高考数学(理数)冲刺大题提分(讲义+练习)大题精做09《圆锥曲线》(含答案详解)

高考数学(理数)冲刺大题提分

大题精做09《圆锥曲线》

[例题]已知抛物线上点处的切线方程为．

（1）求抛物线的方程；

（2）设和为抛物线上的两个动点，其中且，

线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值．

解：（1）设点，由得，求导，

因为直线的斜率为，所以且，解得，

所以抛物线的方程为．

（说明：也可将抛物线方程与直线方程联立，由解得）

（2）设线段中点，则，，

，∴直线的方程为，

即，过定点．

联立，

得，

，

设到的距离，

，

当且仅当，即时取等号，

的最大值为．

1.已知点为曲线上任意一点，、，直线，的斜率之积为．

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）是否存在过点的直线与曲线交于不同的两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

2.已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线与椭圆有且只有一个公共点．

（1）求椭圆的方程及点的坐标；

（2）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，

且与直线交于点．证明：存在常数，使得，并求的值．

3.已知直线与抛物线交于，两点，线段的中点为，点为的焦点，且（为坐标原点）的面积为1．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过点作斜率为的直线与交于，两点，直线，分别交直线y=x+2于P，Q两点，求∣PQ∣的最大值．

4.已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，

且原点到直线的距离为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若不经过点的直线与椭圆交于，两点，

且与圆相切．试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．

5.已知椭圆的中心在坐标原点，左右焦点分别为和，

且椭圆经过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的右顶点作两条相互垂直的直线，，分别与椭圆交于点，（均异于点），求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

0.答案解析

1.解：（1）设点，，

则，整理得：，

故曲线的轨迹方程为：，．

（2）假设存在直线满足题意．显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆不相交．

①当直线的斜率时，设直线为：，

联立，化简得：，

由，解得，

设点，，则，，

取的中点，则，则，

即，化简得，无实数解，故舍去．

②当时，为椭圆的左右顶点，显然满足，

此时直线的方程为．

综上可知，存在直线满足题意，此时直线的方程为．

2.解：（1）由已知，，则椭圆的方程为．

由方程组，得①．

方程①的判别式为，由，得，

此时方程①的解为，所以椭圆的方程为．点的坐标为．

（2）证明：由已知可设直线的方程为，

由方程组，可得，

所以P点坐标为，．

设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由方程组，可得．②

方程②的判别式为，

由，解得．由②得，．

所以，

同理．

所以

．

故存在常数，使得．

3.解：（1）设，，则．

由，两式相减，得．

∴，所以点的纵坐标为，

∴的面积，解得．

故所求抛物线的标准方程为．

（2）直线的方程为．

由方程组，得．

设，，则，．

直线的方程为，代入，解得，

所以．同理得．

所以

．

因为，所以，所以当，即时，取得最大值．

4.解：（1）由题可知，，，则，

直线的方程为，即，所以，

解得，，

又，所以椭圆的标准方程为．

（2）因为直线与圆相切，

所以，即．

设，，联立，得，

所以，

，，所以．

又，所以．

因为，同理．

所以，

所以的周长是，

则的周长为定值．

5.解：（1）设椭圆的标准方程为，

，，

∴，∴，∴，

所以椭圆的标准方程为．

（2）①直线斜率存在，设直线，，，

联立方程，消去得，

，，

，又，

由，得，

即，∴，

∴，

∴．解得，，且均满足，

当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾；

当时，直线的方程为，直线过定点．

②由椭圆的对称性所得，当直线，的倾斜角分别为，，易得直线，

，直线，分别与椭圆交于点，，

此时直线斜率不存在，也过定点，

综上所述，直线恒过定点．