2021年浙江省杭州市育才中学中考四模数学试题（word版 含答案）

这是一份2021年浙江省杭州市育才中学中考四模数学试题（word版 含答案），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年浙江省杭州市中考四模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．计算的结果是( )
A．6 B．3 C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，如果将先沿轴翻折，再向上平移2个单位长度，得到，那么点的对应点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
4．下列说法错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．如图所示的正方形网格中有，则的值为（ ）

A． B． C． D．2
6．一个不透明的纸箱里装有3个红球，1个黄球和1个蓝球，它们除颜色外完全相同．小明从纸箱里随机摸出2个球，则摸到1个红球和1个蓝球的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角∠C=50°，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船到两个灯塔A，B的张角∠ASB应满足的条件是（ ）

A． B．
C． D．
8．古代《折绳测井》“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？”译文大致是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等分，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等分，井外余绳1尺，问绳子、井深各是多少尺？”如果设绳子尺，井深尺，根据题意列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，，是上的一点，于点，以为直径作，当与的交点落在上时，的值为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
10．已知函数，当时，函数值随增大而增大，且对任意的和，、相应的函数值、总满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

二、填空题
11．因式分解：________．
12．一组数据4，5，6，，7，4的平均数是5，则中位数是______．
13．已知关于x的一元二次方程m﹣nx﹣m﹣3＝0，对于任意实数n都有实数根，则m的取值范围是_____．
14．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，已知点的坐标为，当时，的取值范围为______．

15．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点B逆时针旋转60°，得到扇形O'A'B，其中点A的运动路径为，则图中阴影部分的面积为___．

16．如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，把沿折叠，点落在处，如果恰在矩形的对角线上，则的长为______．


三、解答题
17．点点同学解不等式的过程如下：




点点的解答过程显然有错误，请帮点点写出正确的解答过程．
18．国家教育部规定中小学生每天在校参加体育活动的时间不低于1小时，某中学为了了解学生在校每天参加体育活动的情况，对全校部分学生每天在校参加体育活动的时间进行抽样调查，且将样本大致分为“0.5小时，1小时，1.5小时，2小时”四类，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）在这次调查中一共抽查了多少名学生？
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）该校共有学生1500人，估计全校达到国家教育部规定每天在校参加体育活动时间的有多少名学生？
19．如图，在中，，于，作于，是中点，连交于点．

（1）求证：；
（2）若，，求的值．
20．定义：若一次函数和反比例函数满足，则称为一次函数和反比例函数的“等差”函数．
（1）和是否存在“等差”函数？若存在，请写出它们的“等差”函数；
（2）若和存在“等差”函数，且“等差”函数的图象与的图象的一个交点的横坐标为1，求反比例函数的表达式．
21．如图，在矩形中，对角线，相交于点，平分，交于点，作于点，分别交，于点，．

（1）判断的形状并说明理由；
（2）求证：；
（3）记的面积为，的面积为，当，时，求矩形的面积．
22．已知二次函数和一次函数．
（1）求证：二次函数图象的顶点必在一次函数的图象上；
（2）求二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标（用含的代数式表示）；
（3）已知，直线交二次函数的图象于点，交一次函数的图象于点，当时，求证：．
23．如图，是的直径，弦于，过延长线上一点作的切线交的延长线于点，切点为，连接交于．

（1）求证：；
（2）若，试判断与的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，，求的半径．


参考答案
1．C
【分析】
直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案
【详解】
解：，
故选C．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．
2．C
【分析】
判断式子中的运算属性，后根据属性计算即可
【详解】
∵，
∴A运算不正确；
∵，
∴B运算不正确；
∵，
∴C运算正确；
∵，
∴D运算不正确；
故选C
【点睛】
本题考查了合并同类项，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，单项式除以单项式，熟练掌握各自的运算法则是解题的关键．
3．C
【分析】
根据轴对称的性质和平移规律求得即可．
【详解】
解：由坐标系可得B（﹣3，1），将△ABC先沿y轴翻折得到B点对应点为（3，1），再向上平移2个单位长度，点B的对应点B'的坐标为（3，1+2），
即（3，3），
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣对称和平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
4．D
【分析】
根据不等式的性质进行判断．
【详解】
解：A．若a+3＞b+3，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意；
B．若a＞b，则a+3＞b+2，原变形正确，故此选项不符合题意；
C．若，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意；
D．a＞b，当c＜0时，ac＜bc，原变形错误，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了不等式的性质．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
5．C
【分析】
将视为中的锐角，再根据正方形网格的特点及勾股定理求出AC的长，由锐角三角函数的定义即可求出的值．
【详解】
解：如图：

将视为中的锐角，
由题意：，．
．
．
故选：C．
【点睛】
考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知正方形网格的特点，能在的边上找出两点使△ABC恰好构成直角三角形是解答此题的关键．
6．B
【分析】
画树状图，共有20种等可能的结果，摸到1个红球和1个蓝球的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：画树状图如图：

共有20种等可能的结果，摸到1个红球和1个蓝球的结果有6种，
∴摸到1个红球和1个蓝球的概率为，
故选：B．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．D
【分析】
如图，∠ASB交圆于点E，点F，连接EB，根据圆周角定理可得∠AEB=∠C=50°，根据三角形外角的性质可得∠AEB＞∠S，即可得答案．
【详解】
如图，∠ASB交圆于点E，点F，连接EB，
∵∠C和∠AEB是AB所对的圆周角，
∴∠AEB=∠C=50°，
∵∠AEB是△SEB的一个外角，
∴∠AEB＞∠S，即当∠S＜50°时船不进入暗礁区，
∴两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是∠ASB＜50°．

故选：D．
【点睛】
本题考查圆周角定理及三角形外角的性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
8．A
【分析】
用代数式表示井深即可得方程．本题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺．
【详解】
解：设绳长x尺，井深y尺，
根据题意可列方程组为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
9．C
【分析】
当CH与PB的交点D落在⊙O上时，因为HP是直径，可以判定BP⊥HC，再证BP垂直平分HC，求出BH的长度，最后证△AHP∽△ACB，即可求出AP的长度．
【详解】
解：如图所示，

当CH与PB的交点D落在⊙O上时，
∵HP是直径，
∴∠HDP＝90°，
∴BP⊥HC，
∴∠HDP＝∠BDH＝90°，
又∵∠PHD+∠BHD＝90°，∠BHD+∠HBD＝90°，
∴∠PHD＝∠HBD，
∴△PHD∽△HBD，
∴，
∴HD2＝PD•BD，
同理可证CD2＝PD•BD，
∴HD＝CD，
∴BD垂直平分CH，
∴BH＝BC＝6，
在Rt△ACB中，
AB10，
∴AH＝10﹣6＝4，
∵∠A＝∠A，∠AHP＝∠ACB＝90°，
∴△AHP∽△ACB，
∴，
即，
∴AP＝5，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理的推论，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够根据题意画出图形，判断出∠HDP＝90°．
10．A
【分析】
对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1-y2|≤9，只需最大值与最小值的差小于等于9即可，进而求解．
【详解】
解：函数的对称轴为x=a，
而x≤2时，函数值随x增大而增大，故a≥2；
∵1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，
∴x=a时，开口向下，函数的最大值=a2，
故函数的最大值在x=1和x=a+1中产生，
则x=1，x=a+1那个距x=a远，函数就在那一边取得最小值，
∵a≥2，
∴a-1≥1，而a+1-a=1，
∴1距离a 更远，
∴x=1时，函数取得最小值为：-1+2a，
∵对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1-y2|≤9，
只需最大值与最小值的差小于等于9即可，
∴，a2-（-1+2a）≤9，
(a-1)2=9，
解得-3≤a-1≤3，而a≥2，
∴2≤a≤4，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，|y1-y2|≤3转换为最大值与最小值的差小于等于3，是解题的关键．
11．3x(x+2)
【分析】
利用提取公因式即可解答．
【详解】
解：原式=3x2+6x
=3x(x+2)．
故答案为：3x(x+2)．
【点睛】
此题考查了提公因式法进行因式分解运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．4.5
【分析】
先根据算术平均数的定义列出关于x的方程，解之求出x的值，继而将这组数据从小到大重新排列，找到中间两个数的平均数即可得出答案．
【详解】
解：∵数据4，5，6，x，7，4的平均数是5，
∴=5，
解得x=4，
∴这组数据为4、4、4、5、6、7，
∴这组数据的中位数为=4.5，
故答案为：4.5．
【点睛】
本题主要考查中位数和算术平均数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
13．m＞0或m≤-3．
【分析】
把方程有实数根，转型为根的判别式大于等于零，根据n的任意性，构造不等式求解即可．
【详解】
∵关于x的一元二次方程m﹣nx﹣m﹣3＝0，对于任意实数n都有实数根，
∴△≥0，且m≠0，
∴≥0，
∴≥0，
∵对于任意实数n都有实数根，
∴≥0，
∴或，
∴m≥0或m≤-3，且m≠0，
∴m＞0或m≤-3，
故答案为：m＞0或m≤ -3．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式，并规范把问题转化为不等式组求解是解题的关键．
14．＞0或＜﹣2
【分析】
将点B坐标代入一次函数中求得m值，进而求得点B坐标，再结合图象即可得出结论．
【详解】
解：将点B坐标代入一次函数中，得：﹣m=﹣2m+2，
∴m=2，即B（4，﹣2），
由图象可知，当x＜4时，＞0或＜﹣2，
故答案为：＞0或＜﹣2．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两函数解析式，会利用数形结合思想求解不等式是解答的关键．
15．．
【分析】
连接，，即有，阴影部分面积就是扇形的面积，根据易得是等边三角形，并可得也是等边三角形，可求得再根据扇形的面积公式可求得答案．
【详解】
解：如图示，连接，，即有，阴影部分面积就是扇形的面积，

将半径为2，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，
，
是等边三角形，
，，
∴，，
则是等边三角形，
∴，
∴
∴图中阴影部分的面积
故答案是：．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
16．或2．
【分析】
由勾股定理求得BD，当点A′在BD上时，设AE=x，由翻折的性质得：EA′=AE=x，BA′=AB=3，则由勾股定理求得AE；当点A′在AC上时，由相似三角形的性质求得AG，由三角形相似的判定定理证得△AEG∽△ACD，根据相似三角形的性质求得AE．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，BD=，
当A′在BD上时，如图1所示：

设AE=x，
由翻折的性质得：EA′=AE=x，BA′=AB=4，
∴ED=8-x，∠E A′D=∠A=90°，
∴A′D= ，
在Rt△EA′D中，
x2+（）2=（8-x）2，
解得：x= ，
∴AE=；
当点A′在AC上时，如图2所示：

由翻折的性质得：BE垂直平分AA′，AC=，
∵，
∴
∴
∴AB2=AG•AC，
∴AG=，
∵∠AGE=∠D=90°，∠EAG=∠CAD，
∴△AEG∽△ACD，
∴，即，
∴AG=AE=，
∴AE=2．
∴AE的长为或2．
故答案为或2．
【点睛】
本题考查了翻折变换，解决本题的关键是综合运用矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识．
17．答案见详解
【分析】
根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得答案．
【详解】
解：正确过程如下：
去分母，得：2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≥6，
去括号，得：4x﹣2﹣15x﹣3≥6，
移项，得：4x﹣15x≥6+2+3，
合并同类项，得：﹣11x≥11，
系数化为1，得：x≤﹣1．
【点睛】
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
18．（1）50名；（2）条形统计图见详解；（3）1200名．
【分析】
（1）根据活动0.5小时的人数和所占百分比，可以求得在这次调查中一共抽查了多少名学生；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以得到活动1.5小时的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据扇形统计图中的数据，可以计算全校达到国家教育部规定每天在校参加体育活动的有多少名学生．
【详解】
解：（1）(名)，
答：在这次调查中一共抽查了50名学生；
（2）活动时间1.5小时的学生有：(名)，
不全条形统计图如图所示：

（3）(名)，
答：该校达到国家教育部要求在校体育活动时间不少于1小时的学生共有1200名．
【点睛】
本题主要考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（1）证明见详解；（2）
【分析】
（1）只要证明△DAE∽△CAD，可得，推出AD2＝AC•AE即可解决问题；
（2）利用直角三角形斜边中线定理求出DF，再根据DF∥AC，可得，由此可得，再利用第一问的结论，即可解决问题；
【详解】
（1）证明：∵AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，
∴∠ADC＝∠AED＝90°，
∵，于，
∴∠DAE＝∠DAC，
∴△DAE∽△CAD，
∴，
∴AD2＝AC•AE，
∵AC＝AB，
∴AD2＝AB•AE．
（2）解：如图，连接DF．

∵AB＝5，∠ADB＝90°，BF＝AF，
∴DFAB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴DF∥AC，
∴，
∴
∵AD2＝AB•AE．
∴
∴．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
20．（1）存在“等差”函数，其解析式为y＝3x2+4x+5；（2）y
【分析】
（1）假设存在，根据等差函数定义得出b＝4，从而得出解析式；
（2）根据等差函数定义得出10+c＝2b，即c＝2b﹣10，根据“等差”函数的图象与y的图象的一个交点的横坐标为1，列出方程即可求得b，进而求得c，即可解决问题．
【详解】
解：（1）存在，
假设y＝3x+b和y存在“等差”函数，
则a＝3，c＝5，
∵
∴a+c＝2b，
解得：b＝4，
∴存在“等差”函数，其解析式为y＝3x2+4x+5；
（2）根据题意知：a＝10，
∵
∴a+c＝2b，
∴c＝2b﹣10，
则“等差”函数的解析式为y＝10x2+bx+2b﹣10，反比例函数的解析式为y，
根据题意，将x＝1代入，
得：10+b+2b﹣10＝﹣2b+10，解得b＝2，c＝﹣6，
故反比例函数的解析式为y．
【点睛】
本题考查二次函数综合题、一次函数的应用，解题的关键是理解新定义，学会利用方程组解决两个函数图象的交点问题，属于中考压轴题．
21．（1）△AFG是等腰三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）12
【分析】
（1）根据角平分线定义和全等三角形的判定证明△AFH≌△AGH，则有AF=AG，进而可判断△AFG为等腰三角形；
（2）取DF的中点M，连接OM，由中位线的性质可得BF=2OM，OM∥BF，根据平行线的性质和对顶角相等证得∠OGM=∠OMG，再根据等角对等边得OG=OM，即可证得结论；
（3）过D作DN⊥AC于N，由三角形的面积公式和面积比求得DN的长，进而由勾股定理求得AN，再证明△ADC∽△AND，利用相似三角形性质可求得CD，然后由矩形面积公式求解即可.
【详解】
（1）△AFG是等腰三角形，理由为:
∵AE平分∠BAC，
∴∠FAH=∠GAH，
∵DF⊥AE，
∴∠AHF=∠AHG=90°，又AH=AH，
∴△AFH≌△AGH(ASA)，
∴AF=AG，
∴△AFG是等腰三角形；
（2）取DF的中点M，连接OM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴O为AC的中点，则OM是△DBF的中位线，
∴BF=2OM，OM∥BF，
∴∠AFG=∠OMG，
∵△AFG是等腰三角形，
∴∠AFG=∠AGF，又∠AGF=∠OGM，
∴∠OGM=∠OMG，
∴OM=OG，
∴BF=2OG；
（3）过D作DN⊥AC于N，
∵
又BF=2OG，AD=4，
∴DN=，
∴AN=，
∵∠DAC=∠NAD，∠ADC=∠AND，
∴△ADC∽△AND，
∴即，
∴CD=3，
∴矩形ABCD的面积为3x4=12．

【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、中位线的性质、平行线的性质`、三角形及矩形的的面积公式、勾股定理、相似三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识，解答的关键熟练掌握相关知识的联系与运用，属于中档题，综合性强，难度适中.
22．(1)证明见详解；（2）交点坐标为（0，a-1）或（-1，-1）；（3）证明见详解
【分析】
（1）先确定出抛物线的顶点坐标，即可得出结论；
（2）联立二次函数的解析式与一次函数的解析式，求出方程组的解即可；
（3）表示出MN的长度再利用函数最值求出范围即可得出结论
【详解】
解：（1）证明：二次函数，
顶点坐标为，
把代入，中
左边=-1，右边=-1
∴左边=右边，
∴二次函数图象的顶点必在一次函数的图象上；
（2）联立解析式得：
解得x=0 或x=-1
当x=0时，y=a-1 坐标为（0，a-1）
当x=-1时，y=-1坐标为（-1，-1）
∴交点坐标为（0，a-1）或（-1，-1）
（3）证明：由题意可知，
由（2）可知，当a＞0时，-1＜x＜0有＜
∴
=
当时，
∵
∴
【点睛】
二次函数综合题，主要考查了抛物线的顶点坐标的确定，抛物线与一次函数交点确定，极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
23．（1）见解析；（2）AC与EF平行，理由见解析；（3）
【分析】
（1）连接OG，易证∠OGA=∠OAG，由圆的切线性质得∠OGE=90°，由和等角的余角相等可证得∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边可证得结论；
（2）与平行，理由：连接GD，由∠GKD=∠EKG和可证得△KGD∽△KEG，可得∠KGD=∠E，再根据同弧所对的圆周角相等证得∠KGD=∠ACE，则有∠AEC=∠E，进而可证得AC∥EF；
（3）连接OC，由可设AH=3k，AC=5k，则CH=4k，由AC∥EF和KE=GE可证得CK=AC=5k，则HK=k，由勾股定理可求得k=2，即CH=8，AH=6，设半径为r，则OC=r，OH=r﹣6，由勾股定理即可求得半径r．
【详解】
（1）连接OG，
∵CD⊥AB，
∴∠AHK=90°，
∴∠OAG+∠AKH=90°，
∵EF与相切于点G，
∴OG⊥GE，即∠OGE=90°，
∴∠OGA+∠EGK=90°，
∵OG=OA，
∴∠OGA=∠OAG，
∴∠EGK=∠AKH，又∠AKH=∠GKE，
∴∠EGK=∠GKE，
∴KE=GE；
（2）AC与EF平行，理由为：
∵KG2=KD•GE=KD•KE，
∴又∠GKD=∠EKG，
∴△KGD∽△KEG，
∴∠KGD=∠E，
∵，
∴∠KGD=∠ACE，
∴∠ACE=∠E，
∴AC∥EF；
（3）∵∠C=∠E，
∴，
在Rt△CHA中，设AH=3k，AC=5k，
∴CH==4k，
∵AC∥EF，
∴∠CAK=∠EGK，又∠EGK=∠GKE=∠AKC，
∴∠CAK=∠AKC，
∴CK=AC=5k，则HK=CK﹣CH=k，
在Rt△AHK中，，，
∴（3k）2十k2=()2
解得：k=2，
∴CH=8，AH=6，
设半径为r，连接OC，则OC=r，OH=r﹣6，
在Rt△CHO中，，
∴r2=(r﹣6)2+82，
解得：r=，
即的半径为．

【点睛】
本题考查了圆的切线性质、相似三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、锐角的三角函数定义、勾股定理、圆周角定理等知识，解答的关键是熟练掌握这些知识的联系与运用，属于中档综合题，难度适中．