2021年高考数学(理数)二轮复习仿真冲刺卷二含答案）

2021年高考数学(理数)二轮复习仿真冲刺卷三

一、选择题

1.i是虚数单位,则复数的虚部为(　　)

A.3                        B.-3           C.3i             D.-4i

2.命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是(　　)

A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2

B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2

C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2

D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2

3.已知函数f(x)为偶函数,且函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称.若g(3)=2,则f(-2)等于(　　)

A.-2           B.2           C.-3               D.3

4.一个五面体的三视图如图,正视图是等腰直角三角形,侧视图是直角三角形,则此五面体的体积为(　　)

A.1                         B.2           C.3            D.4

5.《算法统宗》是中国古代数学名著.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“竹筒容米”就是其中一首:家有八節竹一莖,为因盛米不均平;下頭三節三生九,上梢三節貯三升;唯有中間二節竹,要将米数次第盛;若是先生能算法,也教算得到天明!大意是:用一根8节长的竹子盛米,每节竹筒盛米的容积是不均匀的.下端3节可盛米3.9升,上端3节可盛米3升,要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米,中间两节可盛米多少升.由以上条件,要求计算出这根八节竹筒盛米的容积总共为(　　)

A.9.0升                      B.9.1升                     C.9.2升         D.9.3升

6.已知(x+)(2x-)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为(　　)

A.-40          B.-20         C.20           D.40

7.富华中学的一个文学兴趣小组中,三位同学张博源、高家铭和刘雨恒分别从莎士比亚、雨果和曹雪芹三位名家中选择了一位进行性格研究,并且他们选择的名家各不相同.三位同学一起来找图书管理员刘老师,让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象.刘老师猜了三句话:“①张博源研究的是莎士比亚;②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹;③高家铭自然不会研究莎士比亚.”很可惜,刘老师的这种猜法,只猜对了一句,据此可以推知张博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是(　　)

A.曹雪芹、莎士比亚、雨果

B.雨果、莎士比亚、曹雪芹

C.莎士比亚、雨果、曹雪芹

D.曹雪芹、雨果、莎士比亚

8.如图,在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1,O2,这两个球相外切,且球O1与正方体共顶点A的三个面相切,球O2与正方体共顶点B1的三个面相切,则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是(　　)

9.执行如图所示的程序框图,若输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为(　　)

A.0           B.1             C.2            D.3

10.设函数f′(x)是定义在(0,π)上的函数f(x)的导函数,

有f(x)sin x-f′(x)cos x<0,a=f(),b=0,c=-f(),则(　　)

A.a<b<c                   B.b<c<a        C.c<b<a                   D.c<a<b

11.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0,||<),f(0)=,f(x)在A(x0,y0)处取得极大值,

B(x0-,0),C(x0,-y0),△ABC是锐角三角形,则下列结论正确的是(　　)

A.存在x∈(0,),使得f(x)=1成立             

B.若存在x>0,使得f(x)=1,则必有x>

C.存在m>0,使得f(x)在(0,m)内单调递减             

D.存在x∈(0,),使得f(x)=0成立

12.如图,F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2的直线与双曲线C交于A,B两点.若|AB|∶|BF1|∶|AF1|=3∶4∶5.则双曲线的离心率为(　　)

A.                      B.2                        C.3                        D.

二、填空题

13.在一次马拉松比赛中,30名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编号为1～30号,再用系统抽样方法从中抽取6人,则其中成绩在区间[130,151]上的运动员人数是　　　　. 

14.若数列{an}的首项a1=2,且an+1= 3an+2(n∈N*),令bn=log3(an+1),

则b1+b2+b3+…+b100=　　　. 

15.设x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为　　   　. 

16.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M,若|AB|=6,则|FM|=　  　　. 

三、解答题

17.如图所示,在△ABC中,B=,=λ(0<λ<1),AD=BD=,AC=.

(1)求证:△ABD是等腰三角形;

(2)求λ的值以及△ABC的面积.

18.已知某企业近3年的前7个月的月利润(单位:百万元)如下面的折线图所示.

(1)试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润较高?

(2)通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势;

(3)试以第3年的前4个月的数据(如表),用线性回归的拟合模式估计第3年8月份的利润.

相关公式:==,=-.

19.如图所示,AB是半圆O的直径,C是半圆O上除了A,B外的一个动点,DC垂直于半圆O所在的平面,DC=EB,DC∥EB,AB=4,tan∠EAB=.

(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;

(2)当AC=BC时,求二面角DAEB的余弦值.

20.已知O为坐标原点,抛物线C:y2=nx(n>0)在第一象限内的点P(2,t)到焦点的距离为,曲线C在点P处的切线交x轴于点Q,直线l1经过点Q且垂直于x轴.

(1)求线段OQ的长;

(2)设不经过点P和Q的动直线l2:x=my+b交曲线C于点A和B,交l1于点E,若直线PA,PE,PB的斜率依次成等差数列,试问:l2是否过定点?请说明理由.

21.已知函数f(x)=+ax+2ln x(a∈R)在x=2处取得极值.

(1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间;

(2)已知方程f(x)=m有三个实根x1,x2,x3(x1<x2<x3),求证:x3-x1<2.

22.选修44:坐标系与参数方程：

在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C1的方程为ρ(ρ-4sin θ)=12,定点A(6,0),点P是曲线C1上的动点,Q为AP的中点.

(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程;

(2)直线l与直线C2交于M,N两点,若|MN|≥2,求实数a的取值范围.

23.选修45:不等式选讲：

已知不等式|x|+|x-3|<x+6的解集为(m,n).

(1)求m,n的值;

(2)若x>0,y>0,nx+y+m=0,求证:x+y≥16xy.

0.答案解析

1.答案为：A；

解析：==-3+3i,所以虚部为3.故选A.

2.答案为：D；

解析：由于特称命题的否定形式是全称命题,全称命题的否定形式是特称命题,所以“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2”.

3.答案为：D；

解析：因为函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,且g(3)=2,所以f(2)=3.因为函数f(x)为偶函数,所以f(-2)=f(2)=3.故选D.

4.答案为：B；

解析：由三视图可得,该几何体是一个四棱锥,且底面是一个上、下底分别为1和2,高为2的直角梯形,棱锥高为2,所以该四棱锥的体积是V=××(1+2)×2×2=2.故选B.

5.答案为：C；

解析：由题意要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米,设相差的同一数量为d升,下端第一节盛米a1升,由题意得

解得a1=1.36,d=-0.06,

所以中间两节可盛米的容积为

a4+a5=(a1+3d)+(a1+4d)=2a1+7d=2.3.

这根八节竹筒盛米的容积总共为2.3+3.9+3=9.2(升).

故选C.

6.答案为：D；

解析：在(x+)(2x-)5中,令x=1,得(1+a)(2-1)5=2,即a=1.原式=x·(2x-)5+(2x-)5,

故常数项为x·(2x)2(-)3+·(2x)3·=-40+80=40.故选D.

7.答案为：A；

解析：假设“张博源研究的是莎士比亚”正确,那么“高家铭自然不会研究莎士比亚”也是正确的,这不符合“刘老师只猜对了一句”这一条件,所以假设错误;假设“高家铭自然不会研究莎士比亚”正确,故①不正确,即张博源研究的不是莎士比亚,②不正确,即刘雨恒研究的肯定是曹雪芹.这样的话莎士比亚没人研究了,所以此假设错误;前两次假设都是错误的,那么“刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹”就是老师猜对了的那句,那么其他两句话是猜错的,即高家铭研究莎士比亚,那么张博源只能研究曹雪芹,刘雨恒研究雨果.故顺序为曹雪芹、莎士比亚、雨果,故选A.

8.答案为：B；

解析：由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切,排除C,D,把其中一个球扩大为与正方体相切,则另一个球被挡住一部分,由于两球半径不等,所以排除A;B正确.故选B.

9.答案为：C；

解析：由程序框图知,算法的功能是求可行域内,

目标函数S=2x+y的最大值,画出可行域,如图中阴影所示.

当x=1,y=0时,S=2x+y的值最大,且最大值为2.故选C.

10.答案为：A；

解析：令g(x)=f(x)cos x,则g′(x)=f′(x)cos x-f(x)sin x>0,

当0<x<π时,g(x)在(0,π)上单调递增,

因为0<<<<π,所以cos f()<cos f()<cos f(),

化为f()<0<-f(),即a<b<c,故选A.

11.B　由f(0)=,得sin =,又||<,所以=,

即f(x)=sin(ωx+),当ωx+=+2kπ,k∈Z,

即x=+,k∈Z时,f(x)取得极大值1,即A(+,1),又△ABC是锐角三角形,BC=BA,

因而∠ABC<,则<1,∈(,+∞),

则x=+>+4k,k∈Z,若x>0,则k≥0,得x>,因而A错误,B正确,

由-+2kπ≤ωx+≤+2kπ得-+≤x≤+,

则对m>0,使得f(x)在(0,m)内单调递增或有增有减,C错误,

若f(x)=0,则ωx+=kπ,k∈Z,即x=-,k∈Z,当k>0时,x>2k-≥,x>,

当k≤0时,x<2k-≤-,则x∉(0,),D错误.故选B.

12.答案为：A；

解析：因为|AB|∶|BF1|∶|AF1|=3∶4∶5,所以设|AB|=3x,|BF1|=4x,|AF1|=5x,

所以△ABF1为直角三角形.又点B在双曲线左支上,则|BF2|-|BF1|=2a,

故|BF2|=|BF1|+2a=4x+2a,从而可知|AF2|=x+2a,

又|AF1|-|AF2|=2a,则5x-x-2a=2a,因此x=a.

Rt△F1BF2中,|BF2|2+|BF1|2=4c2,即(4x+2a)2+(4x)2=4c2,所以(4a+2a)2+(4a)2=4c2.

整理得52a2=4c2,即=13,因此=,即e=.

13.答案为：5

解:将运动员按成绩由好到差分成6组,则第1组为(130,130, 133,134,135),

第2组为(136,136,138,138,138),第3组为(141,141, 141,142,142),

第4组为(142,143,143,144,144),第5组为(145,145, 145,150,151),

第6组为(152,152,153,153,153),

故成绩在区间[130, 151]内的恰有5组,共25人,故应抽取6×=5(人).

14.答案为：5 050

解析:因为数列{an}的首项a1=2,且an+1=3an+2(n∈N*),

所以+1=3(an+1),a1+1=3,

所以{an+1}是首项为3,公比为3的等比数列,

所以an+1=3n,所以bn=log3(an+1)=log33n=n,

所以b1+b2+b3+…+b100=1+2+3+…+100==5 050.

15.答案为：2

解析:作可行域如图阴影部分所示,其中A(-1,2),B(4,-2),C(3,-3),

当直线y=-x+z过点B(4,-2)时,z=x+y取得最大值,最大值为2.

16.答案为：3

解析:因为抛物线y2=4x,所以p=2,

设直线l的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),

直线y=k(x-1)代入y2=4x,整理可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2=2+,

利用抛物线定义,x1+x2=|AB|-p=6-2=4.所以AB中点横坐标为2,

所以2+=4,所以k=±,AB中点纵坐标为k,

AB的垂直平分线方程为y-k=-(x-2),令y=0,可得x=4,所以|FM|=3.

17. (1)证明:在△ABD中,AD=,BD=1,

所以由正弦定理=,得sin∠BAD==,

所以∠BAD=,所以∠ADB=π--=,

所以△ABD是等腰三角形.

(2)解:由(1)知∠BAD=∠BDA=,所以AB=BD=1,∠ADC=.

在△ACD中,由余弦定理AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos∠ADC,

得13=3+CD2-2××CD×(-).

整理得CD2+3CD-10=0,解得CD=-5(舍去),CD=2,

所以BC=BD+CD=3,所以λ=.

所以S△ABC=AB·BC·sin B=×1×3×=.

18.解:(1)由折线图可知5月和6月的月平均利润最高.

(2)第1年前7个月的总利润为1+2+3+5+6+7+4=28(百万元),

第2年前7个月的总利润为2+5+5+4+5+5+5=31(百万元),

第3年前7个月的总利润为4+4+6+6+7+6+8=41(百万元),

所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势.

(3)因为=2.5,=5,=12+22+32+42=30,

xiyi=1×4+2×4+3×6+4×6=54,所以==0.8,

所以=5-2.5×0.8=3,所以=0.8x+3,

当x=8时,=0.8×8+3=9.4.所以估计第3年8月份的利润为9.4百万元.

19. (1)证明:因为AB是半圆O的直径,所以BC⊥AC.

因为CD⊥平面ABC,所以CD⊥CB.所以BC⊥平面ACD.

因为CD=EB,CD∥EB,所以BCDE是平行四边形.

所以BC∥DE,所以DE⊥平面ACD.

因为DE⊂平面ADE,所以平面ADE⊥平面ACD.

(2)解:依题意,EB=AB·tan∠EAB=4×=1,AC=BC=2.

如图所示,建立空间直角坐标系Cxyz,

则D(0,0,1),E(0,2,1),A(2,0,0),B(0,2,0).

所以=(-2,2,0),=(0,0,1),=(0,2,0),=(2,0,-1).

设平面DAE的法向量为n1=(x1,y1,z1),则

即令x1=1,得z1=2,所以n1=(1,0,2).

设平面ABE的法向量为n2=(x2,y2,z2),

则即

令x2=1,得y2=1,所以n2=(1,1,0).

所以cos<n1,n2>===.

由图知,二面角DEAB的平面角为钝角,

所以二面角DEAB的余弦值为-.

20.解:(1)由抛物线C:y2=nx(n>0)在第一象限内的点

P(2,t)到焦点的距离为得2+=,

所以n=2,故抛物线方程为y2=2x,P(2,2).

所以曲线C在第一象限的图象对应的函数解析式为

y=,则y′=.故曲线C在点P处的切线斜率k==,

切线方程为y-2=(x-2),即x-2y+2=0.

令y=0得x=-2,所以点Q(-2,0),故线段OQ的长为2.

(2)由题意知l1:x=-2,

因为l2与l1相交,所以m≠0,

将x=-2代入x=my+b,得y=-,故E(-2,-),

设A(x1,y1),B(x2,y2),

由消去x得y2-2my-2b=0,则y1+y2=2m,y1y2=-2b,

直线PA的斜率为==,同理直线PB的斜率为,

直线PE的斜率为.

因为直线PA,PE,PB的斜率依次成等差数列,

所以+=2×,即=.

因为l2不经过点Q,所以b≠-2.所以2m-b+2=2m,即b=2.

故l2:x=my+2,即l2恒过定点(2,0).

21. (1)解:由已知得f′(x)=x+a+(x>0),f′(2)=2+a+=0,所以a=-3,

所以f′(x)=x-3+==(x>0),

令f′(x)>0,得0<x<1或x>2;令f′(x)<0,得1<x<2,

所以函数f(x)的单调递增区间是(0,1),(2,+∞),单调递减区间是(1,2).

(2)证明:由(1)可知函数f(x)的极小值为f(2)=2ln 2-4,

极大值为f(1)=-,可知方程f(x)=m三个实根满足0<x1<1<x2<2<x3,

设h(x)=f(x)-f(2-x),x∈(0,1),

则h′(x)=f′(x)+f′(2-x)=>0,则h(x)在(0,1)上单调递增,

故h(x)<h(1)=f(1)-f(2-1)=0,即f(x)<f(2-x),x∈(0,1),

所以f(x2)=f(x1)<f(2-x1),

由(1)知函数f(x)在(1,2)上单调递减,所以x2>2-x1,即x1+x2>2,①

同理设g(x)=f(x)-f(4-x),x∈(1,2),

则g′(x)=f′(x)+f′(4-x)=>0,

则g(x)在(1,2)上单调递增,故g(x)<g(2)=f(2)-f(4-2)=0,

即f(x)<f(4-x),x∈(1,2),f(x3)=f(x2)<f(4-x2),

由(1)知函数f(x)在(2,+∞)上单调递增,所以x3<4-x2,即x3+x2<4,②

由①②可得x3-x1<2.

22.解:(1)根据题意,由x=ρcos θ,y=ρsin θ,x2+y2=ρ2,

曲线C1的极坐标方程ρ(ρ-4sin θ)=12,

可得曲线C1的直角坐标方程为x2+y2-4y=12,

设点P(x′,y′),Q(x,y),

根据中点坐标公式,得

代入x2+y2-4y=12,

得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为(x-3)2+(y-1)2=4.

(2)直线l的普通方程为y=ax,设圆心到直线的距离为d,

由弦长公式可得|MN|=2≥2,

可得圆心(3,1)到直线l的距离为d=≤,即4a2-3a≤0,

解得0≤a≤,即实数a的取值范围为[0,].

23. (1)解:由|x|+|x-3|<x+6,

得或或

解得-1<x<9,所以m=-1,n=9.

(2)证明:由(1)知9x+y=1,

又x>0,y>0,

所以(+)(9x+y)=10++≥10+2=16,

当且仅当=,即x=,y=时取等号,

所以+≥16,即x+y≥16xy.