高考数学(理数)冲刺大题提分(讲义+练习)大题精做04《立体几何：平行、垂直关系证明》(含答案详解)

高考数学(理数)冲刺大题提分(讲义+练习)

大题精做04《立体几何：平行、垂直关系证明》

【例题】如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．，，，．

（1）求证：；

（2）求证：平面平面；

（3）线段上是否存在点，使平面？

若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

解：（1）证明：取中点，连结，．由等腰直角三角形可得，

∵，，∴，

∵四边形为直角梯形，，，

∴四边形为正方形，∴，，平面，

∴．

（2）∵平面平面，平面平面，且，

∴平面，∴，

又∵，，∴平面，平面，

∴平面平面．

（3）解：存在点，且时，有平面，连交于，

∵四边形为直角梯形，，∴，

又，∴，∴，

∵平面，平面，

∴平面．即存在点，且时，有平面．

1.在四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）若是棱的中点，求证：对于棱上任意一点，与都不平行．

2.在四棱锥中，锐角三角形所在平面垂直于平面，，．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面．

3.如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且，分别是，的中点．

（1）求证：；

（2）求证：平面；

（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；

若不存在，请说明理由．

4.如图，在四棱椎中，，平面，平面，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

5.如图,四边形ABCD为梯形,AB∥CD,PD⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,

DC=2AB=2a,DA=a,E为BC中点.

(1)求证:平面PBC⊥平面PDE;

(2)线段PC上是否存在一点F,使PA∥平面BDF?若存在,请找出具体位置,并进行证明:若不存在,请分析说明理由.

0.答案解析

1.解：（1）∵，平面，平面，

∴平面．

（2）法一：∵平面平面，平面平面，

，平面，∴平面．

法二：在平面中过点作，交于，

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，

∵平面，∴，

又，，∴平面．

（3）法一：假设存在棱上点，使得，连接，取其中点，

在中，∵，分别为，的中点，∴，

∵过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，∴与重合，

∴点在线段上，∴是，的交点，

即就是，而与相交，矛盾，∴假设错误，问题得证．

法二：假设存在棱上点，使得，显然与点不同 ，

∴，，，四点在同一个平面中，

∴，，∴，，

∴就是点，，确定的平面，且，

这与为四棱锥矛盾，∴假设错误，问题得证．

2.解：（1）四边形中，∵，，

∴，在平面外，∴平面．

（2）作于，

∵平面平面，而平面平面，

∴平面，∴，

又，，∴平面，

又在平面内，∴平面平面．

3.解：（1）∵，

又平面平面，且平面平面，

∴平面．

又∵平面，∴．

（2）取中点，连，连．

在中，

∵，分别是，中点，∴，且．

在平行四边形中，

∵是的中点，∴，且．

∴，且．∴四边形是平行四边形．∴．

又∵平面，平面，∴平面．

（3）在线段上存在点，使得平面．

取的中点，连，连．

∵平面，平面，平面，∴，．

在中，∵，分别是，中点，∴．

又由（2）知，∴，．

由得平面．

故当点是线段的中点时，平面．此时，．

4.（1）证明：因为平面，平面，所以，

又因为，，

所以平面，

又因为平面，所以平面平面.·

（2）结论：在线段上存在一点，且，使平面.

解：设为线段上一点，且，过点作交于，

则.因为平面，

平面，所以.

又因为，所以，，

所以四边形为平行四边形，则.

又因为平面，平面，所以平面.

5. (1)证明:

连接BD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=a,DA=a,

所以BD=DC=2a,

E为BC中点,所以BC⊥DE.

又因为PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥PD.

因为DE∩PD=D,所以BC⊥平面PDE.

因为BC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PDE.

(2)解:当点F位于PC三分之一分点(靠近P点)时,PA∥平面BDF.

连接AC,AC与BD交于O点,AB∥CD,所以△AOB∽△COD.

又因为AB=DC,所以AO=OC,从而在△CPA中,AO=AC,而PF=PC,

所以OF∥PA,

而OF⊂平面BDF,PA⊄平面BDF,

所以PA∥平面BDF.