ，得到∠BOD=60°，再求∠OCB=30°，则可求得∠ACB=60°．
【详解】
解：如图，连接OC，OA，交AB于点D，
∵CA、CB分别是⊙O的切线
∴CA=CB，
∵OA=OB，OC=OC
∴
∴，即OC平分∠ACB
∴OC⊥AB
∵AB=6
∴
在Rt△OBD中
∵OB=2 ，
∴sin∠BOD= ，
∴∠BOD=60°
∵B是切点
∴OB⊥BC
∴∠OCB=30°
∴∠ACB=60°．
故答案为：60°．
【点睛】
本题主要考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，通过构建直角三角形来求度数是比较常用的方法．
14．8
【分析】
该题存在两种情况；（1）AB为斜边，则；（2）AB为直角边，或；
【详解】
（1）当AB为斜边时，点到直线的距离为，即AB边上的高为，符合要求的C点有4个，如图：
（2）当AB为直角边时，或，符合条件的点有4个，如图；
符合要求的C点有8个；
故答案是8．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析判断是解题的关键．
15．
【分析】
由切线长性质可得BE＝BG，GC＝CF，ME＝MH，NF＝HN，设BC＝x，MN＝y，可得△AMN的周长＝12﹣2x，由相似三角形的性质可得y与x的函数解析式，再根据二次函数的性质可求最值．
【详解】
解：如图，设切点分别为E点，H点，F点，G点，
∵BC，AB，AC，MN都与△ABC内切圆相切，
∴BE＝BG，GC＝CF，ME＝MH，NF＝HN，
∴设BE+CF＝BG+GC＝BC＝x，ME+NF＝MH+NH＝MN＝y
∵△ABC周长为12
∴AB+AC+BC＝12
∴AE+AF＝12﹣2x，
∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+MH+AN+NF＝AE+AF＝12﹣2x，
∵MN∥BC
∴△AMN∽△ABC
∴，
∴，
∴y＝﹣x2+x=﹣（x-3）2+，
故的最大值为；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆和内心，切线长定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求出△AMN的周长，利用相似三角形的性质得出二次函数解析式是本题的关键．
16． －1
【分析】
（1）过点D作DC⊥OA于点C，根据圆周角与弧的关系可得∠DEO＝∠AOD，并推出OD＝DE，再利用等腰三角形的性质求出OC，最后根据相似三角形的判定与性质求得结果；
（2）根据翻转后所得的弧与相切，可得切点必为A，即E与A重合，结合（1）所得结论则OD＝AD，利用圆的性质证得∠OAD＝45°，可推出OB＝OA＝6，B（6，0），最后将点B的坐标代入即可求解．
【详解】
解：（1）如图所示，过点D作DC⊥OA于点C，
由翻折性质得：，
∵∠DEO＝∠EAD＋∠ADE＝的度数，
∠AOD＝的度数，
∴∠DEO＝∠AOD，
∴OD＝DE，
∵DC⊥OA，OE＝2，
∴∠OCD＝90°，OC＝OE＝1，
∵为的直径，
∴∠ADO＝90°，
∵直线：与轴交于点，
∴A（0,6），
∴OA＝6，
∵∠ADO＝∠OCD＝90°，∠AOD＝∠AOD
∴△ADO∽△DCO，
∴，
即，
解得OD＝，
即DE＝．
故答案为：；
（2）∵翻转后所得的弧与相切，则切点必为A，即E与A重合，如图，
由（1）知OD＝DE＝AD．
∵∠ADO＝90°，
∴∠OAD＝45°，
∴OB＝OA＝6，
∴B（6，0），
将B（6，0）代入得：，
∴k＝−1．
故答案为：−1．
【点睛】
本题考查了圆在坐标系的变换情况，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．
17．
【分析】
先计算三角函数值、0指数、负指数，再加减即可．
【详解】
解：原式，
；
【点睛】
本题考查了实数计算，包括三角函数值、0指数、负指数，解题关键是熟记三角函数值，熟练进行0指数、负指数计算．
18．（1）A；（2）
【分析】
（1）因圆柱的展开面为长方形，AC展开应该是两线段，且有公共点C，根据立体图形的表面展开图这个特点即可解题；
（2）侧面展开后，两点之间的距离为，，两点之间的距离，利用勾股定理可得，长度最短的金属丝的长=，即可得到答案．
【详解】
解：（1）因圆柱的展开面为长方形，AC展开应该是两线段，且有公共点C，A选项符合要求．
故选A．
（2）如图：
侧面展开后，两点之间的距离为，
，两点之间的距离为，
该长度最短的金属丝的长=
所以该长度最短的金属丝的长为．
【点睛】
此题主要考查圆柱的展开图、圆的周长、勾股定理，解答此题的关键是正确掌握圆柱体的展开图．
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
(1)连结,由圆周角定理可得出，则，由中垂线的性质得出结论；
(2) 连结，再证明即可．
【详解】
证明：（1）如图所示，连结,
∵是的直径，
∴，
∴．
又∵为的中点，
∴，
∴．
（2）如图所示，连结，
∵，，
∴是的中位线，
∴,
∵，
∴,
又∵点在上，即为的半径，
∴是的切线．
【点睛】
本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
20．
【分析】
延长BC交AD于点E，构造直角△ABE和矩形EDNC，设AE=x米，通过解直角三角形分别求出BE、CE的长度，继而求出BC，进而可得关于x的方程，解方程求得x，即AE，继而即可求解．
【详解】
解：延长BC交AD于点E，
∵BM＝CN且CN⊥DM，BM⊥DM
∴BM∥CN，
∴四边形BCNM是平行四边形，
∵∠CNM＝∠BMN＝90°
∴四边形BCNM是矩形，
同理：四边形CEDN是矩形，
∴DE＝CN＝BM＝1.6米
∠AEC＝90°
∵BC＝MN，
设AE=x米，
∵tan53°＝，tan30°＝，
∴CE＝≈0.75x，≈1.73x，
∴BC＝BE－CE＝1.73x－0.75x＝0.98x，
又MN＝0.98，
∴0.98x＝0.98，
∴x＝1，
即AE＝1米
∵DE＝CN＝BM＝1.6米
∴AE＋DE＝1+1.6＝2.6米
答：测温门顶部A处距地面的高度约为2.6米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，涉及到矩形的判定及其性质解题的关键是做辅助线构造直角三角形并解直角三角形．
21．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）作以AC为对角线的平行四边形的另一条对角线，其余AC的交点即为所求；
（2）分别作出∠BAC和∠ABC的角平分线，其交点即为所求．
【详解】
解：（1）如图，点即为所求；
（2）如图，点即为所求．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内心和外心、等腰三角形的性质以及平行四边形的性质等知识点，灵活运用等腰三角形的性质和平行四边形的性质成为解答本题的关键．
22．（1）BD＝ ；（2）BC＝
【分析】
（1）连接CI并延长交AB于E，由I是△ABC的内心，得到CI平分∠ACB，根据三线合一得到CE垂直平分AB，由相似三角形的性质得到比例式解出结果．
（2）根据三角形的内心的性质得到BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，利用三角形的内角和得到∠IBC＝∠CID，证得△BIC∽△IDC，得到比例式＝，求出结果．
【详解】
解：（1）如图连接CI并延长交AB于E，连接ID，
∵I是△ABC的内心，
∴CI平分∠ACB，
∵AC＝BC，
∴CE垂直平分AB，
∴BE＝AB＝3，∠ABI＝∠CBI，
∵tan∠CBI＝ ，
∴＝ ，
∴IE＝1，
BI＝＝，
∵∠BEI＝∠BID，∠EBI＝∠IBD，
∴△BEI∽△BID，
∴＝，
∴BD＝；
（2）∵BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠BIC＝90∠A＝90＝90°+∠IBC，
∴∠IBC＝∠BIC﹣90°，
∵∠CID＝∠BIC﹣90°，
∴∠IBC＝∠CID，
∵∠ICD＝∠ICD，
∴△BIC∽△IDC，
∴＝，
∵CI＝CE﹣IE＝﹣1，
∴BC＝3（﹣1），
解得：BC＝．
．
【点睛】
本题考查了三角形的内心，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，连接CI并延长交AB于E，利用三线合一是解题的关键．
23．（1）或；（2）或
【分析】
（1）分类讨论①当与相切时，经过点A，过点作于点，点A作于点D．利用勾股定理可求出．又易证，即．根据题意可知，，即，解出PC即可；②当与相切时，经过点，过点作于点M，点C作于点N．同理可证，即．由三角形面积公式可求出．再根据题意可知 ，，即得出，解出PC即可．
（2）分类讨论①当经过点，与OA相切时，设直线与轴交于点．由题意可知，QB=3．再在中，利用勾股定理可求出．即得出B点坐标，代入一次函数解析式即可求出b的值．②当经过点A，与相切时，设直线与轴交于点．由题意可知，同理可求出，即，即得出A点坐标，代入一次函数解析式即可求出b的值．
【详解】
解：（1）分两种情况讨论：①如图，当与相切时，经过点A，过点作于点，点A作于点D．
∵，，．
∴．
∴在中，．
在和中，
∴．
∴．
∵，，
∴，
∴；
②如图,当与相切时，经过点，过点作于点M，点C作于点N．
同理可证，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
∵，由题意，得，
∴，即，
∴．
综上，PC的长为或．
（2）分两种情况讨论：①如图，当经过点，与OA相切时，设直线与轴交于点，
由得，，
在中，．
又根据题意可知QB=3．
∴，解得．
∴，即．
将B点坐标代入中，得；
②如图，当经过点A，与相切时，设直线与轴交于点，
由得，，
同理在中，利用勾股定理可求出，
∴，
∴，即
将A点坐标代入中，得，
解得：．
综上，b的值为或．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理以及一次函数的图象和性质，综合性强，较难．根据题意理解伴切圆的定义，且画出符合题意的几何图形以及利用分类讨论的思想是解答本题的关键．
24．（1）；（2）60°；（3）1
【分析】
（1）连结，记与的交点为，则有．由弦垂直平分线段，可得，．在中求得，即可得；
（2）连结，，，由（1）得，，即可得，所以，．由题意，得点为的内心，可得，．再由，即可得．
（3）连结，，，设的周长为，的半径为，则有，，，所以．又因，是的切线，可得，在直角中，，求得．已知，可得，解之即可得的半径．
【详解】
（1）如图，连结，记与的交点为，则有．
∵弦垂直平分线段，
∴，．
在中，
∵，
∴．
（2）如图，连结，，，
由（1）得，，∴，
∴，∴．
∵由题意，得点为的内心，
∴，．
∵，
∴，
∴．
（3）如图，连结，，ME，设的周长为，的半径为，
则有，，，
∴．
∵，是的切线，
∴，
∴在直角中，，
∴．
∵，
∴，
∴，或（舍去），
∴的半径是1．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识，熟练运用相关知识是解决问题的关键．
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