2021年高考数学(理数)二轮复习仿真冲刺卷四(含答案解析)

2021年高考数学(理数)二轮复习

仿真冲刺卷四

一、选择题

1.已知集合A={1,2,3},B={1,3,4,5},则A∩B的子集个数为(　　)

A.2                         B.3          C.4            D.16

2.已知复数z=(i为虚数单位),则复数z的共轭复数的虚部为(　　)

A.i                         B.-i         C.1            D.-1

3.已知a>b,则条件“c≥0”是条件“ac>bc”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

4.已知a=21.2,b=,c=2log52,则a,b,c的大小关系是(　　)

A.b<a<c                       B.c<a<b          C.c<b<a       D.b<c<a

5.某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有(　　)

A.16种        B.36种         C.42种         D.60种

6.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经四处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图表达如图所示,若最终输出的x=0,则一开始输入的x的值为(　　)

A.                      B.                       C.          D.

7.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,若A=,b=,△ABC的面积为,

则a等于(　　)

A.          B.                         C.2         D.

8.已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x1,x2(x1>x2),则下列结论正确的是(　　)

A.1<x1<2,x1+x2<2

B.1<x1<2,x1+x2<1

C.x1>1,x1+x2<2

D.x1>1,x1+x2<1

9.《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱;阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图,在堑堵ABCA1B1C1中,AC⊥BC,若A1A=AB=2,当阳马BA1ACC1的体积最大时,堑堵ABCA1B1C1的体积为(　　)

A.                        B.                        C.2           D.2

10.已知函数f(x)=asin x-2cos x的一条对称轴为直线x=-,且f(x1)·f(x2)=-16,

则|x1+x2|的最小值为(　　)

A.                        B.            C.            D.

11.抛物线y2=8x的焦点为F,设A,B是抛物线上的两个动点,|AF|+|BF|=|AB|,

则∠AFB的最大值为(　　)

A.                         B.                        C.           D.

12.关于x的方程xln x-kx+1=0在区间[e-1,e]上有两个不等实根,则实数k的取值范围是(　　)

A.(1,1+e-1]        B.(1,e-1]        C.[1+e-1,e-1]                     D.(1,+∞)

二、填空题

13.多项式(4x2-2)(1+)5展开式中的常数项是　　   　. 

14.设x,y满足约束条件且x,y∈Z,则z=3x+5y的最大值为　   　. 

15.已知△ABC是直角边为2的等腰直角三角形,且A为直角顶点,P为平面ABC内一点,

则·(+)的最小值是　　. 

16.双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的焦点为F1,F2,其中F2为抛物线C2:y2= 2px(p>0)的焦点,

设C1与C2的一个交点为P,若|PF2|=|F1F2|,则C1的离心率为　　　　. 

三、解答题

17.设正项等比数列{an}中,a4=81,且a2,a3的等差中项为(a1+a2).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若bn=log3a2n-1,数列{bn}的前n项和为Sn,数列{cn}满足cn=,

Tn为数列{cn}的前n项和,求Tn.

18.某教师为了了解高三一模所教两个班级的数学成绩情况,将两个班的数学成绩(单位:分)绘制成如图所示的茎  叶图.

(1)分别求出甲、乙两个班级数学成绩的中位数、众数;

(2)若规定成绩大于等于115分为优秀,分别求出两个班级数学成绩的优秀率;

(3)从甲班中130分以上的5名同学中随机抽取3人,求至多有1人的数学成绩在140分以上的概率.

19.如图,已知四棱锥SABCD,底面梯形ABCD中,BC∥AD,平面SAB⊥平面ABCD,△SAB是等边三角形,已知AC=2AB=4,BC=2AD=2DC=2.

(1)求证:平面SAB⊥平面SAC;

(2)求二面角BSCA的余弦值.

20.已知椭圆C:+=1(a>0)的焦点在x轴上,且椭圆C的焦距为2.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)过点R(4,0)的直线l与椭圆C交于两点P,Q,过P作PN⊥x轴且与椭圆C交于另一点N,F为椭圆C的右焦点,求证:三点N,F,Q在同一条直线上.

21.若∀x∈D,总有f(x)<F(x)<g(x),则称F(x)为f(x)与g(x)在D上的一个“严格分界函数”.

(1)求证:y=ex是y=1+x和y=1+x+在(-1,0)上的一个“严格分界函数”;

(2)函数h(x)=2ex+-2,若存在最大整数M使得h(x)>在x∈(-1,0)恒成立,

求M的值.(e=2.718…是自然对数的底数,≈1.414,≈1.260)

22.选修44:坐标系与参数方程:

已知曲线C1的参数方程是(θ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=4sin θ.

(1)求曲线C1与C2交点的平面直角坐标;

(2)A,B两点分别在曲线C1与C2上,当|AB|最大时,求△OAB的面积(O为坐标原点).

23.选修45:不等式选讲:

已知函数f(x)=|x+1|+|x-3|,g(x)=a-|x-2|.

(1)若关于x的不等式f(x)<g(x)有解,求实数a的取值范围;

(2)若关于x的不等式f(x)<g(x)的解集为(b,3.5),求a+b的值.

0.参考答案

1.答案为：C；

解析：A∩B={1,3},所以A∩B的子集个数为4,故选C.

2.答案为：C；

解析：z===2-i,所以=2+i,的虚部为1,故选C.

3.答案为：B；

解析：当时,ac>bc不成立,所以充分性不成立,

当时c>0成立,c≥0也成立,所以必要性成立,

所以“c≥0”是条件“ac>bc”的必要不充分条件,选B.

4.答案为：C；

解析：因为b==20.2<21.2=a,所以a>b>1.又因为c=2log52=log54<1,所以c<b<a,故选C.

5.答案为：D；

解析：法一:(直接法)若3个不同的项目被投资到4个城市中的3个,每个城市1个,

共种投资方案;若3个不同的项目被投资到4个城市中的2个,一个城市1个、

一个城市2个,共种投资方案.由分类加法计数原理知共+=60种投资方案.

法二:(间接法)先任意安排3个项目,每个项目各有4种安排方法,共43=64种投资方案,

其中3个项目落入同一个城市的投资方案不符合要求,共4种,

所以总投资方案共43-4=64-4=60(种).

6.答案为：C；

解析：i=1,

(1)x=2x-1,i=2,

(2)x=2(2x-1)-1=4x-3,i=3,

(3)x=2(4x-3)-1=8x-7,i=4,

(4)x=2(8x-7)-1=16x-15,i=5,

所以输出16x-15=0,得x=,故选C.

7.答案为：D；

解析：由A=,b=,△ABC的面积为,得=b·c·sin,

从而有c=2,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=2+8+4,即a=,故选D.

8.答案为：A；

解析：函数f(x)=|2x-2|+b有两个零点,即y=|2x-2|与y=-b的图象有两个交点,

交点的横坐标就是x1,x2(x2<x1),在同一坐标系中画出y=|2x-2|与y=-b的图象(如图),

可知1<x1<2.

当y=-b=2时,x1=2,两个函数图象只有一个交点,当y=-b<2时,由图可知x1+x2<2.

9.答案为：C；

解析：设底面直角三角形的两直角边长分别为a,b,则a2+b2=4,

阳马BA1ACC1的体积为=ab≤(a2+b2)=,

当且仅当a=b=时,取等号,

此时堑堵ABCA1B1C1 的体积为=ab×2=2,故选C.

10.答案为：C；

解析：f(x)=asin x-2cos x=sin(x+θ),

由于函数f(x)的对称轴为直线x=-,所以f(-)=-a-3,

则|-a-3|=,解得a=2;所以f(x)=4sin(x-),

由于f(x1)·f(x2)=-16,所以函数f(x)必须取得最大值和最小值,

所以x1=2k1π+,x2=2k2π-,k1,k2∈Z,所以x1+x2=2(k1+k2)π+,

所以|x1+x2|的最小值为.故选C.

11.答案为：D；

解析：设|AF|=m,|BF|=n,则m+n=|AB|,在△ABF中,由余弦定理

cos ∠AFB===.

因为m+n=|AB|≥2,所以≥mn,

所以cos∠AFB≥-,所以∠AFB≤π,所以∠AFB的最大值为,故选D.

12.答案为：A；

解析：关于x的方程xln x-kx+1=0,

即ln x+=k,令函数f(x)=ln x+,若方程xln x-kx+1=0

在区间[e-1,e]上有两个不等实根,即函数f(x)=ln x+与y=k

在区间[e-1,e]上有两个不相同的交点,f′(x)=-,令-=0可得x=1,

当x∈[e-1,1)时f′(x)<0,函数是减函数,

当x∈(1,e)时,f′(x)>0,函数是增函数,函数的最小值为f(1)=1.

f(e-1)=-1+e,f(e)=1+e-1.函数的最大值为-1+e.

关于x的方程xln x-kx+1=0在区间[e-1,e]上有两个不等实根,

则实数k的取值范围是(1,1+e-1].故选A.

13.答案为：18；

解析:多项式(4x2-2)(1+)5展开式中的常数项是4-2=18.

14.答案为：13；

解析:由约束条件作出可行域如图,作出直线3x+5y=0,

因为x,y∈Z,所以平移直线3x+5y=0至(1,2)时,

目标函数z=3x+5y的值最大,最大值为13.

15.答案为：-1

解析:以BC的中点为原点O,以BC为x轴,以BC边上的高为y轴建立坐标系,

△ABC是直角边为2的等腰直角三角形,且A为直角顶点,斜边BC=2,

则A(0,),B(-,0),C(,0),设P(x,y),则+=2=(-2x,-2y),

=(-x,-y),所以·(+)=2x2+2y2-2y=2x2+2(y-)2-1,

所以当x=0,y=时,·(+)取得最小值-1.

16.答案为：1+；

解析:设P(m,n)位于第一象限,可得m>0,n>0,

由题意可得F2(,0),且双曲线的c=,

抛物线的准线方程为x=-,由抛物线的定义可得m+=|PF2|=|F1F2|=2c,即有m=c,n===2c,即P(c,2c),代入双曲线的方程可得-=1,

即为e2-=1,化为e4-6e2+1=0,解得e2=3+2(e2=3-2舍去),

可得e=1+.

17.解:(1)设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),

由题意,得解得

所以an=a1qn-1=3n.

(2)由(1)得bn=log332n-1=2n-1,

Sn===n2,所以cn==(-),

所以Tn=[(1-)+(-)+…+(-)]=.

18.解:(1)由所给的茎叶图知,甲班50名同学的成绩由小到大排序,

排在第25,26位的是108,109,数量最多的是103,

故甲班数学成绩的中位数是108.5,众数是103;

乙班48名同学的成绩由小到大排序,排在第24,25位的是106,107,数量最多的是92和101,

故乙班数学成绩的中位数是106.5,众数为92和101.

(2)由茎叶图中的数据可知,甲班中数学成绩为优秀的人数为20,优秀率为=;

乙班中数学成绩为优秀的人数为18,优秀率为=.

(3)将分数为131,132,136的3人分别记为a,b,c,分数为141,146的2人分别记为m,n,

则从5人中抽取3人的不同情况有abc,abm, abn,acm,acn,amn,bcm,bcn,bmn,cmn,

共10种情况.

记“至多有1人的数学成绩在140分以上”为事件M,则事件M包含的情况有abc,abm,abn,acm,acn,bcm,bcn,共7种情况,所以从这5名同学中随机抽取3人,

至多有1人的数学成绩在140分以上的概率为P(M)=0.7.

19. (1)证明:在△BCA中,由于AB=2,CA=4,BC=2,

所以AB2+AC2=BC2,故AB⊥AC.

又平面SAB⊥平面ABCD,平面SAB∩平面ABCD=AB,AC⊂平面ABCD,

所以AC⊥平面SAB,

又AC⊂平面SAC,故平面SAC⊥平面SAB.

(2)解:如图,建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),

S(1,0,),C(0,4,0),=(1,-4,),=(-2,4,0),=(0,4,0).

设平面SBC的法向量n=(x1,y1,z1),

⇒

令y1=1,则x1=2,z1=,所以n=(2,1,).

设平面SCA的法向量m=(x2,y2,z2),⇒

令x2=-,所以m=(-,0,1).所以|cos<n,m>|==,

易知二面角BSCA的平面角为锐角,

所以二面角BSCA的余弦值为.

20. (1)解:因为椭圆C:+=1(a>0)的焦点在x轴上,

所以a2>7-a2>0,即3.5<a2<7,

因为椭圆C的焦距为2,且a2-b2=c2,

所以a2-(7-a2)=1,解得a2=4,

所以椭圆C的标准方程为+=1.

(2)证明:由题知直线l的斜率存在,

设l的方程为y=k(x-4),点P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x1,-y1),

则得3x2+4k2(x-4)2=12,

即(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0,Δ>0,x1+x2=,x1x2=,

由题可得直线QN的方程为y+y1=(x-x1),

又因为y1=k(x1-4),y2=k(x2-4),

所以直线QN的方程为y+k(x1-4)=(x-x1),

令y=0,整理得

x=+x1=

===1,即直线QN过点(1,0),

又因为椭圆C的右焦点坐标为F(1,0),

所以三点N,F,Q在同一条直线上.

21. (1)证明:令(x)=ex-1-x,则′(x)=ex-1.

当x<0时,′(x)<0,故(x)在(-1,0)上为减函数,

因此(x)>(0)=0,故对∀x∈(-1,0)都有ex>1+x.

再令t(x)=ex-1-x-,当x<0时,t′(x)=ex-1-x>0,

故t(x)在(-1,0)上为增函数.因此t(x)<t(0)=0,

所以对∀x∈(-1,0)都有ex<1+x+,

故y=ex是y=1+x和y=1+x+在(-1,0)上的一个“严格分界函数”.

(2)由(1)知当x∈(-1,0)时,

h(x)=2ex+-2>2(1+x)+-2≥2-2≈0.828.

又h(x)=2ex+-2<2(1+x+)+-2=x2+2x+,

令m(x)=x2+2x+=(x+1)2+-1,m′(x)=2(x+1)-,

令m′(x)=0,解得x=-1+(),

易得m(x)在(-1,-1+())上单调递减,在(-1+(),0)上单调递增,则m(x)min=m(-1+())=()+-1=-1≈0.890.

又h′(x)=2ex-在x∈(-1,0)存在x0使得h′(x0)=0,

故h(x)在x∈(-1,0)上先减后增,

则有h(x)min≤h(-1+())<m(-1+())≈0.890,

则0.828<h(x)min< 0.890,所以h(x)min>,则M=8.

22.解:(1)因为曲线C1的参数方程是(θ为参数),

所以曲线C1的平面直角坐标方程为(x+2)2+y2=4.①

又由曲线C2的极坐标方程是ρ=4sin θ,

得ρ2=4ρsin θ,所以x2+y2=4y,②

把①②两式作差,得y=-x,

代入x2+y2=4y,得2x2+4x=0,

解得或

所以曲线C1与C2交点的平面直角坐标为(0,0),(-2,2).

(2)如图,由平面几何知识可知,当A,C1,C2,B依次排列且共线时,|AB|最大,

此时|AB|=2+4,

O到AB的距离为,

所以△OAB的面积为S=(2+4)·=2+2.

23.解:(1)f(x)<g(x)有解即|x+1|+|x-2|+|x-3|<a有解,

令H(x)=|x+1|+|x-2|+|x-3|.

则H(x)=

由H(x)图象知,H(x)min=H(2)=4,

所以a>4,即a的取值范围为(4,+∞).

(2)由(1)f(x)<g(x)解集即H(x)<a的解集为(b,3.5),

则则a=H()=,

若b>3,由3b-4=得b==(不合题),

若2<b≤3,则b+2=,b=(不合题),

若-1<b≤2,则-b+6=,b=-(合题).

则a+b=-=6.