2022-2023学年江苏省盐城市大丰区南阳中学高二上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年江苏省盐城市大丰区南阳中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据直线方程可得其斜率，结合斜率与倾斜角的关系，即可得到结果.

【详解】因为直线，即

所以，且

所以

故选:D.

2．已知直线，.当时，的值为（    ）

A．1 B． C．或1 D．

【答案】B

【分析】利用两直线平行的充要条件即得.

【详解】由直线，，

∴，得.

故选：B.

3．圆的方程为，则圆心坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据圆的一般方程可求出结果.

【详解】由可知，，

所以，，

所以圆心为.

故选：D.

4．椭圆的焦点的坐标为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】利用椭圆的焦点求解公式求解即可.

【详解】解：因为椭圆方程为，，，

所以，且焦点在轴上，

所以焦点坐标为：，.

故选：B.

【点睛】本题考查椭圆的焦点坐标的求法，考查运算能力，属于基础题.

5．直线分别交轴和于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由中点坐标求出直线交轴和于两点坐标，从而得到直线方程

【详解】直线分别交轴和于两点，设点、，

因为是线段的中点，

由中点坐标公式得解得，

所以点、，则直线的方程为，化简得

故选

【点睛】这是一道考查直线性质的题目，解题的关键是求出直线的截距，然后求出直线方程．

6．双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据双曲线方程直接写出渐近线方程即可.

【详解】由双曲线方程知：，，而渐近线方程为，

所以双曲线渐近线为.

故选：B

7．两圆与的公切线有（    ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】D

【分析】求得圆心坐标分别为，半径分别为，根据圆圆的位置关系的判定方法，得出两圆的位置关系，即可求解.

【详解】由题意，圆与圆，

可得圆心坐标分别为，半径分别为，

则，

所以，可得圆外离，

所以两圆共有4条切线.

故选：D.

8．若抛物线上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为（    ）

A．3 B． C．2 D．1

【答案】B

【解析】设，则，解得，故，计算得到答案.

【详解】设，M到坐标原点O的距离为，解得，故.

点M到该抛物线焦点的距离为.

故选：.

【点睛】本题考查了抛物线中的距离问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

二、多选题

9．已知双曲线，则（    ）

A．双曲线C的虚轴长为 B．双曲线C的实轴长为2

C．双曲线C的离心率为2 D．双曲线C的渐近线方程为

【答案】BC

【分析】由双曲线的标准方程得到，再对选项逐一判断即可.

【详解】由双曲线，可得，则

所以

即实轴长为，虚轴长为，离心率

渐近线方程为，即

故选:BC.

10．已知直线：在轴和轴上的截距相等，则的值可能是（    ）

A．1 B．

C．2 D．

【答案】AD

【分析】当时不符合题意，再讨论直线过原点时求出的值，当直线不过原点时，求出横截距和纵截距列方程即可求解.

【详解】当时，直线为不符合题意，所以，

若直线过原点，则，解得；

若直线不过原点，令可得；令可得；

所以在轴上的截距为，在轴上的截距为，

所以，可得，

综上所述：的值可能是1或.

故选：AD.

11．若曲线：，下列结论正确的是（    ）

A．若曲线是椭圆，则 B．若曲线是双曲线，则

C．若曲线是椭圆，则焦距为 D．若曲线是双曲线，则焦距为

【答案】BCD

【分析】根据方程表示椭圆、双曲线的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项

【详解】对于A，时，系数为正数，系数为负数，曲线不是椭圆，故不正确；

对于B，若曲线为双曲线，则，解得，故正确；

对于C，若曲线为椭圆，则，

故即所以，故正确；

对于D，若曲线为双曲线，则，

故即，所以，故正确；

故选：BCD

12．已知圆M：，则下列说法正确的是（        ）

A．点在圆M外 B．圆M的半径为

C．直线截圆M的弦长为3 D．圆M关于对称

【答案】BD

【分析】将圆的方程标准化即可判断B项，运用比较已知点到圆心的距离与半径即可判断A项，由弦长公式计算可判断C项，由直线是否过圆心可判断D项.

【详解】因为，

所以圆心坐标为，半径为，故B项正确；

对于A项，因为点到圆心的距离，

所以点在圆M内，故A项错误；

对于C项，因为圆心到直线的距离为，

所以弦长为，故C项错误；

对于D项，因为直线过圆M的圆心，

所以圆M关于对称，故D项正确.

故选：BD.

三、填空题

13．直线的斜率为            ．

【答案】

【分析】把直线方程化为斜截式方程进行求解即可.

【详解】，

因此该直线的斜率为，

故答案为：

14．抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程是      ．

【答案】

【分析】根据题意求，进而可得结果.

【详解】由题意可得：，则，

所以抛物线的标准方程是.

故答案为：.

15．若与平行，则的距离为         .

【答案】

【分析】先由两直线平行求解，再利用平行线间的距离公式，即得解

【详解】由题意，直线，

直线，故，即.

故，，

则的距离.

故答案为：

16．以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为          

【答案】(x－2)2＋(y＋1)2＝9

【分析】根据点到直线的距离公式，求出点到直线的距离，可得圆的半径，再由圆的标准方程，即可得到满足条件的圆的方程.

【详解】因为圆以点(为圆心且与直线相切，

所以圆心到直线的距离等于半径,

即，

所求圆的方程为，

故答案为.

【点睛】本题主要考查圆的方程和性质，属于中档题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.本题是利用方法②解答的.

四、解答题

17．求过点且与直线垂直的直线l的方程．

【答案】

【分析】利用垂直求出直线l的斜率，即可求出直线l的方程.

【详解】因为与直线垂直的直线l，

所以，解得：，

所以过点且与直线垂直的直线l的方程为，

即.

18．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）经过两点(2，)，；

（2）过点(，)，且与椭圆有相同的焦点．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）分类讨论焦点在x轴上、焦点在y轴上，将点坐标代入椭圆方程联立求解或者设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1，待定系数求解，即得解；

（2）可分析得焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为，代入点坐标，结合焦点坐标，联立即得解

【详解】（1）方法一　(分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为 (a>b>0)．

由已知条件得解得

所以所求椭圆的标准方程为.

若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为 (a>b>0)．

由已知条件得解得    

则a2<b2，与题设中a>b>0矛盾，舍去．

综上，所求椭圆的标准方程为.

方法二　(待定系数法)设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．

将两点(2，)，代入，

得解得

所以所求椭圆的标准方程为

（2）因为所求椭圆与椭圆的焦点相同，

所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.

设它的标准方程为

(a>b>0)．

因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①

又点在椭圆上，所以，

即.②

由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为

19．已知方程表示双曲线

（1）求实数m 的取值范围；

（2）当m=2时，求双曲线的焦点到渐近线的距离.

【答案】（1）（2）

【详解】试题分析：（1）由双曲线方程特点得，解得m 的取值范围；（2）双曲线的焦点到渐近线的距离为b,再根据双曲线标准方程求b

试题解析：（1）因为方程表示双曲线，

所以，解得：

故实数m的取值范围为

（2）当m=2时，双曲线方程为

因为双曲线的焦点在x轴上，

所以焦点坐标为；

渐进线方程为

故焦点到渐近线的距离为

【点睛】1.已知双曲线方程求渐近线：

2.已知渐近线 设双曲线标准方程

3.双曲线焦点到渐近线距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点.

20．已知圆C经过坐标原点O和点（4，0），且圆心在x轴上

(1)求圆C的方程；

(2)已知直线l：与圆C相交于A、B两点，求所得弦长的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长.

【详解】（1）由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为；

（2）由（1）可知：圆C半径为，设圆心（2，0）到l的距离为d，则，由垂径定理得：．

21．已知直线l过定点，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B．点O为坐标原点．

(1)若的面积为4，求直线l的方程；

(2)求的最小值，并求此时直线l的方程．

【答案】(1)

(2)；

【分析】（1）根据题意设直线方程为，分别令，，得到，，再由求解；

（2）由，利用基本不等式求解.

【详解】（1）解：由题意得：直线l的斜率存在，设为 ，

则直线方程为，

令，得；令，得，

所以，

解得，

此时直线方程为，即；

（2），

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为，此时直线方程为，

即.

22．已知椭圆的焦点为，该椭圆经过点P（5,2）

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若椭圆上的点满足，求y0的值.

【答案】（1）（2）   

【详解】试题分析：（1）根据椭圆定义得a，再根据c求b（2）由得,再与椭圆方程联立解得y0的值.

试题解析：（1）依题意，设所求椭圆方程为

其半焦距c=6.

因为点P（5,2）在椭圆上，

所以

所以

故所求椭圆的标准方程是

（2）由得

即代入椭圆方程得：

 故