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    江苏省连云港市2020-2021学年高一上学期期末数学试题(解析版)
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    江苏省连云港市2020-2021学年高一上学期期末数学试题(解析版)

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    这是一份江苏省连云港市2020-2021学年高一上学期期末数学试题(解析版),共17页。试卷主要包含了选择题.,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2020-2021学年江苏省连云港市高一(上)期末数学试卷
    一、选择题(共8小题).
    1.若命题p:∃x∈R,x2+2x+1≤0,则命题p的否定为(  )
    A.∃x∉R,x2+2x+1>0 B.∃x∈R,x2+2x+1<0
    C.∀x∉R,x2+2x+1>0 D.∀x∈R,x2+2x+1>0
    2.若集合M={x|x2<1},N={x|0≤x<2},则M∩N=(  )
    A.{x|﹣1<x<2} B.{x|0≤x<1} C.{x|0<x<1} D.{x|﹣1<x<0}
    3.cos(﹣)=(  )
    A. B. C. D.
    4.某班45名学生中,有围棋爱好者22人,足球爱好者28人,则同时爱好这两项的人最少有(  )
    A.4人 B.5人 C.6人 D.7人
    5.已知a=30.2,b=log30.3,c=0.30.2,(  )
    A.a<c<b B.a<b<c C.c<a<b D.b<c<a
    6.在一次数学实验中,某同学运用图形计算器采集到如表一组数据:
    x
    1
    2
    3
    4
    5
    8
    y
    0.5
    1.5
    2.08
    2.5
    2.82
    3.5
    在四个函数模型(a,b为待定系数)中,最能反映x,y函数关系的是(  )
    A.y=a+bx B.y=a+bx C.y=a+logbx D.y=a+
    7.函数f(x)=•sinx的部分图象大致为(  )
    A.
    B.
    C.
    D.
    8.已知函数f(x)是定义在R上的增函数,A(0,﹣1),B(3,1)是其图象上的两点,那么|f(2sinx+1)|≤1的解集为(  )
    A.{x|kπ﹣≤x≤kπ+,k∈Z}
    B.{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}
    C.{x|kπ﹣≤x≤kπ+,k∈Z}
    D.{x|2kπ﹣≤x≤2kπ+,k∈Z}
    二、选择题(共4小题).
    9.下列结论正确的是(  )
    A.若ac>bc,则a>b B.若a>|b|,则a2>b2
    C.若a>b>0,则> D.若a<|b|,则a2<b2
    10.若x>0,y>0,n≠0,m∈R,则下列各式中,恒等的是(  )
    A.lgx+lgy=lg(x+y) B.lg=lgx﹣lgy
    C.logxnym=logxy D.lgx=
    11.一半径为4米的水轮如图所示,水轮圆心O距离水面2米,已知水轮每60秒逆时针转动一圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时,则(  )

    A.点P第一次到达最高点需要20秒
    B.当水轮转动155秒时,3.点P距离水面2米
    C.当水轮转动50秒时,点P在水面下方,距离水面2米
    D.点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h=4sin(t+)+2
    12.已知函数f(x),x∈(﹣∞,0)∪(0,+∞),对于任意的x,y∈(﹣∞,0)∪(0,+∞),f(xy)=f(x)+f(y),则(  )
    A.f(x)的图象过点(1,0)和(﹣1,0)
    B.f(x)在定义域上为奇函数
    C.若当x>1时,有f(x)>0,则当﹣1<x<0时,f(x)<0
    D.若当0<x<1时,有f(x)<0,则f(x)>0的解集(1,+∞)
    三、填空题(共4小题,每小题,5分,满分20分)
    13.已知函数f(x)=,x>1,则f(f(1))=   .
    14.函数f(x)=3sin(2x﹣)的减区间是   .
    15.若函数f(x)=x2+ax﹣在区间(﹣1,1)上有两个不同的零点,则实数a的取值范围是   .
    16.某工厂产生的废气必须经过过滤后排放,规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系为P=P0•ekt,其中e是自然对数的底数,k为常数,(P0为原污染物总量).若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%,则k=   ;要能够按规定排放废气,还需要过滤n小时,则正整数n的最小值为   .
    (参考数据:log52≈0.43)
    四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    17.在①角α的终边经过点P(4m,﹣3m)(m≠0);②tan(﹣α)=;③3sinα+4cosα=0这三个条件中任选一个,求sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α的值.
    18.已知集合A={x|log2(x﹣1)≤2},集合.B={x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0},其中a∈R.
    (1)若a=1,求A∪B;
    (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,求a的取值范围.
    19.受疫情的影响及互联网经济的不断深化,网上购物已经逐渐成为居民购物的新时尚,为迎接2021年“庆元旦”网购狂欢节,某厂家拟投入适当的广告费,对网上所售产品进行促销,经调查测算,该促销产品在“庆元旦”网购狂欢节的销售量p(万件)与促销费用x(万元)满足p=3﹣(其中0≤x≤10),已知生产该产品还需投入成本(10+2p)万元(不含促销费用),每一件产品的销售价格定为(6+)元,假定厂家的生产能力能满足市场的销售需求.
    (1)将该产品的利润y(万元)表示为促销费用x(万元)的函数;
    (2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?并求出最大利润.
    20.已知函数f(x)=﹣2cos2x﹣asinx﹣a+1(a∈R)的最小值为g(a),且g(a)=.
    (1)求实数a的值;
    (2)求函数f(x)的最大值,并求此时x的取值集合.
    21.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.
    (1)求函数f(x)的解析式;
    (2)将函数f(x)图象上每个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移4个单位长度,所得图象的函数为g(x),若不等式g(x)﹣m≤0在x∈[0,6]恒成立,求实数m的取值范围.

    22.已知a∈R,函数f(x)=log2(+a).
    (1)设a>0,若对任意t∈[,1],函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过2,求a的最小值;
    (2)若关于x的方程f()﹣log2[(a﹣2)x+3a﹣5]=0的解集中恰好只有一个元素,求a的取值范围.


    参考答案
    一、选择题(共8小题).
    1.若命题p:∃x∈R,x2+2x+1≤0,则命题p的否定为(  )
    A.∃x∉R,x2+2x+1>0 B.∃x∈R,x2+2x+1<0
    C.∀x∉R,x2+2x+1>0 D.∀x∈R,x2+2x+1>0
    解:命题为特称命题,则命题的否定为∀x∈R,x2+2x+1>0,
    故选:D.
    2.若集合M={x|x2<1},N={x|0≤x<2},则M∩N=(  )
    A.{x|﹣1<x<2} B.{x|0≤x<1} C.{x|0<x<1} D.{x|﹣1<x<0}
    解:∵M={x|﹣1<x<1},N={x|0≤x<2},
    ∴M∩N={x|0≤x<1}.
    故选:B.
    3.cos(﹣)=(  )
    A. B. C. D.
    解:cos(﹣)=cos=cos(2)=cos=.
    故选:D.
    4.某班45名学生中,有围棋爱好者22人,足球爱好者28人,则同时爱好这两项的人最少有(  )
    A.4人 B.5人 C.6人 D.7人
    解:设同时爱好这两项的人最少有a人,
    作出韦恩图:

    ∵某班45名学生中,有围棋爱好者22人,足球爱好者28人,
    ∴22﹣a+a+28﹣a=45,
    解得a=5.
    故选:B.
    5.已知a=30.2,b=log30.3,c=0.30.2,(  )
    A.a<c<b B.a<b<c C.c<a<b D.b<c<a
    解:∵30.2>30=1,log30.3<log31=0,0<0.30.2<0.30=1,
    ∴b<c<a.
    故选:D.
    6.在一次数学实验中,某同学运用图形计算器采集到如表一组数据:
    x
    1
    2
    3
    4
    5
    8
    y
    0.5
    1.5
    2.08
    2.5
    2.82
    3.5
    在四个函数模型(a,b为待定系数)中,最能反映x,y函数关系的是(  )
    A.y=a+bx B.y=a+bx C.y=a+logbx D.y=a+
    解:由表格中数据作出散点图:

    由图可知,y是关于x的增函数,且递增的比较缓慢,
    故选:C.
    7.函数f(x)=•sinx的部分图象大致为(  )
    A.
    B.
    C.
    D.
    解:f(﹣x)=•sin(﹣x)=•(﹣sinx)=•sinx=f(x),
    则f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,排除C,D,
    由f(x)=0得x=0或sinx=0,即x=π是右侧第一个零点,
    当0<x<π时,f(x)>0,排除B,
    故选:A.
    8.已知函数f(x)是定义在R上的增函数,A(0,﹣1),B(3,1)是其图象上的两点,那么|f(2sinx+1)|≤1的解集为(  )
    A.{x|kπ﹣≤x≤kπ+,k∈Z}
    B.{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}
    C.{x|kπ﹣≤x≤kπ+,k∈Z}
    D.{x|2kπ﹣≤x≤2kπ+,k∈Z}
    解:由已知得f(0)=﹣1,f(3)=1,
    则不等式|f(2sinx+1)|≤1,即﹣1≤f(2sinx+1)≤1,即f(0)≤f(2sinx+1)≤f(3),
    又因为函数f(x)是定义在R上的增函数,
    所以0≤2sinx+1≤3,即﹣≤sinx≤1,
    结合正弦函数的图象,可得2kπ﹣≤x≤2kπ+,k∈Z,
    即不等式的解集为{x|2kπ﹣≤x≤2kπ+,k∈Z}.
    故选:D.
    二、选择题(共4小题,每小题5分,满分20分)
    9.下列结论正确的是(  )
    A.若ac>bc,则a>b B.若a>|b|,则a2>b2
    C.若a>b>0,则> D.若a<|b|,则a2<b2
    解:对于A:若c>0时,不等式成立,当c<0时,不等式不成立,故A错误;
    对于B:由于a>|b|,则a2>b2,故B正确;
    对于C:由于a>b>0,则>,故C正确;
    对于D:当a=﹣5,b=1时,不等式不成立,故D错误;
    故选:BC.
    10.若x>0,y>0,n≠0,m∈R,则下列各式中,恒等的是(  )
    A.lgx+lgy=lg(x+y) B.lg=lgx﹣lgy
    C.logxnym=logxy D.lgx=
    解:由x>0,y>0,n≠0,m∈R,得:
    对于A,lgx+lgy=lg(xy)≠lg(x+y),故A错误;
    对于B,lg=lgx﹣lgy,故B正确;
    对于C,logxnym===logxy,故C正确;
    对于D,lgx=lgx=,故D正确.
    故选:BCD.
    11.一半径为4米的水轮如图所示,水轮圆心O距离水面2米,已知水轮每60秒逆时针转动一圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时,则(  )

    A.点P第一次到达最高点需要20秒
    B.当水轮转动155秒时,3.点P距离水面2米
    C.当水轮转动50秒时,点P在水面下方,距离水面2米
    D.点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h=4sin(t+)+2
    解:设点P距离水面的高度为h(米)和t(秒)的函数解析式为h=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<),
    由题意,hmax=6,hmin=﹣2,
    ∴,解得,
    ∵T==60,∴ω=,则h=4sin(+φ)+2.
    当t=0时,h=0,∴4sinφ+2=0,则sinφ=﹣,
    又∵|φ|<,∴φ=﹣.
    h=,故D错误;
    令h==6,∴sin()=1,得t=20秒,故A正确;
    当t=155秒时,h=4sin()+2=4sin5π+2=2米,故B正确;
    当t=50秒时,h=4sin()+2=4sin+2=﹣2,故C正确.
    故选:ABC.
    12.已知函数f(x),x∈(﹣∞,0)∪(0,+∞),对于任意的x,y∈(﹣∞,0)∪(0,+∞),f(xy)=f(x)+f(y),则(  )
    A.f(x)的图象过点(1,0)和(﹣1,0)
    B.f(x)在定义域上为奇函数
    C.若当x>1时,有f(x)>0,则当﹣1<x<0时,f(x)<0
    D.若当0<x<1时,有f(x)<0,则f(x)>0的解集(1,+∞)
    解:对于A,对任意的x,y∈(﹣∞,0)∪(0,+∞),f(xy)=f(x)+f(y),
    令x=y=1,则f(1×1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0,
    再令x=y=﹣1,则f[(﹣1)×(﹣1)]=f(﹣1)+f(﹣1),解得f(﹣1)=0,
    所以f(x)的图象过点(1,0)和(﹣1,0),故A正确;
    对于B,令y=﹣1,则f(﹣x)=f(x)+f(﹣1),所以f(﹣x)=f(x),
    又函数f(x)的定义域关于原点对称,所以函数f(x)为偶函数,故B错误;
    对于C,设x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则>1,
    若当x>1时,有f(x)>0,所以f()>0,
    所以f(x1)﹣f(x2)=f(x2•)﹣f(x2)=f(x2)+f()﹣f(x2)=f()>0,
    所以f(x1)>f(x2),
    所以f(x)在(0,+∞)上的是增函数,
    由函数f(x)为偶函数,可得f(x)在(﹣∞,0)上是减函数,
    所以当﹣1<x<0时,f(x)<f(﹣1)=0,故C正确;
    对于D,设x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则0<<1,
    当0<x<1时,有f(x)<0,则f()<0,
    所以f(x1)﹣f(x2)=f(x2•)﹣f(x2)=f(x2)+f()﹣f(x2)=f()<0,
    所以f(x1)<f(x2),
    所以f(x)在(0,+∞)上的是增函数,
    由函数f(x)为偶函数,可得f(x)在(﹣∞,0)上是减函数,
    因为当0<x<1时,f(x)<0,可得当﹣1<x<0时,f(x)<0,
    当x<﹣1时,f(x)>f(﹣1)=0,当x>1时,f(x)>f(1)=0,故D错误.
    故选:AC.
    三、填空题(共4小题,每小题,5分,满分20分)
    13.已知函数f(x)=,x>1,则f(f(1))= ﹣2 .
    解:f(1)=21+2=4,
    所以.
    故答案为:﹣2.
    14.函数f(x)=3sin(2x﹣)的减区间是 [kπ+,kπ+],(k∈Z). .
    解:由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+,
    可得:kπ+≤x≤kπ+,(k∈Z),
    故答案为:[kπ+,kπ+],(k∈Z).
    15.若函数f(x)=x2+ax﹣在区间(﹣1,1)上有两个不同的零点,则实数a的取值范围是 (0,) .
    解:若函数f(x)=x2+ax﹣在区间(﹣1,1)上有两个不同的零点,
    则,解得:0<a<,
    故答案为:(0,).
    16.某工厂产生的废气必须经过过滤后排放,规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系为P=P0•ekt,其中e是自然对数的底数,k为常数,(P0为原污染物总量).若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%,则k= ﹣ ;要能够按规定排放废气,还需要过滤n小时,则正整数n的最小值为 8 .
    (参考数据:log52≈0.43)
    解:由题意,前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%,
    ∵P=P0•ekt,∴(1﹣80%)P0=P0•e4k,得0.2=e4k,
    即k=﹣,
    由0.25%P0=P0•ekt,得0.0025=﹣,
    ∴t==4log5100=8(1+log52)=11.44.
    故整数n的最小值为12﹣4=8.
    故答案为:;8.
    四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    17.在①角α的终边经过点P(4m,﹣3m)(m≠0);②tan(﹣α)=;③3sinα+4cosα=0这三个条件中任选一个,求sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α的值.
    解:sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α==,
    若选①角α的终边经过点P(4m,﹣3m)(m≠0);
    可得tan=﹣,
    原式==﹣.
    若选②tan(﹣α)=,可得tanα=,
    原式==﹣.
    若选③3sinα+4cosα=0,tanα=﹣,
    原式==.
    18.已知集合A={x|log2(x﹣1)≤2},集合.B={x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0},其中a∈R.
    (1)若a=1,求A∪B;
    (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,求a的取值范围.
    解:A={x|log2(x﹣1)≤2}={x|log2(x﹣1)≤log24}={x|1<x≤5},B=={x|(x﹣a+1)(x﹣a﹣1)≤0}={x|a﹣1≤x≤a+1},
    (1)若a=1时,B=[0,2],A∪B=[0,5];
    (2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件,
    所以“x∈B”是“x∈A”的充分条件,即B⊆A,
    即,解得:2<a≤4,
    综上所述:a的取值范围(2,4].
    19.受疫情的影响及互联网经济的不断深化,网上购物已经逐渐成为居民购物的新时尚,为迎接2021年“庆元旦”网购狂欢节,某厂家拟投入适当的广告费,对网上所售产品进行促销,经调查测算,该促销产品在“庆元旦”网购狂欢节的销售量p(万件)与促销费用x(万元)满足p=3﹣(其中0≤x≤10),已知生产该产品还需投入成本(10+2p)万元(不含促销费用),每一件产品的销售价格定为(6+)元,假定厂家的生产能力能满足市场的销售需求.
    (1)将该产品的利润y(万元)表示为促销费用x(万元)的函数;
    (2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?并求出最大利润.
    解:(1)由题意得,y=(6+)p﹣x﹣(10+2p),
    把p=3﹣代入得,y=22﹣(0≤x≤10);
    (2)y=24﹣()≤24﹣2=16,
    当且仅当,即x=2时取等号,
    所以促销费用投入2万元时,厂家的利润最大,为16万元.
    20.已知函数f(x)=﹣2cos2x﹣asinx﹣a+1(a∈R)的最小值为g(a),且g(a)=.
    (1)求实数a的值;
    (2)求函数f(x)的最大值,并求此时x的取值集合.
    解:(1)根据题意:函数f(x)=﹣2cos2x﹣asinx﹣a+1(a∈R),
    令t=sinx,(﹣1≤t≤1),
    则g(t)=2t2﹣at﹣a﹣1(﹣1≤t≤1),
    ①当时,即a≤﹣4,
    f(a)=,所以无解.
    ②当时,即﹣4<a≤4,
    f(a)=,即a2+8a+12=0,
    所以a=﹣2或a=﹣6(舍去),
    ③当时,即a>4时,
    ,所以a=,(舍去),
    综上所述:a=﹣2.
    (2)当a=﹣2时,f(x)=,
    当sinx=1时,即x=2k(k∈Z)时,函数的最大值为5.
    即当{x|x=2k(k∈Z)}时,函数的最大值为5.
    21.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.
    (1)求函数f(x)的解析式;
    (2)将函数f(x)图象上每个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移4个单位长度,所得图象的函数为g(x),若不等式g(x)﹣m≤0在x∈[0,6]恒成立,求实数m的取值范围.

    解:(1)根据题中函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象,
    可得=5﹣1,∴ω=,
    根据五点法作图,可得 ×1+φ=,∴φ=,故函数f(x)=2cos(x+).
    (2)将函数f(x)图象上每个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),
    可得y=2cos(x+)的图象;
    再将得到的图象向右平移4个单位长度,所得图象的函数为g(x)=2cos(x﹣)的图象,
    若不等式g(x)﹣m≤0在x∈[0,6]恒成立,
    即x∈[0,6]时,g(x)的最大值小于或等于m.
    当x∈[0,6]时,x﹣∈[﹣,],故当x﹣=0时,g(x)取得最大值为2,
    ∴m≥2.
    22.已知a∈R,函数f(x)=log2(+a).
    (1)设a>0,若对任意t∈[,1],函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过2,求a的最小值;
    (2)若关于x的方程f()﹣log2[(a﹣2)x+3a﹣5]=0的解集中恰好只有一个元素,求a的取值范围.
    解:(1)因为在x∈[t,t+1]上为减函数,
    所以,
    又因为y=log2x在上为增函数,
    所以,
    所以在恒成立,
    即对恒成立,
    即3at2+3(a+1)t﹣1≥0对恒成立,
    等价于y=3at2+3(a+1)t﹣1在的最小值大于等于0,
    因为y=3at2+3(a+1)t﹣1在为增函数,
    所以,
    故,解得,
    所以a的最小值为;
    (2)方程f()﹣log2[(a﹣2)x+3a﹣5]=0,
    即,
    可转化为(a﹣2)x2+(2a﹣5)x﹣2=0且,
    ①当a﹣2=0,即a=2时,x=﹣2,符合题意;
    ②当a﹣2≠0,即a≠2时,,
    1°当,即时,符合题意;
    2°当,即a≠﹣2且时,
    要满足题意,则有或,解得;
    综上可得,a的取值范围为.


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