2021年高考数学(理数)二轮复习仿真冲刺卷四(含答案解析)

这是一份2021年高考数学(理数)二轮复习仿真冲刺卷四(含答案解析)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年高考数学(理数)二轮复习仿真冲刺卷四一、选择题1.已知集合A={1,2,3},B={1,3,4,5},则A∩B的子集个数为(　　)A.2                         B.3          C.4            D.162.已知复数z=(i为虚数单位),则复数z的共轭复数的虚部为(　　)A.i                         B.-i         C.1            D.-13.已知a>b,则条件“c≥0”是条件“ac>bc”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4.已知a=21.2,b=,c=2log52,则a,b,c的大小关系是(　　)A.b<a<c                       B.c<a<b          C.c<b<a       D.b<c<a5.某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有(　　)A.16种        B.36种         C.42种         D.60种6.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经四处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图表达如图所示,若最终输出的x=0,则一开始输入的x的值为(　　)A.                      B.                       C.          D.7.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,若A=,b=,△ABC的面积为,则a等于(　　)A.          B.                         C.2         D.8.已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x1,x2(x1>x2),则下列结论正确的是(　　)A.1<x1<2,x1+x2<2B.1<x1<2,x1+x2<1C.x1>1,x1+x2<2 D.x1>1,x1+x2<19.《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱;阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图,在堑堵ABCA1B1C1中,AC⊥BC,若A1A=AB=2,当阳马BA1ACC1的体积最大时,堑堵ABCA1B1C1的体积为(　　)A.                        B.                        C.2           D.210.已知函数f(x)=asin x-2cos x的一条对称轴为直线x=-,且f(x1)·f(x2)=-16,则|x1+x2|的最小值为(　　)A.                        B.            C.            D.11.抛物线y2=8x的焦点为F,设A,B是抛物线上的两个动点,|AF|+|BF|=|AB|,则∠AFB的最大值为(　　)A.                         B.                        C.           D.12.关于x的方程xln x-kx+1=0在区间[e-1,e]上有两个不等实根,则实数k的取值范围是(　　)A.(1,1+e-1]        B.(1,e-1]        C.[1+e-1,e-1]                     D.(1,+∞)二、填空题13.多项式(4x2-2)(1+)5展开式中的常数项是　　   　. 14.设x,y满足约束条件且x,y∈Z,则z=3x+5y的最大值为　   　. 15.已知△ABC是直角边为2的等腰直角三角形,且A为直角顶点,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是　　. 16.双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的焦点为F1,F2,其中F2为抛物线C2:y2= 2px(p>0)的焦点,设C1与C2的一个交点为P,若|PF2|=|F1F2|,则C1的离心率为　　　　. 三、解答题17.设正项等比数列{an}中,a4=81,且a2,a3的等差中项为(a1+a2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=log3a2n-1,数列{bn}的前n项和为Sn,数列{cn}满足cn=,Tn为数列{cn}的前n项和,求Tn.    18.某教师为了了解高三一模所教两个班级的数学成绩情况,将两个班的数学成绩(单位:分)绘制成如图所示的茎  叶图.(1)分别求出甲、乙两个班级数学成绩的中位数、众数;(2)若规定成绩大于等于115分为优秀,分别求出两个班级数学成绩的优秀率;(3)从甲班中130分以上的5名同学中随机抽取3人,求至多有1人的数学成绩在140分以上的概率.  19.如图,已知四棱锥SABCD,底面梯形ABCD中,BC∥AD,平面SAB⊥平面ABCD,△SAB是等边三角形,已知AC=2AB=4,BC=2AD=2DC=2.(1)求证:平面SAB⊥平面SAC;(2)求二面角BSCA的余弦值.       20.已知椭圆C:+=1(a>0)的焦点在x轴上,且椭圆C的焦距为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点R(4,0)的直线l与椭圆C交于两点P,Q,过P作PN⊥x轴且与椭圆C交于另一点N,F为椭圆C的右焦点,求证:三点N,F,Q在同一条直线上.           21.若∀x∈D,总有f(x)<F(x)<g(x),则称F(x)为f(x)与g(x)在D上的一个“严格分界函数”.(1)求证:y=ex是y=1+x和y=1+x+在(-1,0)上的一个“严格分界函数”;(2)函数h(x)=2ex+-2,若存在最大整数M使得h(x)>在x∈(-1,0)恒成立,求M的值.(e=2.718…是自然对数的底数,≈1.414,≈1.260)      22.选修44:坐标系与参数方程:已知曲线C1的参数方程是(θ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=4sin θ.(1)求曲线C1与C2交点的平面直角坐标;(2)A,B两点分别在曲线C1与C2上,当|AB|最大时,求△OAB的面积(O为坐标原点).     23.选修45:不等式选讲:已知函数f(x)=|x+1|+|x-3|,g(x)=a-|x-2|.(1)若关于x的不等式f(x)<g(x)有解,求实数a的取值范围;(2)若关于x的不等式f(x)<g(x)的解集为(b,3.5),求a+b的值.
0.参考答案1.答案为：C；解析：A∩B={1,3},所以A∩B的子集个数为4,故选C.2.答案为：C；解析：z===2-i,所以=2+i,的虚部为1,故选C.3.答案为：B；解析：当时,ac>bc不成立,所以充分性不成立,当时c>0成立,c≥0也成立,所以必要性成立,所以“c≥0”是条件“ac>bc”的必要不充分条件,选B.4.答案为：C；解析：因为b==20.2<21.2=a,所以a>b>1.又因为c=2log52=log54<1,所以c<b<a,故选C.5.答案为：D；解析：法一:(直接法)若3个不同的项目被投资到4个城市中的3个,每个城市1个,共种投资方案;若3个不同的项目被投资到4个城市中的2个,一个城市1个、一个城市2个,共种投资方案.由分类加法计数原理知共+=60种投资方案.法二:(间接法)先任意安排3个项目,每个项目各有4种安排方法,共43=64种投资方案,其中3个项目落入同一个城市的投资方案不符合要求,共4种,所以总投资方案共43-4=64-4=60(种).6.答案为：C；解析：i=1,(1)x=2x-1,i=2,(2)x=2(2x-1)-1=4x-3,i=3,(3)x=2(4x-3)-1=8x-7,i=4,(4)x=2(8x-7)-1=16x-15,i=5,所以输出16x-15=0,得x=,故选C.7.答案为：D；解析：由A=,b=,△ABC的面积为,得=b·c·sin,从而有c=2,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=2+8+4,即a=,故选D.8.答案为：A；解析：函数f(x)=|2x-2|+b有两个零点,即y=|2x-2|与y=-b的图象有两个交点,交点的横坐标就是x1,x2(x2<x1),在同一坐标系中画出y=|2x-2|与y=-b的图象(如图),可知1<x1<2.当y=-b=2时,x1=2,两个函数图象只有一个交点,当y=-b<2时,由图可知x1+x2<2.9.答案为：C；解析：设底面直角三角形的两直角边长分别为a,b,则a2+b2=4,阳马BA1ACC1的体积为=ab≤(a2+b2)=,当且仅当a=b=时,取等号,此时堑堵ABCA1B1C1 的体积为=ab×2=2,故选C.10.答案为：C；解析：f(x)=asin x-2cos x=sin(x+θ),由于函数f(x)的对称轴为直线x=-,所以f(-)=-a-3,则|-a-3|=,解得a=2;所以f(x)=4sin(x-),由于f(x1)·f(x2)=-16,所以函数f(x)必须取得最大值和最小值,所以x1=2k1π+,x2=2k2π-,k1,k2∈Z,所以x1+x2=2(k1+k2)π+,所以|x1+x2|的最小值为.故选C.11.答案为：D；解析：设|AF|=m,|BF|=n,则m+n=|AB|,在△ABF中,由余弦定理cos ∠AFB===.因为m+n=|AB|≥2,所以≥mn,所以cos∠AFB≥-,所以∠AFB≤π,所以∠AFB的最大值为,故选D.12.答案为：A；解析：关于x的方程xln x-kx+1=0,即ln x+=k,令函数f(x)=ln x+,若方程xln x-kx+1=0在区间[e-1,e]上有两个不等实根,即函数f(x)=ln x+与y=k在区间[e-1,e]上有两个不相同的交点,f′(x)=-,令-=0可得x=1,当x∈[e-1,1)时f′(x)<0,函数是减函数,当x∈(1,e)时,f′(x)>0,函数是增函数,函数的最小值为f(1)=1.f(e-1)=-1+e,f(e)=1+e-1.函数的最大值为-1+e.关于x的方程xln x-kx+1=0在区间[e-1,e]上有两个不等实根,则实数k的取值范围是(1,1+e-1].故选A.13.答案为：18；解析:多项式(4x2-2)(1+)5展开式中的常数项是4-2=18.14.答案为：13；解析:由约束条件作出可行域如图,作出直线3x+5y=0,因为x,y∈Z,所以平移直线3x+5y=0至(1,2)时,目标函数z=3x+5y的值最大,最大值为13.15.答案为：-1解析:以BC的中点为原点O,以BC为x轴,以BC边上的高为y轴建立坐标系,△ABC是直角边为2的等腰直角三角形,且A为直角顶点,斜边BC=2,则A(0,),B(-,0),C(,0),设P(x,y),则+=2=(-2x,-2y),=(-x,-y),所以·(+)=2x2+2y2-2y=2x2+2(y-)2-1,所以当x=0,y=时,·(+)取得最小值-1.16.答案为：1+；解析:设P(m,n)位于第一象限,可得m>0,n>0,由题意可得F2(,0),且双曲线的c=,抛物线的准线方程为x=-,由抛物线的定义可得m+=|PF2|=|F1F2|=2c,即有m=c,n===2c,即P(c,2c),代入双曲线的方程可得-=1,即为e2-=1,化为e4-6e2+1=0,解得e2=3+2(e2=3-2舍去),可得e=1+.17.解:(1)设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),由题意,得解得所以an=a1qn-1=3n.(2)由(1)得bn=log332n-1=2n-1,Sn===n2,所以cn==(-),所以Tn=[(1-)+(-)+…+(-)]=.18.解:(1)由所给的茎叶图知,甲班50名同学的成绩由小到大排序,排在第25,26位的是108,109,数量最多的是103,故甲班数学成绩的中位数是108.5,众数是103;乙班48名同学的成绩由小到大排序,排在第24,25位的是106,107,数量最多的是92和101,故乙班数学成绩的中位数是106.5,众数为92和101.(2)由茎叶图中的数据可知,甲班中数学成绩为优秀的人数为20,优秀率为=;乙班中数学成绩为优秀的人数为18,优秀率为=.(3)将分数为131,132,136的3人分别记为a,b,c,分数为141,146的2人分别记为m,n,则从5人中抽取3人的不同情况有abc,abm, abn,acm,acn,amn,bcm,bcn,bmn,cmn,共10种情况.记“至多有1人的数学成绩在140分以上”为事件M,则事件M包含的情况有abc,abm,abn,acm,acn,bcm,bcn,共7种情况,所以从这5名同学中随机抽取3人,至多有1人的数学成绩在140分以上的概率为P(M)=0.7.19. (1)证明:在△BCA中,由于AB=2,CA=4,BC=2,所以AB2+AC2=BC2,故AB⊥AC.又平面SAB⊥平面ABCD,平面SAB∩平面ABCD=AB,AC⊂平面ABCD,所以AC⊥平面SAB,又AC⊂平面SAC,故平面SAC⊥平面SAB.(2)解:如图,建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,0,0), S(1,0,),C(0,4,0),=(1,-4,),=(-2,4,0),=(0,4,0).设平面SBC的法向量n=(x1,y1,z1),⇒令y1=1,则x1=2,z1=,所以n=(2,1,).设平面SCA的法向量m=(x2,y2,z2),⇒令x2=-,所以m=(-,0,1).所以|cos<n,m>|==,易知二面角BSCA的平面角为锐角,所以二面角BSCA的余弦值为.20. (1)解:因为椭圆C:+=1(a>0)的焦点在x轴上,所以a2>7-a2>0,即3.5<a2<7,因为椭圆C的焦距为2,且a2-b2=c2,所以a2-(7-a2)=1,解得a2=4,所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)证明:由题知直线l的斜率存在,设l的方程为y=k(x-4),点P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x1,-y1),则得3x2+4k2(x-4)2=12,即(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0,Δ>0,x1+x2=,x1x2=,由题可得直线QN的方程为y+y1=(x-x1),又因为y1=k(x1-4),y2=k(x2-4),所以直线QN的方程为y+k(x1-4)=(x-x1),令y=0,整理得x=+x1====1,即直线QN过点(1,0),又因为椭圆C的右焦点坐标为F(1,0),所以三点N,F,Q在同一条直线上.21. (1)证明:令(x)=ex-1-x,则′(x)=ex-1.当x<0时,′(x)<0,故(x)在(-1,0)上为减函数,因此(x)>(0)=0,故对∀x∈(-1,0)都有ex>1+x.再令t(x)=ex-1-x-,当x<0时,t′(x)=ex-1-x>0,故t(x)在(-1,0)上为增函数.因此t(x)<t(0)=0,所以对∀x∈(-1,0)都有ex<1+x+,故y=ex是y=1+x和y=1+x+在(-1,0)上的一个“严格分界函数”.(2)由(1)知当x∈(-1,0)时,h(x)=2ex+-2>2(1+x)+-2≥2-2≈0.828.又h(x)=2ex+-2<2(1+x+)+-2=x2+2x+,令m(x)=x2+2x+=(x+1)2+-1,m′(x)=2(x+1)-,令m′(x)=0,解得x=-1+(),易得m(x)在(-1,-1+())上单调递减,在(-1+(),0)上单调递增,则m(x)min=m(-1+())=()+-1=-1≈0.890.又h′(x)=2ex-在x∈(-1,0)存在x0使得h′(x0)=0,故h(x)在x∈(-1,0)上先减后增,则有h(x)min≤h(-1+())<m(-1+())≈0.890,则0.828<h(x)min< 0.890,所以h(x)min>,则M=8.22.解:(1)因为曲线C1的参数方程是(θ为参数),所以曲线C1的平面直角坐标方程为(x+2)2+y2=4.①又由曲线C2的极坐标方程是ρ=4sin θ,得ρ2=4ρsin θ,所以x2+y2=4y,②把①②两式作差,得y=-x,代入x2+y2=4y,得2x2+4x=0,解得或所以曲线C1与C2交点的平面直角坐标为(0,0),(-2,2).(2)如图,由平面几何知识可知,当A,C1,C2,B依次排列且共线时,|AB|最大,此时|AB|=2+4,O到AB的距离为,所以△OAB的面积为S=(2+4)·=2+2.23.解:(1)f(x)<g(x)有解即|x+1|+|x-2|+|x-3|<a有解,令H(x)=|x+1|+|x-2|+|x-3|.则H(x)=由H(x)图象知,H(x)min=H(2)=4,所以a>4,即a的取值范围为(4,+∞).(2)由(1)f(x)<g(x)解集即H(x)<a的解集为(b,3.5),则则a=H()=,若b>3,由3b-4=得b==(不合题),若2<b≤3,则b+2=,b=(不合题),若-1<b≤2,则-b+6=,b=-(合题).则a+b=-=6.