2018届高三数学（理）一轮复习：阶段检测卷二 word版含解析

这是一份2018届高三数学（理）一轮复习：阶段检测卷二 word版含解析，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

阶段检测二
三角函数、解三角形与平面向量
(时间:120分钟 总分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知sin=cs(π-α),则α的取值范围是( )
A.B.
C.D.
2.已知角α的顶点在原点,始边为x轴正半轴,终边与圆心在原点的单位圆交于点A(m,m),则sin2α=( )
A.±B.C.±D.
3.已知向量与向量a=(1,-2)的夹角为π,||=2,点A的坐标为(3,-4),则点B的坐标为( )
A.(1,0)B.(0,1)C.(5,-8)D.(-8,5)
4.已知tan(α-2β)=-,tan(2α-β)=-,则tan(α+β)=( )
A.-B.C.D.
5.已知函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,则φ可能是( )
A.B.C.-D.
6.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a,b,c成等比数列,若sinB=,csB=,则a+c的值为( )
A.13B.3C.37D.13
7.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),其中ω>0,-π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π,且当x=时,f(x)取得最大值,则( )
A.f(x)在区间-2π,0]上单调递增
B.f(x)在区间-3π,-π]上单调递增
C.f(x)在区间3π,5π]上单调递减
D.f(x)在区间4π,6π]上单调递减
8.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(-sinB,csB),n=(sinC,csC),若m·n=-,且a=1,b=,则B=( )
A.或B.C.D.或
9.已知函数f(x)=sin,若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,则下面结论错误的是( )
A.函数g(x)的最小正周期为10π
B.函数g(x)是偶函数
C.函数g(x)的图象关于直线x=对称
D.函数g(x)在区间π,2π]上是增函数
10.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AB=3,DF=DC,AE=AC,则·=( )
A.B.-C.-D.
11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知=,c=2,则△ABC面积的最大值为( )
A.2B.2C.D.
12.已知O是锐角△ABC的外心,tanA=,若+=2m,则m=( )
A.B.C.3D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)
13.已知向量a=(1,x),b=(1,x-1),若(a-2b)⊥a,则|a-2b|= .
14.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sinB=3sinC,则csA的值为 .
15.已知x∈(k∈Z),且cs=-,则cs2x的值是 .
16.下图是函数f(x)=Asin(2x+φ)图象的一部分,对不同的x1,x2∈a,b],若f(x1)=f(x2),f(x1+x2)=,则函数f(x)在区间内的增区间为 .
三、解答题(共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知△ABC是边长为3的等边三角形,=2λ,=λ,过点F作DF⊥BC,交AC边于点D,交BA的延长线于点E.
(1)当λ=时,设=a,=b,用向量a,b表示;
(2)当λ为何值时,·取得最大值?
18.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bcsA=(2c+a)cs(π-B).
(1)求角B的大小;
(2)若b=4,△ABC的面积为,求a+c的值.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sinx+acsx(x∈R),是函数f(x)的一个零点.
(1)求a的值,并求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若α,β∈,且f=,f=,求sin(α+β)的值.
20.(本小题满分12分)如图,在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点,B、C两点到A的距离分别为20千米和50千米,某时刻,B收到发自静止目标P的一个声波信号,8秒后A、C同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒.
(1)设A到P的距离为x千米,用x表示B、C到P的距离,并求x的值;
(2)求P到海防警戒线AC的距离.
21.(本小题满分12分)已知f(x)=cs2x+2sinsin(π-x),x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)已知锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且f(A)=-,a=3,求BC边上的高的最大值.
22.(本小题满分12分)设向量a=(sinx,csx),b=(csx,csx),记f(x)=a·b.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)试用“五点法”画出函数f(x)在区间上的简图,并指出该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到;
(3)若函数g(x)=f(x)+m,x∈的最小值为2,试求出函数g(x)的最大值.
阶段检测二三角函数、解三角形与平面向量
一、选择题
1.C 根据诱导公式可知,sin=csα,cs(π-α)=-csα,∵sin=cs(π-α),∴csα=
-csα,∴csα=0,∴α=kπ+,k∈Z.
2.D 由题意得tanα=,则sin2α=2sinαcsα====.
3.A 依题意,设=λa,其中λ<0,则有||=|λa|=-λ|a|,2=-λ,λ=-2,=-2a=(-2,4),因此点B的坐标是(-2,4)+(3,-4)=(1,0),故选A.
4.B ∵tan(α-2β)=-,tan(2α-β)=-,∴tan(α+β)=tan(2α-β)-(α-2β)]===,故选B.
5.B ∵函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,∴2×+φ=kπ+,k∈Z,∴φ=kπ+,k∈Z,当k=0时,φ=,故选B.
6.B 因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac,因为sinB=,csB=,所以ac=13,又b2=a2+c2-2accsB,所以a2+c2=37,所以(a+c)2=63,所以a+c=3.
7.A ∵f(x)的最小正周期为6π,∴ω=,
∵当x=时,f(x)取得最大值,∴×+φ=+2kπ(k∈Z),则φ=+2kπ(k∈Z),
∵-π<φ≤π,∴φ=,∴f(x)=2sin.验证易得,函数f(x)在区间-2π,0]上单调递增,在区间-3π,-π],3π,5π]上均不单调,在区间4π,6π]上单调递增.
8.A 由m·n=-,得-sinBsinC+csBcsC=-,即cs(B+C)=-,所以csA=,由09.C 因为f(x)=sin=sin,所以g(x)=sin·+=sin=-csx,故函数g(x)的最小正周期T==10π,函数g(x)为偶函数,排除A,B.易知函数g(x)的增区间为10kπ,10kπ+5π](k∈Z),因为π,2π]⊆10kπ,10kπ+5π](k∈Z),所以函数g(x)在区间π,2π]上是增函数,排除D.因为g=-cs≠±1,故选项C中结论不正确,故选C.
10.B 依题意知,=-++=-++=-+,=-+=-+=-+(+)=-,
∴·=·=-||2-||2+·=-×32-×32+×3×3×=-.
11.C 由=得=-,由正弦定理得=-,则(2sinA+sinB)csC=-csBsinC,化简得2sinAcsC=-sinA,又因为角A为△ABC的内角,所以sinA>0,则csC=-,C=.在△ABC中,由余弦定理c2=a2+b2-2abcsC及c=2,得4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab,解得ab≤,当且仅当a=b时,等号成立,此时A=B=,则△ABC的面积S=absinC≤××sin=,所以△ABC面积的最大值为.
12.A 取AB的中点D,连接OD,则OD⊥AB,
∴·=0,∵=+,∴+=2m=2m(+),∴+·=
2m·+2m·,∴||2+||||csA=2m·||2=m||2,由正弦定理可得·sin2C+sinBsinCcsA=msin2C,又在△ABC中,sinC≠0,∴csB+csC·csA=msinC,又csB=-cs(A+C)=-csAcsC+sinAsinC,∴sinAsinC=msinC,∴m=sinA,又tanA=,
∴m=sinA=.
二、填空题
13.答案
解析 由已知得a-2b=(-1,2-x),由(a-2b)⊥a,得(a-2b)·a=0,即1×(-1)+x(2-x)=0,解得x1=x2=1,所以|a-2b|==.
14.答案 -
解析 由已知及正弦定理得2b=3c,因为b-c=a,不妨设b=3,c=2,所以a=4,所以csA==-.
15.答案 -
解析 ∵x∈(k∈Z),∴csx-sinx>0,∴sin=(csx-sinx)>0,∴sin=,又cs2x=sin=2sin·cs,∴cs2x=2××=-.
16.答案
解析 由函数图象可得A=2,由题意知函数的图象关于直线x==对称,所以a+b=x1+x2.易得2a+φ=2kπ,2b+φ=(2k+1)π,k∈Z,所以a+b=2kπ+-φ.再根据f(a+b)=2sin(4kπ+π-2φ+φ)=2sinφ=f(x1+x2)=,可得sinφ=,又|φ|≤,∴φ=,∴f(x)=2sin.由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).令k=0,得f(x)在区间内的增区间为.
三、解答题
17.解析 (1)由题意可知==b,==a,故=-=-a+b.
(2)由题意知||=3λ,||=3-3λ,||=6λ,||=6λ-3,所以·=(6λ-3)(3-3λ)cs60°=-9λ2+λ-,
又λ∈,所以当λ=-=时,·取得最大值.
18.解析 (1)已知bcsA=(2c+a)cs(π-B),由正弦定理及诱导公式可得,sinBcsA=(-2sinC-sinA)csB,∴sin(A+B)=-2sinCcsB.∴sinC=-2sinCcsB,又在△ABC中,sinC≠0,∴csB=-.∴B=.
(2)由S△ABC=acsinB=,得ac=4.又b2=a2+c2+ac=(a+c)2-ac=16,∴a+c=2.
19.解析 (1)∵是函数f(x)的一个零点,
∴f=sin+acs=0,∴a=-1,
∴f(x)=sinx-csx
==sin.
由2kπ-≤x-≤2kπ+(k∈Z)得
2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z),
∴函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)∵f=,∴sinα=,
∴sinα=.∵α∈,∴csα==.∵f=,
∴sin=,∴csβ=.
∵β∈,∴sinβ==,∴sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ=×+×=.
20.解析 (1)依题意,有PA=PC=x千米,PB=x-1.5×8=(x-12)千米.
在△PAB中,AB=20千米,cs∠PAB===,
在△PAC中,AC=50千米,
cs∠PAC===.
∵cs∠PAB=cs∠PAC,∴=,解得x=31.
(2)作PD⊥AC于点D,
在△ADP中,由(1)可知cs∠PAD=,
则sin∠PAD==,
∴PD=PAsin∠PAD=31×=4千米.
故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4千米.
21.解析 (1)f(x)=cs2x-sin2x=-2sin,所以f(x)的最小正周期为π,由2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z)得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)由f(A)=-,得sin=,因为A∈,所以A=.
由a2=b2+c2-2bccsA,得9=b2+c2-bc,又b2+c2-bc≥bc,则bc≤9(当且仅当b=c时取等号),设BC边上的高为h,由三角形等面积法知ah=bcsinA,得3h=bc≤.
所以h≤,即h的最大值为.
22.解析 (1)f(x)=a·b=sinxcsx+cs2x=sin2x+=sin+,
∴函数f(x)的最小正周期T==π.
(2)列表如下:
描点,连线得函数f(x)在区间上的简图如图所示:
y=sinx的图象向左平移个单位长度得到y=sin的图象,再保持纵坐标不变,横坐标缩短为原来的得到y=sin的图象,最后将y=sin的图象向上平移个单位长度得到f(x)=sin+的图象.
(3)g(x)=f(x)+m=sin++m.
∵x∈,∴2x+∈,
∴sin∈,
∴g(x)的值域为.
又函数g(x)的最小值为2,
∴m=2,∴g(x)max=+m=.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
得分
x
-
2x+
0
π
2π
sin
0
1
0
-1
0
f(x)
-