2021年浙江省金华市中考数学第一次质检试卷 word版，含解析

这是一份2021年浙江省金华市中考数学第一次质检试卷 word版，含解析，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年浙江省金华市中考数学第一次质检试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）已知在圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝3：1，则∠C的度数是（　　）
A．45° B．60° C．90° D．135°
2．（3分）若将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则得到的新抛物线的表达式为（　　）
A．y＝3（x﹣1）2+2 B．y＝3（x+1）2+2
C．y＝3（x+1）2﹣2 D．y＝3（x﹣1）2﹣2
3．（3分）在一个不透明的纸箱中，共有15个蓝色、红色的玻璃球，它们除颜色外其他完全相同．小柯每次摸出一个球后放回，通过多次摸球试验后发现摸到蓝色球的频率稳定在20%，则纸箱中红色球很可能有（　　）
A．3个 B．6个 C．9个 D．12个
4．（3分）已知一个几何体如图所示，则它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
5．（3分）用一个圆心角为150°，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（　　）
A．2.5 B．5 C．6 D．10
6．（3分）如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是（　　）

A．2 B． C． D．
7．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，且分别交AB，AC于点D，E，若＝，则下列说法不正确的是（　　）

A．＝
B．
C．＝
D．＝
8．（3分）如图，三角形纸片ABC的周长为24cm，⊙O是△ABC的内切圆，华华用剪刀在⊙O的左侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一个周长为8cm的△AMN，那么BC的长是（　　）

A．8cm
B．10cm
C．12cm
D．根据MN位置的不同而变化
9．（3分）如图，⊙O的半径为5，将长为8的线段PQ的两端放在圆周上同时滑动，如果点P从点A出发按逆时针方向滑动一周回到点A，在这个过程中，线段PQ扫过区域的面积为（　　）

A．9π B．16π C．25π D．64π
10．（3分）已知二次函数y＝﹣（x﹣k+4）（x+k）+m，其中k，m为常数，则下列说法正确的是（　　）
A．若k≠2，m≠0，则二次函数y的最大值小于0
B．若k＝2，m≠0，则二次函数y的最大值小于0
C．若k＜2，m＞0，则二次函数y的最大值大于0
D．若k＞2，m＜0，则二次函数y的最大值大于0
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若＝，则的值为 　 　．
12．（4分）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2与y轴的交点坐标为 　 　．
13．（4分）已知⊙O的直径为5，设圆心O到直线l的距离为d，当直线l与⊙O相交时，d的取值范围是 　 　．
15．（4分）如图，⊙O的直径AB过的中点A，若∠C＝30°，AB、CD交于点E，连接AC、BD，则＝　 　．

16．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点A在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则：
（1）abc　 　0（填“＞”或“＜”）；
（2）a的取值范围是 　 　．

三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）计算：cos60°+﹣（﹣2020）0﹣tan230°．
18．（6分）在创建国家卫生文明城市的过程中，海海和华华积极参加志愿者活动，有下列三个志愿者工作岗位供他们选择：
①清理类岗位：清理花坛卫生死角；清理楼道杂物（分别用A1，A2表示）；
②宣传类岗位：垃圾分类知识宣传（用B表示）．
（1）海海从三个岗位中随机选取一个报名，恰好选择清理类岗位的概率为 　 　；
（2）若海海和华华各随机从三个岗位中选取一个报名，请你利用画树状图法或列表法求出他们恰好都选择同一个岗位的概率．
19．（6分）如图是由边长为1的小正方形组成的11×15的网格（网格线的交点称为格点），在网格中建立平面直角坐标系，正方形ABCD的顶点A（﹣2，3），C（1，0）均在格点上．要求在下列问题中仅用无刻度的直尺作图．

（1）画出格点M，连接AM（或延长AM）交BC边于点E，使BE＝EC；
（2）找出格点N，连接AN（或延长AN）交DC边于点F，使DF＝DC，则满足条件的格点N有 　 　个．
20．（8分）如图1是一手机支架，其中AB＝8cm，底座CD＝1cm，当点A正好落在桌面上时如图2所示，∠ABC＝80°，∠A＝60°．
（1）求点B到桌面AD的距离；
（2）求BC的长．（结果精确到0.1cm；参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.73）

21．（8分）某商场经销一种布鞋，已知这种布鞋的成本价为每双30元．市场调查发现，这种布鞋每天的销售量y（单位：双）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y＝﹣x+60（30≤x≤60）．设这种布鞋每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数解析式；
（2）这种布鞋销售单价定价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
22．（10分）如图，已知⊙C过菱形ABCD的三个顶点B，A，D，连接BD，过点A作AE∥BD交射线CB于点E．
（1）求证：AE是⊙C的切线．
（2）若半径为2，求图中线段AE、线段BE和围成的部分的面积．
（3）在（2）的条件下，在⊙C上取点F，连接AF，使∠DAF＝15°，求点F到直线AD的距离．

23．（10分）问题提出：
如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连接AP，BP，求AP+BP的最小值
（1）尝试解决：
为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：（请把下面的过程填写完整）
如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有
又∵∠PCD＝∠　 　
△　 　∽△　 　
∴
∴PD＝BP
∴AP+BP＝AP+PD
∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为　 　．
（2）自主探索：
如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则AP+PC的最小值为　 　．（请在图3中添加相应的辅助线）
（3）拓展延伸：
如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．

24．（12分）如图1，抛物线y＝ax2﹣6ax+6（a≠0）与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜8），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△PMN的周长是△AOB周长的时，求m的值；
（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为30°，连接E′A、E′B，在平面直角坐标系内找一点Q，使△AOE′∽△BOQ，并求出点Q的坐标．


2021年浙江省金华市中考数学第一次质检试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）已知在圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝3：1，则∠C的度数是（　　）
A．45° B．60° C．90° D．135°
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°，再求出∠C即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A：∠C＝3：1，
∴∠C＝×180°＝45°，
故选：A．
2．（3分）若将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则得到的新抛物线的表达式为（　　）
A．y＝3（x﹣1）2+2 B．y＝3（x+1）2+2
C．y＝3（x+1）2﹣2 D．y＝3（x﹣1）2﹣2
【分析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减得出平移后的解析式．
【解答】解：将抛物线y＝﹣3x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得到抛物线为：y＝﹣3（x+1）2﹣2．
故选：C．
3．（3分）在一个不透明的纸箱中，共有15个蓝色、红色的玻璃球，它们除颜色外其他完全相同．小柯每次摸出一个球后放回，通过多次摸球试验后发现摸到蓝色球的频率稳定在20%，则纸箱中红色球很可能有（　　）
A．3个 B．6个 C．9个 D．12个
【分析】根据利用频率估计概率得到摸到蓝色球的概率为20%，由此得到摸到红色球的概率＝1﹣20%＝80%，然后用80%乘以总球数即可得到红色球的个数．
【解答】解：∵摸到蓝色球的频率稳定在42%，
∴摸到红色球的概率＝1﹣20%＝80%，
∵不透明的布袋中，有黄色、白色的玻璃球共有15个，
∴纸箱中红球的个数有15×80%＝12（个）．
故选：D．
4．（3分）已知一个几何体如图所示，则它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据简单几何体的三视图的意义，画出左视图即可作出判断．
【解答】解：从左面看该几何体，所得到的图形如下：

故选：D．
5．（3分）用一个圆心角为150°，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（　　）
A．2.5 B．5 C．6 D．10
【分析】根据弧长公式先计算出扇形的弧长，再利用圆的周长和圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解．
【解答】解：扇形的弧长＝＝10π，
设圆锥的底面半径为R，则2πR＝10π，
所以R＝5．
故选：B．
6．（3分）如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是（　　）

A．2 B． C． D．
【分析】根据直角三角形解决问题即可．
【解答】解：作AE⊥BC．∵∠AEC＝90°，AE＝4，BE＝2，
∴tan∠ABC＝＝＝2，
故选：A．
7．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，且分别交AB，AC于点D，E，若＝，则下列说法不正确的是（　　）

A．＝
B．
C．＝
D．＝
【分析】根据题意可以得到△ADE∽△ABC，然后根据题目中的条件即可推出选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴，故A说法正确；
，故D说法错误；
∴，故B说法正确；
，
∴，故C说法正确；
故A、B、C选项正确，D选项错误，
故选：D．
8．（3分）如图，三角形纸片ABC的周长为24cm，⊙O是△ABC的内切圆，华华用剪刀在⊙O的左侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一个周长为8cm的△AMN，那么BC的长是（　　）

A．8cm
B．10cm
C．12cm
D．根据MN位置的不同而变化
【分析】根据切线长定理得到BD＝BG，CE＝CG，MH＝ME，NH＝ND，将△ABC的周长化为AD+AE+BD+CE+BC，从而求解．
【解答】解：如图，设D，H，E，G分别是直线AB，MN，AC，BC与⊙O的切点．

∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴BD＝BG，CE＝CG，MH＝ME，NH＝ND，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN，
＝AM+MH+AN+NH
＝AM+ME+AN+ND
＝AD+AE
＝8（cm）．
∵△ABC的周长＝AD+AE+BD+BC+CE
＝8+BG+CG+BC
＝8+2BC
＝24（cm）．
∴BC＝8cm．
故选：A．
9．（3分）如图，⊙O的半径为5，将长为8的线段PQ的两端放在圆周上同时滑动，如果点P从点A出发按逆时针方向滑动一周回到点A，在这个过程中，线段PQ扫过区域的面积为（　　）

A．9π B．16π C．25π D．64π
【分析】如图，线段PQ扫过的面积是图中圆环面积．作OE⊥PQ于E，连接OQ求出OE即可解决问题．
【解答】解：如图，线段PQ扫过的面积是图中圆环面积．

作OE⊥PQ于E，连接OQ．
∵OE⊥PQ，
∴EQ＝PQ＝4，
∵OQ＝5，
∴OE＝＝＝3，
∴线段PQ扫过区域的面积＝π•52﹣π•32＝16π，
故选：B．
10．（3分）已知二次函数y＝﹣（x﹣k+4）（x+k）+m，其中k，m为常数，则下列说法正确的是（　　）
A．若k≠2，m≠0，则二次函数y的最大值小于0
B．若k＝2，m≠0，则二次函数y的最大值小于0
C．若k＜2，m＞0，则二次函数y的最大值大于0
D．若k＞2，m＜0，则二次函数y的最大值大于0
【分析】将函数解析式化为顶点式，根据选项进行判断即可．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣k+4）（x+k）+m＝﹣（x+2）2+（k﹣2）2+m，
∴当x＝﹣2时，函数最大值为y＝（k﹣2）2+m，
则当k＜2，m＞0时，则二次函数y的最大值大于0．
故选：C．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若＝，则的值为 　　．
【分析】设a＝5x，则b＝3x，代入代数式再化简即可．
【解答】解：∵
∴设a＝5x，则b＝3x，
∴＝＝＝．
故答案为：．
12．（4分）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2与y轴的交点坐标为 　（0，1）　．
【分析】取x＝0，求出y的值，即可得出答案．
【解答】解：设x＝0，则y＝﹣（﹣1）2+2＝1，
∴抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2与y轴的交点坐标为（0，1），
故答案为：（0，1）．
13．（4分）已知⊙O的直径为5，设圆心O到直线l的距离为d，当直线l与⊙O相交时，d的取值范围是 　0≤d＜2.5　．
【分析】根据直线l和⊙O相交⇔0≤d＜r，即可得到的取值范围．
【解答】解：∵⊙O的直径为5，
∴⊙O的半径是2.5，
∵直线l与⊙O相交，
∴圆心D到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜2.5，
故答案为：0≤d＜2.5．
15．（4分）如图，⊙O的直径AB过的中点A，若∠C＝30°，AB、CD交于点E，连接AC、BD，则＝　　．

【分析】根据已知条件得出∠DCA＝∠DBA＝30°，设DE＝EC＝x，根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半得出AE和BE的长，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵⊙O的直径AB过的中点A，
∴＝，
∴DE＝EC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BED＝∠CEA＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠DCA＝∠DBA＝30°，
设DE＝EC＝x，
∵∠C＝30°，
∴AE＝x，
∵∠DBA＝30°，
∴BE＝x，
∴＝＝；
故答案为：．
16．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点A在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则：
（1）abc　＜　0（填“＞”或“＜”）；
（2）a的取值范围是 　≤a≤　．

【分析】（1）观察图形发现，由抛物线的开口向下得到a＜0，顶点坐标在第一象限得到b＞0，抛物线与y轴的交点在y轴的上方推出c＞0，由此即可判定abc的符号；
（2）顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，当顶点C与D点重合，可以知道顶点坐标为（1，3）且抛物线过（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点为（3，0），由此可求出a；当顶点C与F点重合，顶点坐标为（3，2）且抛物线过（﹣2，0），则它与x轴的另一个交点为（8，0），由此也可求a，然后由此可判断a的取值范围．
【解答】解：（1）观察图形发现，抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵顶点坐标在第一象限，
∴﹣＞0，
∴b＞0，
而抛物线与y轴的交点在y轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0；

（2）顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，
当顶点C与D点重合，顶点坐标为（1，3），则抛物线解析式y＝a（x﹣1）2+3，
由，解得﹣≤a≤﹣；
当顶点C与F点重合，顶点坐标为（3，2），则抛物线解析式y＝a（x﹣3）2+2，
由，解得﹣≤a≤﹣；
∵顶点可以在矩形内部，
∴﹣≤a≤﹣．
解法二：由题意及图可知：当抛物线经过（﹣2，0），顶点为F（3，2）时，抛物线开口最大，解得a＝﹣；
当抛物线经过（﹣1，0），顶点为D（1，3）时，抛物线开口最小，解得a＝﹣，∵当a＜0时，a越小抛物线的开口越小，a越大抛物线的开口越大，∴﹣≤a≤﹣
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）计算：cos60°+﹣（﹣2020）0﹣tan230°．
【分析】利用特殊角的三角函数值，实数的运算法则对式子进行运算即可．
【解答】解：cos60°+﹣（﹣2020）0﹣tan230°
＝+2﹣1﹣（）2
＝﹣
＝．
18．（6分）在创建国家卫生文明城市的过程中，海海和华华积极参加志愿者活动，有下列三个志愿者工作岗位供他们选择：
①清理类岗位：清理花坛卫生死角；清理楼道杂物（分别用A1，A2表示）；
②宣传类岗位：垃圾分类知识宣传（用B表示）．
（1）海海从三个岗位中随机选取一个报名，恰好选择清理类岗位的概率为 　　；
（2）若海海和华华各随机从三个岗位中选取一个报名，请你利用画树状图法或列表法求出他们恰好都选择同一个岗位的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有等可能的结果数，再找出海海和华华都选择同一个岗位的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）恰好选择清理类岗位的概率为；
故答案为：；

（2）根据题意画图如下：

共有9中等可能的情况数，其中他们恰好都选择同一个岗位的有3种，
则他们恰好都选择同一个岗位的概率是＝．
19．（6分）如图是由边长为1的小正方形组成的11×15的网格（网格线的交点称为格点），在网格中建立平面直角坐标系，正方形ABCD的顶点A（﹣2，3），C（1，0）均在格点上．要求在下列问题中仅用无刻度的直尺作图．

（1）画出格点M，连接AM（或延长AM）交BC边于点E，使BE＝EC；
（2）找出格点N，连接AN（或延长AN）交DC边于点F，使DF＝DC，则满足条件的格点N有 　3　个．
【分析】（1）利用全等三角形的性质以及数形结合的思想解决问题即可．
（2）利用相似三角形的性质以及数形结合的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）如图点E即为所求．M（1，﹣3）或（﹣1，1）或（0，﹣1）．
故答案为（1，﹣3）或（﹣1，1）或（0，﹣1）．

（2）如图点F即为所求，满足条件的点N有3个，
故答案为3．
20．（8分）如图1是一手机支架，其中AB＝8cm，底座CD＝1cm，当点A正好落在桌面上时如图2所示，∠ABC＝80°，∠A＝60°．
（1）求点B到桌面AD的距离；
（2）求BC的长．（结果精确到0.1cm；参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.73）

【分析】（1）过点B作BE⊥AD于点E，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．
（2）延长交BE于点F，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：（1）过点B作BE⊥AD于点E，
∴∠AEB＝90°，
∵∠A＝60°，AB＝8，
∴BE＝4，
∴点B到桌面AD的距离是4．
（2）延长交BE于点F，连接BC，
∴∠BFC＝90°
∵∠A＝60°，∠ABC＝80°，
∴∠CBF＝50°，
由题意可知：BF＝4﹣1，
∵cos50°＝，
∴BC＝≈9.3cm，
∴BC的长度为9.3cm．

21．（8分）某商场经销一种布鞋，已知这种布鞋的成本价为每双30元．市场调查发现，这种布鞋每天的销售量y（单位：双）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y＝﹣x+60（30≤x≤60）．设这种布鞋每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数解析式；
（2）这种布鞋销售单价定价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）每天的销售利润W＝每天的销售量×每件产品的利润；
（2）根据配方法，可得答案．
【解答】解：（1）w＝（x﹣30）•y＝（﹣x+60）（x﹣30）＝﹣x2+30x+60x﹣1800＝﹣x2+90x﹣1800，
故w与x之间的函数解析式w＝﹣x2+90x﹣1800；
（2）根据题意得：w＝﹣x2+90x﹣1800＝﹣（x﹣45）2+225，
∵﹣1＜0，
当x＝45时，w有最大值，最大值是225．
22．（10分）如图，已知⊙C过菱形ABCD的三个顶点B，A，D，连接BD，过点A作AE∥BD交射线CB于点E．
（1）求证：AE是⊙C的切线．
（2）若半径为2，求图中线段AE、线段BE和围成的部分的面积．
（3）在（2）的条件下，在⊙C上取点F，连接AF，使∠DAF＝15°，求点F到直线AD的距离．

【分析】（1）连接AC．证明AE⊥AC即可解决问题．
（2）证明△ABC是等边三角形，推出∠ACB＝60°，AE＝AC•tan60°＝2，根据S阴＝S△AEC﹣S扇形ACB求解即可．
（3）分两种情形：①如图2中，当点F在上时．②如图3中，当点F在优弧上时，分别求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又∵BD∥AE，
∴AC⊥AE，
∴AE是⊙O的切线．

（2）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
又∵AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵AC＝2，
∴AE＝AC•tan60°＝2，
∴S阴＝S△AEC﹣S扇形ACB＝×2×2﹣＝2﹣π．

（3）①如图2中，当点F在上时，

∵∠DAF＝15°，
∴∠DCF＝30°，
∵∠ACD＝60°，
∴∠ACF＝∠FCD，
∴点F是弧AD的中点，
∴CF⊥AD，
∴点F到直线AD的距离＝CF﹣CA•cos30°＝2﹣．
②如图3中，当点F在优弧上时，

∵∠DAF＝15°，
∴∠DCF＝30°，
过点C作CG⊥AD于D，过点F作FH⊥CG于H，
可得∠AFH＝15°，∠HFC＝30°，
∴CH＝1，
∴点F到直线AD的距离＝CG﹣CH＝AC•cos30°﹣CH＝﹣1．
综上所述，满足条件的点F到直线AD的距离为2﹣或﹣1．
23．（10分）问题提出：
如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连接AP，BP，求AP+BP的最小值
（1）尝试解决：
为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：（请把下面的过程填写完整）
如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有
又∵∠PCD＝∠　BCP　
△　PCD　∽△　BCP　
∴
∴PD＝BP
∴AP+BP＝AP+PD
∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为　　．
（2）自主探索：
如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则AP+PC的最小值为　2　．（请在图3中添加相应的辅助线）
（3）拓展延伸：
如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．

【分析】（1）连接AD，过点A作AF⊥CB于点F，AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即可求解；
（2）在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，AB＝8，PB＝4，BF＝2，证明△ABP∽△PBF，当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，即可求解；
（3）延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，确定＝＝，且∠AOP＝∠AOP，△AOP∽△POF，当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，即可求解．
【解答】解：（1）如图1，

连接AD，过点A作AF⊥CB于点F，
∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，
∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，
即：AP+BP最小值为AD，
∵AC＝9，AF⊥BC，∠ACB＝60°
∴CF＝，AF＝，
∴DF＝CF﹣CD＝﹣1＝，
∴AD＝＝
∴AP+BP的最小值为；
故答案为：；

（2）如图2，

在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，
∵AB＝8，PB＝4，BF＝2，
∴＝＝，且∠ABP＝∠ABP，
∴△ABP∽△PBF，
∴＝＝，∴PF＝AP
∴AP+PC＝PF+PC，
∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，
∴CF＝＝＝2，
∴，AP+PC的值最小值为2，
故答案为：2；

（3）如图3，

延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，
∵OC＝4，FC＝4，
∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，
∴＝＝，且∠AOP＝∠AOP
∴△AOP∽△POF
∴＝＝，
∴PF＝2AP
∴2PA+PB＝PF+PB，
∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，
∵∠COD＝120°，
∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM
∴OM＝4，FM＝4
∴MB＝OM+OB＝4+3＝7
∴FB＝＝
∴2PA+PB的最小值为．
24．（12分）如图1，抛物线y＝ax2﹣6ax+6（a≠0）与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜8），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△PMN的周长是△AOB周长的时，求m的值；
（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为30°，连接E′A、E′B，在平面直角坐标系内找一点Q，使△AOE′∽△BOQ，并求出点Q的坐标．

【分析】（1）把点（8，0）代入y＝ax2﹣6ax+6（a≠0），求得a的值即可；
（2）先求出点B的坐标，根据待定系数法可求出直线AB的解析式为y＝﹣；根据题意可证明△PNM∽△ABO，根据相似比可求出PN＝6．由E（m，0）（0＜m＜8），可知P（m，﹣m2+m+6），N（m，﹣），所以EN＝﹣，OE＝m，AE＝8﹣m，求出PN＝﹣m2+3m＝6，进而可求出m的值．
（3）由旋转可知，△AOE'∽△BOQ，所以OE′：OA＝OQ：OB，∠BOQ＝∠AOE′＝30°，则可求出OQ＝6．如图，过点Q作QH⊥y轴于点H，所以QH＝OQ＝，OH＝＝＝，进而可求出Q的坐标．
【解答】解：（1）把（8，0）代入y＝ax2﹣6ax+6（a≠0），得64a﹣48a+6，解得a＝﹣，
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+x+6．
（2）在y＝﹣x2+x+6中，令x＝0，得y＝6，
∴B（0，6），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
将（8，0），（0，6）代入y＝kx+b中，得，解得，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣．
∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN＝∠AEP＝90°．
又∵∠PNM＝∠ANE，
∴∠MPN＝∠BAO．
又∵∠PMN＝∠AOB，
∴△PNM∽△ABO，
∴PN：AB＝C△PMN：C△AOB＝3：5，
由题意得OB＝6，OA＝8，
由勾股定理定理可得AB＝10，
∴PN＝6．
∵E（m，0）（0＜m＜8），
∴P（m，﹣m2+m+6），N（m，﹣），
∴EN＝﹣，OE＝m，AE＝8﹣m，
∴PN＝PE﹣EN＝﹣m2+m+6﹣（﹣）＝﹣m2+3m＝6，
解得m＝4．
（3）∵线段OE绕点O逆时针旋转得到OE'，旋转角为30°，
∴OE'＝OE＝4，∠AOE'＝30°．
∴△AOE'∽△BOQ，
∴OE′：OA＝OQ：OB，
∠BOQ＝∠AOE′＝30°，
∴4：8＝OQ：6，即OQ＝6，
如图，过点Q作QH⊥y轴于点H，

∴QH＝OQ＝，OH＝＝＝，
∴当点Q在y轴右侧时，Q1（，），
当点Q在y轴左侧时，同理可得，Q2（﹣，），
综上所述，点Q的坐标为：Q1（，），Q2（﹣，）．