2021年浙江省嘉兴市南湖区中考二模数学试题（word版 含答案）

2021年浙江省嘉兴市南湖区中考二模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在、、0、3这四个有理数中，最小的有理数是（    ）

A． B． C．0 D．3

2．下列计算中，结果正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．为庆祝中国共产党百年华诞，嘉兴启动了“百年百项”重大项目工程，计划总投资超2000亿元．数2000亿用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

4．如图是一段水管的实物图，它的俯视图是（    ）

A．
 B．
 C．
 D．
 

5．不等式的解在数轴上表示正确的是（    ）

A． B． C． D．

6．若数组3，3，，4，5的平均数为4，则这组数中的（    ）

A． B．中位数为4 C．众数为3 D．中位数为

7．如图，在直角坐标系中，的顶点的坐标为，现以坐标原点为位似中心，作与的位似比为的位似图形，则的坐标为（    ）

A． B．

C．或 D．或

8．量角器圆心为，直径，一把宽为3的直尺的一边过点且与量角器交于、两点，如图所示，则弧的长为（    ）

A． B． C． D．

9．如图，矩形纸片中，，是上一点，连结，沿直线翻折后点落到点，过点作，垂足为．若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

10．在平面直角坐标系中，已知点，，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是（    ）

A．或 B．或

C．且 D．或

二、填空题

11．分解因式：=____．

12．不透明袋子中装有除颜色外都相同的8个小球，其中白球5个，黑球3个．从中任意摸出一球恰为白球的概率为______．

13．计算：______．

14．“鸡兔同笼”是我国古代数学名著《孙子算经》上的一道题：今有鸡兔同笼，上有四十三头，下有一百零二足，问鸡兔各几何？若设笼中有鸡只，兔只，则可列出的二元一次方程组为______．

15．如图所示，在的正方形网格中有一半径为5的圆，一条折线将它分成甲、乙两部分．表示甲的面积，则______．

16．已知，如图，中，，，，是上一点，，为边上一动点，以为边向右侧作等边三角形．

（1）当在上时，长为______；

（2）连结，则的取值范围为______．

三、解答题

17．计算：

（1）

（2）

18．解方程组：，小海同学的解题过程如下：

解：由②得，③

把③代入①得，

把代入③得，

∴此方程组的解为．

判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．

19．为了解我市九年级学生视力状况，抽取若干名学生进行视力检测，结果如下：

根据调查结果的统计数据，绘制成如图所示的一幅不完整的统计图，由图表中给出的信息解答下列问题：

各等级人数扇形统计图：

 （1）求本次抽查的学生人数；

（2）按标准及以上为正常，低于都属于视力不佳．若该市共有45000名九年级学生，试估计视力不佳的学生人数．

20．已知，和中，，．试探究：

（1）如图1，与的关系是______；

（2）如图2，写出与的关系，并说明理由；

（3）根据上述探究，请归纳得到一个真命题．

21．如图，是⊙O的直径，是⊙O上一点，平分，过点作交延长线于点．

（1）求证：是⊙O的切线；

（2）若，，求阴影部分的面积．

22．海绵拖把一般由长杆、U型挤压器、海绵及连杆（含拉杆）装置组成（如实物图），拉动拉杆可带动海绵进入挤压器的两压杆间，起到挤水的作用．（图1），（图2），（图3）是其挤水原理示意图，、是拖把上的两个固定点，拉杆一端固定在点，点与点重合，如（图1），拉动点可使拉杆绕着点转动，此时点沿着所在直线上下移动，如（图2）．已知，连杆为，，．当点转动到射线上时，如（图3），落在上，此时点与点重合，点与点重合．

（1）求的长；

（2）转动，当时，

①求点的上升高度；

②求点与点之间的距离（结果精确到）．（，，，）

23．某公司销售一种成本为30元的工艺品．设该公司第天销售这种工艺品的数量为件，经统计发现第天与之间的的函数关系式如下表，第21天开始与之间满足的函数关系：

（1）请观察表格，用所学过的函数知识求出第天与的函数关系式；

（2）若第天每件工艺品的销售价格为（元/件），与之间的关系满足如下关系：，问在这60天内，第几天的销售利润最大？最大利润是多少？

24．定义：平面直角坐标系中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．

（1）已知点，以为圆心，为半径作圆．请判断⊙是不是二次函数的坐标圆，并说明理由；

（2）已知二次函数图象的顶点为，坐标圆的圆心为，如图1，求周长的最小值；

（3）已知二次函数图象交轴于点，，交轴于点，与坐标圆的第四个交点为，连结，，如图2．若，求的值．

参考答案

1．A

【分析】

由＜＜0＜3，从而可得答案．

【详解】

解：由＜＜0＜3，可得：最小的有理数是

故选：

【点睛】

本题考查的是有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较的方法是解题的关键．

2．D

【分析】

根据合并同类项，同底数幂相乘，幂的乘方，同底数幂相除的法则分别计算，然后再判断即可．

【详解】

A. ，故本选项错误；

B. ，故本选项错误；

C. ，故本选项错误；

D. ，故本选项正确；

故选：D．

【点睛】

本题考查了合并同类项，同底数幂相乘，幂的乘方，同底数幂相除的法则，熟悉相关性质是解题的关键．

3．B

【分析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

【详解】

解：2000亿=200000000000=2×1011．

故选：B．

【点睛】

本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．

4．B

【分析】

找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在俯视图中．

【详解】

解：从上面看水管是两个同心圆，故俯视图是两个同心圆，

故选：B．

【点睛】

本题考查三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．

5．A

【分析】

根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得答案．

【详解】

解：

移项，得：

合并同类项，得：，

系数化为1，得．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

6．B

【分析】

根据平均数的定义可以先求出x的值，进而就可以确定这组数的中位数和众数即可得到正确的选项．

【详解】

解：根据平均数的定义可知，x=4×5-3-3-4-5=5，

这组数按照从小到大排列是：3，3，4，5，5，

这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是4，

那么由中位数的定义和众数的定义可知，这组数据的中位数是4，众数是3和5，

故选：B．

【点睛】

本题考查了中位数和众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．

7．C

【分析】

根据以原点为位似中心的对应点的坐标关系，把B点的横纵坐标都乘以或-得到B'的坐标．

【详解】

解：∵位似中心为坐标原点，作与△ABC的位似比为的位似图形△A'B'C'，
而B的坐标为（-1，1），
∴B'的坐标为（-，）或（，-）．
故选：C．

【点睛】

本题考查了位似变换，掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k是解题的关键．

8．D

【分析】

根据直角三角形的边角关系求出弧CD所对应的圆心角的度数，再根据弧长公式进行计算即可．

【详解】

解：如图，过点D作DE⊥OC，垂足为E，

∵直尺的宽度为3，即DE=3，

又∵直径AB =12,

∴半径OC=OD = 6，

∴DE=OD，

∴∠COD=30°，

∴，

故选：D．

【点睛】

本题考查弧长的计算，掌握直角三角形的边角关系和弧长的计算方法是得出正确答案的前提．

9．C

【分析】

作于点H．由题意和所作辅助线可知HE=GD=2，AG=4，AF=AD=6，EF=DE=HG．在中，利用勾股定理即可求出的长．设，则，．再在中，利用勾股定理即可列出关于x的等式，解出x即为DE的长．

【详解】

如图，作于点H．

∵AD=6，AD=3GD，

∴GD=2，AG=4．

由题意可知AF=AD=6，EF=DE．

∴在中，．

由所作辅助线可知四边形为矩形，

∴HE=GD=2，．

设，则，

∴．

∴在中，，即，

解得：．

故．

故选C．

【点睛】

本题考查矩形的性质，折叠的性质以及勾股定理．正确的添加辅助线是解答本题的关键．

10．A

【分析】

用待定系数法求出AB的解析式，根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可．

【详解】

解：设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），则

∵点，，

∴，解得：；

∴AB的解析式为，

由整理得4ax2-7x-2=0，

由△=（-7）2+4×4a×2＞0得，

①当a＞0时，
当抛物线经过B（2，1）时，则4a-4+1=1，解得a=1

②当a＜0时，
当抛物线经过点时，则4a+4+1=2，解得

综上，a的取值范围为或

故选：A

【点睛】

本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合，分类讨论是解题的关键．

11．．

【分析】

利用平方差公式分解因式即可得到答案

【详解】

解：．

故答案为：

【点睛】

本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．

12．

【分析】

直接利用概率公式求解即可求得答案．

【详解】

解：∵不透明袋子中装有除颜色外都相同的8个小球，其中白球5个，黑球3个．∴搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黑球的概率为：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

13．

【分析】

根据分式的性质，先将异分母化成同分母，再相加计算即可．

【详解】

解：，

故答案为：x+2．

【点睛】

本考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

14．

【分析】

根据“笼中上有43个头，下有102个脚”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【详解】

解：根据题意可得：，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

15．．

【分析】

将甲，乙分别分成5个部分，根据正方形网格分别得到相等面积的部分，然后求解即可．

【详解】

解：如图示，各个交点分别用，，，，，，，表示，

则，正方形网格中，，，,,,

∵，,

∴

∴，

故答案是：．

【点睛】

本题考查了网格结构的知识点，能将甲，乙两部分分别成5个部分，然后判别出面积相等的部分是解题的关键．

16．       

【分析】

（1）点F在AB上，再结合是等边三角形和可知，是直角三角形，再由三角函数与BD的长即可求解BF的长；

（2）是等边三角形，点E在AB上运动时，F点会随之运动．C为定点，但由于F点运动轨迹不清楚，CF的取值范围不好判断，所以想到将CF转化为与B点有关的相等线段，即想到在CD作一个等边三角形，构造全等，将CF转换为EG，通过求解EG的取值范围求解CF，由图可知当E点与B点重合时，EG最大，即FC最大，如图2；当时，EG最小，即FC最小，如图3．

【详解】

（1）如图1，当F在AB上时，

∵为等边三角形，

∴．

∵，

∴，

∴

故答案是：．

（2）如图，以CD为边作等边，连接CF、EG

和都是等边三角形

E在AB上运动

当E点与B点重合时，EG最大，即FC最大，如图2

当时，EG最小，即FC最小，如图3

在图2中，过F点作

是等边三角形，

在图3中即

是等边三角形，

CF的取值范围是：

故答案是：．

．

【点睛】

本题考查三角形全等的判定与性质、勾股定理、等边三角形的性质、特殊三角函数值和动点问题，属于中难题型；三角形相关知识的熟悉与添加辅助线构造全等三角形，转换CF是解题的关键．

17．（1）；（2）

【分析】

（1）分别利用绝对值的性质及零指数幂的运算法则进行化简计算，再合并即可得出结果；

（2）利用完全平方公式展开后再合并即可．

【详解】

解：（1）

；

（2）

．

【点睛】

本题考查了绝对值、零指数幂以及完全平方公式，解题的关键是掌握运算顺序和运算法则．

18．不正确，（1），（2），（3），（4），过程见解析

【分析】

第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步移项没有变号，写出正确的解答过程即可．

【详解】

解：错误的是（1），（2），（3），（4），

正确的解答过程：

由②得：y=5-x③

把③代入①得：3x-10+2x=6，

解得：x=，

把x=代入③得：y=，

∴此方程组的解为．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．

19．（1）1000人；（2）人

【分析】

(1)由B等级人数及其所占百分比可得被调查的学生人数；

(2)用总人数乘以样本中B、C、D等级人数所占百分比即可．

【详解】

解：（1）本次抽查的学生人数为：50÷5%=1000(人)；

（2）估计视力不佳的学生人数为：人．

【点睛】

本题主要考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息，这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．

20．（1）；（2），见解析；（3）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补

【分析】

（1）两直线平行，同位角相等，进行等量代换即可．
 

（2）两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，等量代换即可．

（3）观察第一问和第二问的条件和结果，就可以得出真命题．

【详解】

证明：如下图：

设DE交BC于点G
∵
∴

又∵

∴

∴

（2）如下图：设BC与DE交于点G

∵，

∴

又∵

∴，

∵

∴．

（3）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．

【点睛】

本题考查的是平行线的性质，能够根据直线平行，找到角的等量关系是解题的切入点．

21．（1）见解析；（2）

【分析】

（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=∠ACO，推出ADOC，根据平行线的性质得到∠OCD=90°，于是得到CD是⊙O的切线；

（2）求出∠OEA=∠EOC=60°，由扇形的面积公式可得出答案．

【详解】

（1）连接，

∵OC=OA，

∴∠BAC=∠ACO，

∵AC是∠BAD的平分线，

∴∠DAC=∠BAC，

∴∠DAC=∠ACO，

∴ADOC，

∴∠OCD+∠D=180°，

∵

∴∠CDA=90°，

∴∠OCD=90°，

∴CD是⊙O的切线．

（2）连接CE，OE，

∵，

∴，

∵，，

∴，

和为等边三角形

∴，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．

22．（1）；（2）①，②

【分析】

(1)根据海绵拖把工作的原理，当点转动到射线上时，如（图3），落在上，可知点上升了，使得落在上，即可知的长；

（2）转动，当时，在中，求出转动后的长，在与原作差即可求出点的上升高度；由（1）求出了的长，当点转动到射线上时，落在上，此时点与点重合，点与点重合，可以根据勾股定理求出的长度，根据点上升的高度，利用相似三角形对应边成比例可以求出点与点之间的距离．

【详解】

解：（1）根据海绵拖把工作的原理及点与点重合，，当点转动到射线上时，如（图3），落在上，可知点上升了，使得落在上，即．

（2）如图2，过点作于点．

∵，，

∴，．

∴．

∴，∴上升了．

（3）根据题意做出下图：

当点转动到射线上时，落在上，此时点与点重合，点与点重合，可以根据勾股定理求出的长度为：，

又因为上升了，

,

由勾股定理：，

，

,

解得：，

由对称性知：，

故

【点睛】

本题考查了实际生活当中常见拖把的工作原理，涉及到图形的变化、锐角三角函数、相似三角形相关知识，解题的关键是：要读懂海绵拖把的工作原理图，再根据条件中的信息，建立适当的等量关系求解．

23．（1）；（2）第30天时销售利润最大，最大利润是3100元．

【分析】

（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式，进而得出答案；
（2）利用销量×每千克利润=总利润，分别从，及分别求出最大利润，进而求出答案．

【详解】

解：（1）设，将，代入得：

，

解得，

∴第天与的函数关系式为．

（2）按的范围分类如下：

①若，，

∴当时，最大值为2888；

②若时，，

∴当时，最大值为3100；

③若，，

∵，

∴w随x增大而减小，

∴当时，最大值为2745．

综上，当时，销售利润最大，最大利润是3100元．

【点睛】

此题主要考查了待定系数法求函数关系式及二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是解题的关键．

24．（1）是，见解析；（2）6；（3）

【分析】

（1）根据坐标圆的定义判断即可．

（2）找到P点的运动轨迹：在AC的垂直平分线上，再解决将军饮马问题即可．

（3）通过作辅助线，用三角函数找到P点坐标及坐标圆的半径，再通过解析式求出A点坐标，通过两点坐标及半径列方程求解即可．

【详解】

（1）∵，

∴抛物线与坐标轴的交点，，，

∵，，，，

∴，

∴是二次函数的坐标圆．

（2），

∴，，

∴过两点，的圆的圆心在线段的中垂线上，

∴，

∴周长的最小值为6．

（3）如图所示：连接CD，过P作于E，PE的反向延长线交AB于F，连接PA

通过图像结合函数及圆的对称性可知：PE与二次函数的对称轴共线，， ，．

∵

∴

∴

∵

∴ ，， 

∴

令 ，则

解得：

∴

∵；

解得：

【点睛】

本题考查二次函数与圆的综合知识，灵活运用圆的对称性结合三角函数、二次函数的性质求解是解题的关键．