江苏省盐城市盐城市一中、大丰高级中学等四校2020-2021学年高二上学期期终考试数学试题

考试时间：2021年1月26日14:00-16:00

2020-2021学年第一学期高二年级期终考试

数学试题

命题：  校对：  审核：

一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上.

1.命题“”的否定是

 A.  B.  C.  D.

2.已知函数的导函数的图像如下，若在处有极值，则的值为

 A. B. C. D.

3.已知，则

 A.  B. C.  D.

4.平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，则平面与的位置关系是

 A.平行 B.相交且不垂直 C.相交且垂直 D.不确定

5.已知，则“”是“”的

 A. 充分不必要条件  B. 必要不充分条件 

 C. 充要条件  D. 既不必要也不充分条件

6.在三棱锥中，，，若，则

 A. B.

 C.  D.

7.已知，则的最小值为

 A. B. C. D.

8.已知函数，若存在使不等式成立，则整数的最小值为

 A. B. C. D.

二、多项选择题：本题共4题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分.

9.已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为

 A. B. C. D.

10.在正方体中，若点分别为的中点，则

 A.平面 

 B.平面 

 C.平面 

 D.平面

11.2018年世界著名的国际科技期刊《Nature》上有一篇名为《The Universal Decay of Collective Memory and Attention》的论文，该文以12个不同领域的数据指出双指数型函数在描绘人类行为时的普适作用.关于该函数下列说法中正确的有

 A.当且时函数有零点

 B.当且时函数有零点

 C.当且时函数有极值

 D.当且时函数有极值

12.已知无穷数列满足，其中为常数，，则下列说法中正确的有

 A. 若，则是等差数列

 B. 若是等差数列，则

 C. 若，，，则是等比数列

 D. 若是等比数列，则，，

三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分. 请把答案填写在答题卡相应位置上.

13.若点在抛物线上，点为该抛物线的焦点，则的值为   ▲   .

14.有一块直角三角形空地，，米，米，现欲建一矩形停车场，点分别在边上，则停车场面积的最大值为   ▲   平方米.

15.设函数，若，则有  ▲ 个零点；若有且仅有两个零点，则实数的取值范围为       ▲     .（第1空2分，第2空3分）

16.已知数列与满足，，数列的前项的和为，若恒成立，则的最小值为    ▲      .

四、解答题：本题共6题，第17题10分，其余每小题12分，共70分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分10分）

从①成等比数列，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.

已知等差数列的前项和为，，          ，，求数列的前项和为.

（注：如果选择多个条件分别解答，那么按照第一个解答计分）

18. （本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，，.

⑴求异面直线与所成角的余弦值；

⑵设，求长.

（第18题图）      

19. （本小题满分12分）

已知函数.

⑴已知在点处的切线方程为，求实数的值；

⑵已知在定义域上是增函数，求实数的取值范围.

20. （本小题满分12分）

在如图所示的四棱锥中，底面是边长为2的正方形，△是正三角形，平面平面.

⑴求平面与平面所成锐二面角的大小；

⑵设为上的动点，直线与平面所成的角为，求的最大值.

（第20题图）          

21. （本小题满分12分）

已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上．

⑴求的方程；

⑵若椭圆的左右焦点分别为 ，过点的直线l与交于A、B两点，△与△的面积分别为，，求直线l的斜率．

22. （本小题满分12分）

已知函数在和时取极值，且.

⑴已知，求的值；

⑵已知，求的取值范围.

2020-2021学年第一学期高二年级期终考试

数学参考答案

1.D 2.B 3.B 4.C 5.A 6.C 7.D 8.A

9.AD 10.AB 11.BC 12.AC 13.  14. 15.  16.

17. 解:选①，设数列的公差为，则由可得，

由成等比数列得，            

联立以上两式可得或，                        …………………………6分

若，则，，；            …………………………8分

若，则，，.           …………………………10分

选②，设数列的公差为，则由可得， 

由得，                           

联立以上两式可得，                            …………………………5分

则，，.           …………………………10分

选③，设数列的公差为，则由可得， 

∵，∴，∴，

由得，则，                        …………………………5分

则，，.           …………………………10分

18. 解：以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系，……………2分

则，，，，.     …………………4分

⑴，，

∴，                …………………7分

则异面直线与所成角的余弦值为.                      …………………8分

⑵∵为△的重心，，，，

∴，                                              …………………10分

∴.                         …………………12分

19. 解：⑴∵，∴，∴，

又在点处的切线方程为，∴，

∴，∴.                                            …………………4分

⑵的定义域为，

∵在定义域上为增函数，∴在上恒成立，

∴在上恒成立，∴，                …………………8分

由基本不等式，当且仅当时等号成立，

故，

故的取值范围为.                                    …………………12分

20.解：取的中点，取的中点，连接，

因为底面是正方形，∴，

∵△是正三角形，为的中点，∴，

又因为平面平面，平面平面，平面，

∴平面，

以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系.    …………………2分

⑴,，,则，，

设为平面的一个法向量，

则，则，令，得，，…………4分

,，,则，，

设为平面的一个法向量，

则，则，令，得，，……………6分

∴，又，∴，

∴面与平面所成锐二面角的大小为.                    …………………8分

⑵设，，则，

则，

因为直线与平面所成的角为，

∴………………10分

，当且仅当时取等号，

故求的最大值为.                                      …………………12分

21. 解：⑴由得，故的方程为.    …………………4分

⑵，显然与轴不垂直，故可设，设，，

由消去得，

则，，                             …………………6分

由得，                                        …………………8分

则，，

消去可得，故，

得的斜率为.                                             …………………12分

22. 解：⑴∵，∴，

∵在和时取极值，∴，

∴，是的两个不等实根，

∴ ，，解得，

经检验，符合题意.                                               …………………4分

⑵由⑴知，，

∴

∵，是的两个不等实根，

∴，，

∴，，

∴

           …………………8分

设，

∵，∴，①

又，是的两个不等实根，

∴△=，得，②

由①②知，                                            …………………10分

而，设，则，，

由二次函数的性质可知在上恒成立，

则在上恒成立，则在上单调递减，

而，，故的取值范围为.  …………………12分