吉林省松原市实验高级中学2021届高三下学期高考冲刺模拟理科数学新课标全国卷Ⅲ卷 Word版含答案

这是一份吉林省松原市实验高级中学2021届高三下学期高考冲刺模拟理科数学新课标全国卷Ⅲ卷 Word版含答案，共7页。

2020-2021学年度高考理科数学冲刺模拟金卷
新课标全国卷Ⅲ卷
【满分：150分】
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则集合中元素的个数为( )
A.2B.3C.4D.5
2.复数为虚数单位)的共轭复数为，则的虚部是( )
A.-1B.1C.-iD.i
3.已知随机变量X的分布列如下表，则X的标准差为( )
B.C.3.2D.
4.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：)
A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年
5.已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，为坐标原点，若，则抛物线的方程为( )
A. B.C.D.
6.已知均为单位向量，，则a与b的夹角为( )
A.30°B.45°C.135°D.150°
7.在中，角所对的边分别为，则的周长为( )
A.B.C.D.
8.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )
A. 46 B. 48 C. 36 D. 32
9.已知，则( )
A.B. C.D.
10.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
11.已知点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为( )
A.9B.8C.D.
12.函数的定义域为，若满足如下两个条件：(1)在内是单调函数；(2)存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“希望函数”.若函数是“希望函数”，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若实数满足约束条件，则目标函数的取值范围为____________.
14.在的二项展开式中，常数项的值为_____________.
15.已知底面为正方形的四棱锥的五个顶点在同一个球面上，，则四棱锥外接球的体积为________.
16.若将函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为_______________.
三、解答题：共70分。解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分
17.（12分）设是公比不为1的等比数列，为的等差中项.
(1)求的公比；
(2)若，求数列的前项和.
18.（12分）近年来，国资委党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效.某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用而积与相应的管理时间的关系如下表：
并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：
（1）求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？
（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意息有关？
（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为X，求X的分布列及数学期望.
参考公式：，，其中.
临界值表：
参考数据：.
19.（12分）如图所示，已知四边形是边长为2的菱形，，平面平面.

(1)求证：平面平面；
(2)若四边形为直角梯形，且，求二面角的余弦值.
20.（12分）已知椭圆的右焦点到左顶点的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，过点的直线与椭圆交于两点(不在轴上)，若，延长交椭圆于点，求四边形的面积的最大值.
21.（12分）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，关于的方程有两个不同的实数解，求证：.
（二）选考题：共10分。请考生在第2223题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数，，且）.以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程，其中.
（1）求直线l的普通方程以及曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于两点，求面积的最大值.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知.
（1）求证：；
（2）若，求证.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题知，中的元素为集合的子集，所以集合中元素的个数为，故选C.
2.答案：B
解析：因为，所以它的共轭复数，其虚部为1，故选B.
3.答案：D
解析：易知，解得，
，
，
的标准差为.故选D.
4.答案：B
解析：根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分比相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列，其中首项，公比，所以.由，两边同时取对数，得，又，所以，即开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元.
5.答案：A
解析：过向轴作垂线，设垂足为，因为，所以，则，将点的坐标代入，得，所以抛物线的方程为.故选A.
6.答案：A
解析：，.设a与b的夹角为，则.又，.
7.答案：C
解析：因为，所以.由余弦定理，得，得，所以，所以的周长为.
8.答案：B
解析：由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱(如图所示)，

所以该直四棱柱的体积为 .
9.答案：C
解析：因为，所以，整理得，则，所以.
10.答案：B
解析：易得.设，两直线方程联立，消去得，即，又，所以点在以为直径的圆上，，所以，令，则.因为，所以.所以.故选B.
11.答案：A
解析：设双曲线的左焦点为，连接，则，.
12.答案：A
解析：函数是“希望函数”，在上的值域为.易知函数是单调递增的，即为方程的2个不等的根，令，则，得，故选A.
13.答案：
解析：画出可行域（如图阴影部分），利用图形可得，当直线过点时，取最小值，最小值为；当直线过点时，取最大值，最大值为.


14.答案：15
解析：二项展开式通项为.当时，.
常数项为.
15.答案：.
解析：由题意知，所以平面，而平面，则平面平面.由条件知，所以.如图，取的中点G连
接，交于点O，则O为正方形的中心，过点G作平面的垂线，则点O在该垂线上，所以O为四棱锥外接球的球心，由于，所以四棱锥外接球的体积为.
16.答案：
解析：将的图象向右平移个单位长度，得到的图象对应的函数为，则和相同，所以，解得，因为，所以时，取得最小值，为.
17.答案：(1)设的公比为，由题设得，即.
所以，解得(舍去)，.
故的公比为.
(2)记为的前项和.由(1)及题设可得，.所以，
.
可得
.
所以.
18.答案：（1）依题意，，
故，
，，
则，
故管理时间y与土地使用面积x线性相关.
（2）依题意，完善表格如下：
，
故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿有关.
（3）依题意，从该贫困县中随机抽取一名村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，
故，
.
故X的分布列为
则数学期望.
19.答案：(1)因为四边形是菱形，所以.
又平面，平面平面，
平面平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
(2)设，连接，因为四边形为直角梯形，平面，平面平面，
平面平面，所以平面.
因为，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面.
解法一 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
设平面的法向量易，
易知，
即
令，解得.
设平面的法向量，
易知，
即
令，解得.
，
由图可知二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为.
解法二 如图，因为平面且平面，
所以.
又为的中点，所以.
又，
所以.
过作交于点，连接，

则，
所以为二面角的平面角.
在中，，
所以，同理，
在中，，所以，所以，所以，
所以，则.
在中，.
所以二面角的余弦值为.
20.答案：(1)由已知得，
所以椭圆的方程为.
(2)解法一 因为过的直线与椭圆交于两点(不在轴上)，
所以设，由得，
设，则
因为，所以四边形为平行四边形，
所以，
令，则，
由函数的单调性易得当，即时，.
解法二 因为，所以四边形为平行四边形，
所以.
当直线的斜率不存在时，.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由得.
设，则
所以，
令，则.
综上可知，.
21.答案：(1)易知的定义域为，
，
①当，即时，在上，在上，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是；
②当，即时，在上，
所以，函数的单调递减区间是，无单调递增区间.
(2)设，则.
当时，，函数在区间上单调递增；
当时，，函数在区间上单调递减.
所以在处取得最大值.
当时，方程有两个不同的实数解，
所以函数有两个不同的零点，且一个零点比1小，一个零点比1大.
不妨设，由，且，得，且，
则，所以，
所以，令，因为，所以，
令，则，
所以函数在区间上单调递增，，
所以.
又，所以.
22.答案：（1）消去参数t，得直线l的普通方程为.
由，得，
又，所以曲线C的直角坐标方程为.
（2）由点到直线的距离公式，得原点O到直线l的距离.
将代入，
得.
设点对应的参数分别为，
则，
，
所以
，
由于，从而面积的最大值为.
23.答案：（1）要证，
可证，
需证，
即证，
由知，上式成立，当且仅当，即时，等号成立，
.
（2）要证，
可证，
即证.
，，即，
，
当且仅当，即时，等号成立，
.
X
1
3
5
P
0.4
0.1
x
土地使用面积x（单位：公顷）
1
2
3
4
5
管理时间y（单位：月）
8
10
13
25
24
愿意参与管理
不愿意参与管理
男性村民
150
50
女性村民
50
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
愿意参与管理
不愿意参与管理
总计
男性村民
150
50
200
女性村民
50
50
100
总计
200
100
300
X
0
1
2
3
P