2021年江苏省昆山市九年级下学期联合调研数学测试（一）（word版 含答案）

这是一份2021年江苏省昆山市九年级下学期联合调研数学测试（一）（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年江苏省昆山市九年级下学期联合调研数学测试（一）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．下列实数中，无理数是（）
A．0 B．－1 C． D．
2．下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．一个正常人的心跳平均每分70次，一天大约跳100800次，将100800用科学记数法表示为（ ）
A．0.1008×106 B．1.008×106 C．1.008×105 D．10.08×104
4．若，化简的结果等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D．若∠ADB＝125°，则∠C等于（ ）

A．70° B．55° C．65° D．40°
6．如图，在四边形中，已知，平分．若cm，则等于（ ）

A．cm B．cm C．2 cm D．3 cm
7．若二次函数的图象的对称轴是经过点且平行于轴的直线，则关于的方程的解为（ ）．
A．， B．， C．， D．，
8．己知抛物线与轴最多有一个交点，现有以下三个结论：①该抛物线的对称轴在轴右侧；②关于的方程无实数根；③；其中，正确结论的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．如图，在等腰中，,则的长为（）

A．15 B． C．20 D．
10．如图，反比例函数的图像经过的顶点和对角线的交点，顶点在轴上．若的面积为12，则的值为（ ）


A．8 B．6 C．4 D．2

二、填空题
11．若代数式有意义，则x的取值范围是_____________．
12．分解因式：＝________．
13．已知，那么代数式的值是_______．
14．分式方程的解是__________．
15．如图，中，，，，把绕点顺时针旋转150°后得到，则点的坐标为____________．

16．已知点P的坐标为（m，），则点P到直线y＝﹣5的最小值为________．
17．如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角三角形ABC的直角顶点C在l1上，另两个顶点A，B分别在l3，l2上，则sinα的值是_____．

18．如图，矩形中AB＝2，AD＝5，动点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则面积最小值为_________．


三、解答题
19．计算：
20．先化简，再求值：，其中．
21．解不等式组：
22．我市某中学计划购进若干个甲种规格的排球和乙种规格的足球． 如果购买20个甲种规格的排球和15个乙种规格的足球，一共需要花费2050元； 如果购买10个甲种规格的排球和20个乙种规格的足球，一共需要花费1900元．
（1）求每个甲种规格的排球和每个乙种规格的足球的价格分别是多少元?
（2）如果学校要购买甲种规格的排球和乙种规格的足球共50个，并且预算总费用不超过3210元，那么该学校至多能购买多少个乙种规格的足球?
23．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC

①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．
24．如图，一艘渔船位于码头M的南偏东45°方向，距离码头120海里的B处，渔船从B处沿正北方向航行一段距离后，到达位于码头北偏东60°方向的A处．

（1）求渔船从B到A的航行过程中与码头M之间的最小距离．
（2）若渔船以20海里/小时的速度从A沿AM方向行驶，求渔船从A到达码头M的航行时间．
25．关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若，是该方程的两根，且满足两根的平方和等于3，求m的值．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，∠ABC=90°，顶点A在第一象限，B、C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC=3，AB=4，若双曲线交边AB于点E，交边AC于中点D．

（1）若OB=2，求k；
（2）若AE=， 求直线AC的解析式．
27．如图，抛物线与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．

（1）求抛物线与直线的解析式；
（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作 y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值．


参考答案
1．C
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定．
【详解】
A、0是整数，是有理数，选项错误；
B、-1是整数，是有理数，选项错误；
C、是无理数，选项正确；
D、是整数，是有理数，选项错误．
故选C．
【点睛】
考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．B
【分析】
根据完全平方公式，幂的乘方、合并同类项、同底幂的乘法法则等进行判断即可．
【详解】
解：A、，错误；
B、，正确；
C、，错误；
D、（，错误；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查完全平方公式，幂的乘方、合并同类项、同底幂的乘法等考点，属于基础题．
3．C
【详解】
试题分析：100800=1.008×105．故选C．
考点：科学记数法—表示较大的数．
4．A
【分析】
根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，再合并同类项即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴
∴原式，
故选：．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质，关键是掌握．
5．A
【分析】
根据角的平分线定义，得∠BAD=∠DAC，∠ABD=∠CBD，根据三角形内角和定理，得∠BAD+∠ABD，再计算∠BAC+∠ABC，利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】
∵∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，

∴∠BAD=∠DAC，∠ABD=∠CBD，
∴∠BAD+∠ABD=180°-∠ADB＝180°-125°=55°，
∴∠BAC+∠ABC=2∠BAD+2∠ABD=110°，
∴∠C=180°-（∠BAC+∠ABC）=180°-110°=70°，
故选A．
【点睛】
本题考查了角的平分线，三角形的内角和定理，熟练掌握角的平分线和三角形内角和定理是解题的关键．
6．B
【分析】
过D作DE⊥BA交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE=CD，推出△ADE是等腰直角三角形，得到AE=DE=1，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】

解：过D作DE⊥BA交BA的延长线于E，
∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝CD，
∵CD＝1，
∴DE＝1，
∵AD∥BC，∠ABC＝45°，
∴∠EAD＝∠ABC＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝DE＝1，
∴AD＝，
∵AD∥BC，∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴AC＝，
故选B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
7．D
【详解】
∵二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
则−=−=2，
解得：b=−4，
∴x2+bx=5即为x2−4x−5=0，
则(x−5)(x+1)=0，
解得：x1=5，x2=−1.
故选D.
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为关于x的一元二次方程的问题.
8．C
【分析】
①根据a、b同号可确定对称轴位置；
②根据抛物线（b＞a＞0）与x轴有一个交点，知y≥0，所以y≠-1；
③因为对称轴＜0，所以x=2时，y＞0．
【详解】
解：①∵b＞a＞0，即a、b同号，
∴该抛物线的对称轴在y轴左侧； 故①不正确；
②如果抛物线（b＞a＞0）与x轴有一个交点，
则这个交点就是抛物线的顶点，
如果抛物线（b＞a＞0）与x轴没有交点，
则y＞0， ∴y≠-1，
即关于x的方程无实数根； 故②正确；
③由①知：抛物线的对称轴在y轴左侧；
∴对称轴＜0，
∵抛物线（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，
∴y≥0， ∴4a+2b+c＞0； 故③正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数有△决定：△=＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△==0时，抛物线与x轴有1个交点；△=＜0时，抛物线与x轴没有交点．
9．A
【分析】
过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=3k，则AB=AC=5k，继而可求出BD=k，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
过点C作CD⊥AB，垂足为D，

在Rt△ACD中，sinA= ，
设CD=3k，则AB=AC=5k，
∴AD==4k，
在Rt△BCD中，∵BD=AB-AD=5k-4k=k，
在Rt△BCD中，BC=，
∵BC=10，
∴k=3，
∴k=3，
∴AB=5k=15，
故选A．
【点睛】
考查了等腰三角形的性质，解直角三角形的知识，过点C作CD⊥AB，构造直角三角形是关键．
10．C
【分析】
分别过C、E两点作x轴的垂线，交x轴于点D、F，则可用k表示出CD，利用平行四边形的性质可表示出EF，则可求得E点横坐标，且可求得AE=EF=CF=m，从而可表示出四边形OABC的面积，可求得k．
【详解】
解：如图，分别过C、E两点作x轴的垂线，交x轴于点D、F，


∵反比例函数的图象经过▱OABC的顶点C和对角线的交点E，设C（m，），
∴OD＝m，CD＝，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴E为AC中点，且EF∥CD，
∴EF＝CD＝，且DF＝AF，
∵E点在反比例函数图象上，
∴E点横坐标为2m，
∴DF＝OF﹣OD＝m，
∴OA＝3m，
∴S△OAE＝OA•EF＝×3m×＝，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴S四边形OABC＝4S△OAE，
∴4×＝12，解得k＝4，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质及反比例函数k的几何意义，涉及的知识点较多，注意理清解题思路，分步求解．
11．x≥0且x≠2
【分析】
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，即可求解．
【详解】
解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x≥0且x-2≠0，
解得：x≥0且x≠2．
故答案为：x≥0且x≠2．
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，难度不大．
12．a（a+2）（a-2）
【分析】
先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式，然后选取答案即可．
【详解】
解：a3-4a，
=a（a2-4），
=a（a+2）（a-2）．
故答案为：a（a+2）（a-2）
【点睛】
本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式．
13．-7
【分析】
将变形为3-2(x-2y)，然后代入数值进行计算即可．
【详解】
解：∵
∴=3-2(x-2y)=3-2×5=-7．
故答案为-7．
【点睛】
本题主要考查了求代数式的值．将整体代入是解题的关键．
14．x=-1
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
【详解】
解：去分母得：x+ x-1=-3，
移项合并得：2x=-2，
解得：x=-1，
检验：把x=-1代入x-1=-2≠0，
则x=-1是分式方程的解．
【点睛】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
15．
【分析】
如图，作B1E⊥x轴于E．解直角三角形求出OE，EB1即可解决问题．
【详解】
解：如图，作B1E⊥x轴于E．

∵，
∴在Rt△OAB中，，，
∴，
∴，
∵把绕点，顺时针旋转150°后得到，
∴∠BOB1=150°，O B1=，
∴A、O、B1共线，
∠B1OE=30°，
∴B1E=，
∴，
∴点的坐标为
故答案为：
【点睛】
本题考查坐标与图形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16．1
【分析】
点坐标到轴的距离是，再根据配方法计算最小值即可．
【详解】
解：点P到直线y＝﹣5的距离：，
配方得：，
则当时有最小值1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了用配方法求二次函数的最值，非负数的性质，坐标与图形的性质；能正确得到关于的关系式是本题的关键．
17．
【分析】
过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，根据同角的余角相等求出∠CAD=∠BCE，然后利用“角角边”证明△ACD和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=BE，然后利用勾股定理列式求出AC，然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
【详解】
如图，过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，设l1，l2，l3间的距离为1，
∵∠CAD+∠ACD=90°，
∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在等腰直角△ABC中，AC=BC，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD=BE=1，
∴AD=2，
∴AC=，
∴AB=AC=，
∴sinα=，
故答案为.

【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，正确添加辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
18．
【分析】
由题意得：AP=t，PD=5-t，可求得，由正方形的性质得到，代入计算即可求解．
【详解】
解：由题意得：AP=t，PD=5-t，
∴，
∵四边形PCEF是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当t=4时，△DEF的面积最小，最小值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查正方形的性质、二次函数与动点问题、勾股定理，解题的关键是综合利用相关知识解题．
19．0
【分析】
根据，，，计算即可．
【详解】
∵，，，
∴
＝
＝0．
【点睛】
本题考查了绝对值，幂，特殊角的三角函数值，熟练进行各自的化简是解题的关键．
20．
【详解】
试题分析：先把括号的分式通分，化为最简后再算除法，除以一个数等于乘以这个数的倒数，最后把x的值代入即可.
试题解析：原式=
=
当x=时，原式=.
21．
【分析】
根据解不等式的一般方法，去括号，移项，根据不等式的基本性质系数化1，分别解两个不等式，然后求两个不等式的解集的公共部分，“都大取较大”判断出解集．
【详解】
解：由，
解得，
由，
解得，
∴不等式组的解集是．
22．（1）50,70；（2）35；
【分析】
（1）甲乙规格的球价格分别设为x，y，根据题意列出二元一次方程组，即可求出结果；
（2）设未知数x，根据题意以及一问中的结果列出不等式，解不等式，取整，即为所求答案．
【详解】
（1）设每个甲种规格的排球的价格是x元，每个乙种规格的足球的价格是y元，
根据题意得，
解得：，
答：每个甲种规格的排球的价格是50元，每个乙种规格的足球的价格是70元；
（2）设该学校购买m个乙种规格的足球，则购买甲种规格的排球(50-m)个，根据题意得出：50(50-m)+70m≤3210，解得m≤35.5；
答：该学校至多能购买35个乙种规格的足球．
【点睛】
主要考查二元一次方程组以及不等式的实际应用，读懂题意，找到等量关系式是解题的关键．
23．①见解析；②∠BDC＝75°．
【分析】
①利用SAS即可得证；
②由全等三角形对应角相等得到∠AEB＝∠BDC，利用外角的性质求出∠AEB的度数，即可确定出∠BDC的度数．
【详解】
①证明：在△ABE和△CBD中，，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
②解：∵在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵△ABE≌△CBD，
∴∠AEB＝∠BDC，
∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB＝∠ACB＋∠CAE＝45°＋30°＝75°，
∴∠BDC＝75°．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
24．(1)60 ;(2)2
【分析】
（1）作AC⊥AB于C，根据余弦的定义计算；
（2）利用余弦的定义求出AM，计算即可．
【详解】
（1）作AC⊥AB于C，

则MC＝BM×cos45°＝60海里，
答：渔船从B到A的航行过程中与码头M之间的最小距离为60海里；
（2）在Rt△ACM中，AM＝＝40，40÷20＝2，
答：渔船从A到达码头M的航行时间为2小时．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题以及勾股定理的应用，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）或
【分析】
（1）根据跟的判别式时一元二次方程有两个不相等的实根证明即可；
（2）由已知可得，将其变形为，再根据韦达定理即可得到关于一元二次方程，则可解得的值．
【详解】
解：（1）由题：
=，
，
方程总有两个不相等的实根；
（2）由题知，
由韦达定理： ，，
，
，
解得：，，
故或．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系；掌握好关于一元二次方程的基础知识，能将正确变形是解决本题的关键．
26．（1）7；（2）y=-x+12.
【分析】
（1）过D作BC垂线，根据D为中点，得到D点坐标，代入可求得结果；
（2）设OB为a，E，D点坐标为关于a的代数式，代入函数可求得a值，继而可得到A，C点坐标，根据已知直线上两点，求直线解析式，即可求得AC解析式．
【详解】
（1）如图，

过D作BC垂线，交BC于P点，
∵BC=3，D为AC中点，
∴BP=BC=，
∵OB=2，∴OP=，∴P点坐标为（，0）
∵AB=4，∴D点坐标为（，2），
∵D在y=上，代入D点坐标，
∴k=7；
故答案为7；
（2）∵AE=AB=×4=，
∴BE=AB-AE=4-=，
设OB=a，则E点坐标为（a，），D点坐标为（a+，2），
∵D，E在y=上，
∴k=xy=a=2(a+)，
∴a=6，
∴A点坐标为（6,4），C点坐标为（9,0），
设AC的解析式为y=kx+b，A，C坐标代入，
求得k=-，b=12，
故AC的解析式为y=-x+12．
【点睛】
本题考查了根据坐标求反比例函数，考查反比例函数图像上点的坐标特征，结合直角三角形，求出OB长是解题的关键．
27．（1）（2）直线AD上方的抛物线上存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形，点P的坐标是（－2，3）和（－4，）（3），最大值是15
【分析】
（1）将A，B两点坐标分别代入求出二次函数解析式；将A点坐标代入求出直线解析式．
（2）首先假设出P，M点的坐标，进而得出PM的长，将两函数联立得出D点坐标，进而得出CE的长，利用平行四边形的判定得出PM=CE，得出等式方程求出即可．
（3）利用勾股定理得出DC的长，进而根据△PMN∽△CDE，得出两三角形周长之比，求出l与x的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即可．
【详解】
解：（1）∵经过点A（2，0）和B（0，）
∴，解得．
∴抛物线的解析式是．
∵直线经过点A（2，0），∴，解得：．
∴直线的解析式是．
（2）存在．
设P的坐标是（x，），则M的坐标是（x，），
∴．
解方程得：或．
∵点D在第三象限，∴点D的坐标是（﹣8，）．
由令x=0得点C的坐标是（0，）．
∴．
∵PM∥y轴，∴要使四边形PMEC是平行四边形，必有PM=CE，即．
整理得，解这个方程得：x1=－2，x2=－4，符合﹣8＜x＜2．
当x=－2时，；
当x=－4时，．
∴直线AD上方的抛物线上存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形，点P的坐标是
（－2，3）和（－4，）．
（3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC=10．
∴△CDE的周长是24．
∵PM∥y轴，∵∠PMN=∠DCE．
∵∠PNM=∠DEC，∴△PMN∽△CDE．
∴，即．
化简整理得：l与x的函数关系式是：．
∵＜0，∴l有最大值，当x=－3时，l的最大值是15．