2021年江苏省苏州市昆山市中考数学调研试卷（一）

这是一份2021年江苏省苏州市昆山市中考数学调研试卷（一），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列实数中，无理数是（ ）
A．0B．﹣1C．D．
2．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．3x﹣2x＝1B．x3÷x2＝x
C．x3•x2＝x6D．（x+y）2＝x2+y2
3．（3分）一个正常人的心跳平均每分70次，一天大约跳100800次，将100800用科学记数法表示为（ ）
A．0.1008×106B．1.008×106C．1.008×105D．10.08×104
4．（3分）若a＜﹣1，则a+＝（ ）
A．﹣1B．1C．2a﹣1D．2a+1
5．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D．若∠ADB＝125°，则∠BAC等于（ ）
A．70°B．55°C．45°D．40°
6．（3分）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，若CD＝1cm，则AC等于（ ）
A．B．C．2cmD．1cm
7．（3分）若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx＝5的解为（ ）
A．x1＝0，x2＝4B．x1＝1，x2＝5C．x1＝1，x2＝﹣5D．x1＝﹣1，x2＝5
8．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下三个结论：
①该抛物线的对称轴在y轴右侧；
②关于x的方程ax2+bx+c+1＝0无实数根；
③4a+2b+c＞0；
其中，正确结论的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
9．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝3，sinA＝，则AB的长为（ ）
A．15B．5C．20D．10
10．（3分）如图，反比例函数的图象经过平行四边形OABC的顶点C和对角线的交点E，顶点A在x轴上．若平行四边形OABC的面积为12，则k的值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
二、填空题：（每题3分，共24分）
11．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）分解因式：a3﹣4a＝ ．
13．（3分）已知x﹣2y＝5，那么代数式3﹣2x+4y的值是 ．
14．（3分）分式方程+1＝的解是 ．
15．（3分）如图，△ABO中，AB⊥OB，，AB＝1，把△ABO绕点，O顺时针旋转150°后得到△A1B1O，则点B1的坐标为 ．
16．（3分）已知点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则点P到直线y＝﹣5的最小值为 ．
17．（3分）如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角三角形ABC的直角顶点C在l1上，另两个顶点A，B分别在l3，l2上，则sinα的值是 ．
18．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝5，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为 ．
三、解答题（共76分）
19．（5分）计算：．
20．（7分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．
21．（6分）解不等式组：．
22．（9分）我市某中学计划购进若干个甲种规格的排球和乙种规格的足球．如果购买20个甲种规格的排球和15个乙种规格的足球，一共需要花费2050元；如果购买10个甲种规格的排球和20个乙种规格的足球，一共需要花费1900元．
（1）求每个甲种规格的排球和每个乙种规格的足球的价格分别是多少元？
（2）如果学校要购买甲种规格的排球和乙种规格的足球共50个，并且预算总费用不超过3210元，那么该学校至多能购买多少个乙种规格的足球？
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE，DE，DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．
24．（8分）如图，一艘渔船位于码头M的南偏东45°方向，距离码头120海里的B处，渔船从B处沿正北方向航行一段距离后，到达位于码头北偏东60°方向的A处．
（1）求渔船从B到A的航行过程中与码头M之间的最小距离．
（2）若渔船以20海里/小时的速度从A沿AM方向行驶，求渔船从A到达码头M的航行时间．
25．（9分）关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是该方程的两根，且满足两根的平方和等于3，求m的值．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，∠ABC＝90°，顶点A在第一象限，B、C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC＝3，AB＝4．若双曲线y＝（k≠0）交边AB于点E，交边AC于中点D．
（1）若OB＝2，求k；
（2）若AE＝AB，求直线AC的解析式．
27．（14分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线y＝kx过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．
（1）求抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝kx的解析式；
（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值．
2021年江苏省苏州市昆山市中考数学调研试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中，无理数是（ ）
A．0B．﹣1C．D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、0是整数，是有理数，选项错误；
B、﹣1是整数，是有理数，选项错误；
C、是无理数，选项正确；
D、是分数，是有理数，选项错误．
故选：C．
2．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．3x﹣2x＝1B．x3÷x2＝x
C．x3•x2＝x6D．（x+y）2＝x2+y2
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则以及完全平方公式逐一判断即可．
【解答】解：A、3x﹣2x＝x，故本选项不合题意；
B、x3÷x2＝x，故本选项符合题意；
C、x3•x2＝x5，故本选项不合题意；
D、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故本选项不合题意；
故选：B．
3．（3分）一个正常人的心跳平均每分70次，一天大约跳100800次，将100800用科学记数法表示为（ ）
A．0.1008×106B．1.008×106C．1.008×105D．10.08×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：100800＝1.008×105．
故选：C．
4．（3分）若a＜﹣1，则a+＝（ ）
A．﹣1B．1C．2a﹣1D．2a+1
【分析】此题考查二次根式的化简．
【解答】解：∵a＜﹣1，
∴a+1＜0，
原式＝a+|a+1|＝a﹣a﹣1＝﹣1，故选A．
5．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D．若∠ADB＝125°，则∠BAC等于（ ）
A．70°B．55°C．45°D．40°
【分析】设∠BAC＝x，根据已知可以分别表示出∠ABD和∠BAD，再根据三角形内角和定理即可求得∠BAC的度数．
【解答】解：设∠BAC＝x，
∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣x），
∵BD是∠ABC的角平分线，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠ABD＝（180°﹣x），∠DAB＝x，
∵∠ABD+∠DAB+∠ADB＝180°，
∴（180°﹣x）+x+125°＝180°，
∴x＝40°．
故选：D．
6．（3分）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，若CD＝1cm，则AC等于（ ）
A．B．C．2cmD．1cm
【分析】过D作DE⊥BA交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE＝CD，推出△ADE是等腰直角三角形，得到AE＝DE＝1，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：过D作DE⊥BA交BA的延长线于E，
∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝CD，
∵CD＝1，
∴DE＝1，
∵AD∥BC，∠ABC＝45°，
∴∠EAD＝∠ABC＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝DE＝1，
∴AD＝，
∵AD∥BC，∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝，
故选：B．
7．（3分）若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx＝5的解为（ ）
A．x1＝0，x2＝4B．x1＝1，x2＝5C．x1＝1，x2＝﹣5D．x1＝﹣1，x2＝5
【分析】根据对称轴方程﹣＝2，得b＝﹣4，解x2﹣4x＝5即可．
【解答】解：∵对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，
∴﹣＝2，
解得：b＝﹣4，
∴关于x的方程为x2﹣4x＝5，
解得x1＝﹣1，x2＝5，
故选：D．
8．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下三个结论：
①该抛物线的对称轴在y轴右侧；
②关于x的方程ax2+bx+c+1＝0无实数根；
③4a+2b+c＞0；
其中，正确结论的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】①根据a、b同号可确定对称轴位置；
②根据抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴有一个交点，知y≥0，所以y≠﹣1；
③因为对称轴＜0，所以x＝2时，y＞0．
【解答】解：①∵b＞a＞0，即a、b同号，
∴该抛物线的对称轴在y轴左侧；
故①不正确；
②如果抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴有一个交点，
则这个交点就是抛物线的顶点，
如果抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴没有交点，则y＞0，
∴y≠﹣1，
即关于x的方程ax2+bx+c+1＝0无实数根；
故②正确；
③由①知：抛物线的对称轴在y轴左侧；
∴对称轴x＝﹣＜0，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，
∴y≥0，
∴4a+2b+c＞0；
故③正确；
故选：C．
9．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝3，sinA＝，则AB的长为（ ）
A．15B．5C．20D．10
【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝3k，则AB＝AC＝5k，继而可求出BD＝k，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
在Rt△ACD中，sinA＝，
设CD＝3k，则AB＝AC＝5k，
∴AD＝＝4k，
在Rt△BCD中，∵BD＝AB﹣AD＝5k﹣4k＝k，
在Rt△BCD中，BC＝＝＝k，
∵BC＝10，
∴k＝3，
∴k＝3，
∴AB＝5k＝15，
故选：A．
10．（3分）如图，反比例函数的图象经过平行四边形OABC的顶点C和对角线的交点E，顶点A在x轴上．若平行四边形OABC的面积为12，则k的值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【分析】分别过C、E两点作x轴的垂线，交x轴于点D、F，则可用k表示出CD，利用平行四边形的性质可表示出EF，则可求得E点横坐标，且可求得OD＝DF＝FA＝m，从而可表示出四边形OABC的面积，可求得k．
【解答】解：如图，分别过C、E两点作x轴的垂线，交x轴于点D、F，
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过▱OABC的顶点C和对角线的交点E，设C（m，），
∴OD＝m，CD＝，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴E为AC中点，且EF∥CD，
∴EF＝CD＝，且DF＝AF，
∵E点在反比例函数图象上，
∴E点横坐标为2m，
∴DF＝OF﹣OD＝m，
∴OA＝3m，
∴S▱OABC＝CD×OA＝×3m＝12，
解得k＝4，
故选：C．
二、填空题：（每题3分，共24分）
11．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是 x≥0且x≠2 ．
【分析】令被开方数大于或等于0和分母不为0即可求出x的范围
【解答】解：∵
解得：x≥0且x≠2
故答案为：x≥0且x≠2
12．（3分）分解因式：a3﹣4a＝ a（a+2）（a﹣2） ．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣4）
＝a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：a（a+2）（a﹣2）
13．（3分）已知x﹣2y＝5，那么代数式3﹣2x+4y的值是 ﹣7 ．
【分析】将3﹣2x+4y变形为3﹣2（x﹣2y），然后代入数值进行计算即可．
【解答】解：∵x﹣2y＝5，
∴3﹣2x+4y＝3﹣2（x﹣2y）＝3﹣2×5＝﹣7；
故答案为：﹣7．
14．（3分）分式方程+1＝的解是 x＝﹣1 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：两边都乘以x﹣1，得：x+x﹣1＝﹣3，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，x﹣1＝﹣2≠0，
所以原分式方程的解为x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1．
15．（3分）如图，△ABO中，AB⊥OB，，AB＝1，把△ABO绕点，O顺时针旋转150°后得到△A1B1O，则点B1的坐标为 （﹣，﹣） ．
【分析】如图，过点B1作B1H⊥x轴于H．求出OH，B1H即可．
【解答】解：如图，过点B1作B1H⊥x轴于H．
∵∠BOB1＝150°，
∴∠HOB1＝180°﹣150°＝30°，
∴B1H＝OB′＝，
∴OH＝B′H＝，
∴B1（﹣，﹣）．
故答案为：（﹣，﹣）．
16．（3分）已知点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则点P到直线y＝﹣5的最小值为 1 ．
【分析】点P到直线y＝﹣5的距离是|m2﹣2m﹣3﹣（﹣5）|，利用配方法即可得到点P到直线y＝﹣5的最小值．
【解答】解：点P到直线y＝﹣5的距离是|m2﹣2m﹣3﹣（﹣5）|＝|m2﹣2m+2|＝|（m﹣1）2+1|．
当m﹣1＝0时，点P到直线y＝﹣5的最小值为1．
故答案为：1．
17．（3分）如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角三角形ABC的直角顶点C在l1上，另两个顶点A，B分别在l3，l2上，则sinα的值是 ．
【分析】过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，根据同角的余角相等求出∠CAD＝∠BCE，然后利用“角角边”证明△ACD和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得CD＝BE，然后利用勾股定理列式求出AC，然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，设l1，l2，l3间的距离为1，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在等腰直角△ABC中，AC＝BC，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE＝1，
∴AD＝2，
∴AC＝，
∴AB＝，
∴sinα＝，
故答案为：
18．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝5，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为 ．
【分析】由题意得：AP＝t，PD＝5﹣t，根据三角形面积公式可得y与t的关系式，由图②得：S△DEF+S△PDC＝S正方形EFPC，代入可得结论．
【解答】解：由题意得：AP＝t，PD＝5﹣t，
∴y＝＝5﹣t，
∵四边形EFPC是正方形，
∴S△DEF+S△PDC＝S正方形EFPC，
∵PC2＝PD2+CD2，
∴PC2＝22+（5﹣t）2＝t2﹣10t+29，
∴S△DEF＝（t2﹣10t+29）﹣（5﹣t）＝t2﹣4t+＝（t﹣4）2+，
当t为4时，△DEF的面积最小，且最小值为．
故答案为：．
三、解答题（共76分）
19．（5分）计算：．
【分析】直接利用绝对值的性质以及有理数的乘方运算法则、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+1﹣
＝0．
20．（7分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝．
21．（6分）解不等式组：．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：，
由①得，x≥1，
由②得，x＞4，
所以，不等式组的解集为x＞4．
22．（9分）我市某中学计划购进若干个甲种规格的排球和乙种规格的足球．如果购买20个甲种规格的排球和15个乙种规格的足球，一共需要花费2050元；如果购买10个甲种规格的排球和20个乙种规格的足球，一共需要花费1900元．
（1）求每个甲种规格的排球和每个乙种规格的足球的价格分别是多少元？
（2）如果学校要购买甲种规格的排球和乙种规格的足球共50个，并且预算总费用不超过3210元，那么该学校至多能购买多少个乙种规格的足球？
【分析】（1）设每个甲种规格的排球的价格为x元，每个乙种规格的足球的价格为y元，根据“如果购买20个甲种规格的排球和15个乙种规格的足球，一共需要花费2050元；如果购买10个甲种规格的排球和20个乙种规格的足球，一共需要花费1900元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设学校购买m个乙种规格的足球，则购买（50﹣m）个甲种规格的排球，根据总价＝单价×数量结合预算总费用不超过3210元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每个甲种规格的排球的价格为x元，每个乙种规格的足球的价格为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：每个甲种规格的排球的价格为50元，每个乙种规格的足球的价格为70元．
（2）设学校购买m个乙种规格的足球，则购买（50﹣m）个甲种规格的排球，
依题意，得：50（50﹣m）+70m≤3210，
解得：m≤35．
又∵m为整数，
∴m的最大值为35．
答：该学校至多能购买35个乙种规格的足球．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE，DE，DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．
【分析】（1）由条件可利用SAS证得结论；
（2）由等腰直角三角形的性质可先求得∠BCA，利用三角形外角的性质可求得∠AEB，再利用全等三角形的性质可求得∠BDC．
【解答】（1）证明：
∵∠ABC＝90°，
∴∠DBC＝90°，
在△ABE和△CBD中
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）解：
∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠BCA＝45°，
∴∠AEB＝∠CAE+∠BCA＝30°+45°＝75°，
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BDC＝∠AEB＝75°．
24．（8分）如图，一艘渔船位于码头M的南偏东45°方向，距离码头120海里的B处，渔船从B处沿正北方向航行一段距离后，到达位于码头北偏东60°方向的A处．
（1）求渔船从B到A的航行过程中与码头M之间的最小距离．
（2）若渔船以20海里/小时的速度从A沿AM方向行驶，求渔船从A到达码头M的航行时间．
【分析】（1）作AC⊥AB于C，根据余弦的定义计算；
（2）利用余弦的定义求出AM，计算即可．
【解答】解：（1）作AC⊥AB于C，
则MC＝BM×cs45°＝60海里，
答：渔船从B到A的航行过程中与码头M之间的最小距离为60海里；
（2）在Rt△ACM中，AM＝＝40，
40÷20＝2，
答：渔船从A到达码头M的航行时间为2小时．
25．（9分）关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是该方程的两根，且满足两根的平方和等于3，求m的值．
【分析】（1）计算判别式的值得到△＝4m2+1，利用非负数的性质得△＞0，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝2m+1，x1x2＝m，利用x12+x22＝3得到（2m+1）2﹣2×m＝3，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：△＝（2m+1）2﹣4m＝4m2+1，
∵4m2≥0，
∴△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x1，x2是该方程的两根，则x1+x2＝2m+1，x1x2＝m，
∵x12+x22＝3，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝3，
∴（2m+1）2﹣2×m＝3，
解得m＝或﹣1．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，∠ABC＝90°，顶点A在第一象限，B、C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC＝3，AB＝4．若双曲线y＝（k≠0）交边AB于点E，交边AC于中点D．
（1）若OB＝2，求k；
（2）若AE＝AB，求直线AC的解析式．
【分析】（1）当OB＝2＝m时，点D（，2），即可求解；
（2）AE＝AB，则EB＝AB＝，故点E（m，），而点E、D都在反比例函数上，故k＝2×（m+）＝m×，求得m＝6，进而求出点A、C的坐标，即可求解．
【解答】解：设点B（m，0），则点C（m+3，0），点A（m，4），
由中点公式得，点D（m+，2）；
（1）当OB＝2＝m时，点D（，2），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：k＝×2＝7；
（2）AE＝AB，则EB＝AB＝，故点E（m，），
∵点E、D都在反比例函数上，故k＝2×（m+）＝m×，
解得：m＝6，
过点A、C的坐标分别为：（6，4）、（9，0），
设直线AC的表达式为：y＝kx+b，则，解得，
故直线AC的表达式为：y＝﹣x+12．
27．（14分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线y＝kx过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．
（1）求抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝kx的解析式；
（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值．
【分析】（1）将A，B两点分别代入y＝x2+bx+c进而求出解析式即可；
（2）首先假设出P，M点的坐标，进而得出PM的长，将两函数联立得出D点坐标，进而得出CE的长，利用平行四边形的性质得出PM＝CE，得出等式方程求出即可；
（3）利用勾股定理得出DC的长，进而根据△PMN∽△CDE，得出两三角形周长之比，求出l与x的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即可．
【解答】解：（1）∵y＝x2+bx+c经过点A（2，0）和B（0，），
∴由此得 ，
解得．
∴抛物线的解析式是y＝x2﹣x+，
∵直线y＝kx﹣经过点A（2，0）
∴2k﹣＝0，
解得：k＝，
∴直线的解析式是y＝x﹣，
（2）设P的坐标是（x，x2﹣x+），则M的坐标是（x，x﹣）
∴PM＝（x2﹣x+）﹣（x﹣）＝﹣x2﹣x+4，
解方程 得：，，
∵点D在第三象限，则点D的坐标是（﹣8，﹣7），由y＝x﹣得点C的坐标是（0，﹣），
∴CE＝﹣﹣（﹣7）＝6，
由于PM∥y轴，要使四边形PMEC是平行四边形，必有PM＝CE，即﹣x2﹣x+4＝6
解这个方程得：x1＝﹣2，x2＝﹣4，
符合﹣8＜x＜2，
当x＝﹣2时，y＝﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+＝3，
当x＝﹣4时，y＝﹣×（﹣4）2﹣×（﹣4）+＝，
因此，直线AD上方的抛物线上存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形，点P的坐标是（﹣2，3）和（﹣4，）；
（3）在Rt△CDE中，DE＝8，CE＝6 由勾股定理得：DC＝＝10，
∴△CDE的周长是24，
∵PM∥y轴，
∵∠PMN＝∠DCE，
∵∠PNM＝∠DEC，
∴△PMN∽△CDE，
∴＝，即＝，
化简整理得：l与x的函数关系式是：l＝﹣x2﹣x+，
l＝﹣x2﹣x+＝﹣（x+3）2+15，
∵﹣＜0，
∴l有最大值，
当x＝﹣3时，l的最大值是15．