东北两校（大庆实验中学、吉林一中）高三4月下学期联考模拟考试数学（理）（含答案）

2021年高三联合模拟考试

数    学（理科）

第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）

一、选择题：本题共 12 个小题，每题 5 分，共计 60 分.

1．已知集合，，则＝（　　）

A.    B.      C.     D.

2．已知复数满足（为虚数单位），则＝（　　）

A. B.   C. D.

3.公元960年，北宋的建立结束了五代十国割据的局面．北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技

术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明在这种经济高涨的情况下得到广泛应用．1084年秘书省

第一次印刷出版了《算经十书》，为数学的发展创造了良好的条件．11至14世纪出现了一批著名的数

学家和数学著作，如秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》，杨辉的《详解九章算法》、《日用

算法》和《杨辉算法》，现从三位数学家的五部专著中任意选择两部作为学生课外兴趣拓展参考书目，

则所选的两部中至少有一部不是杨辉著作的概率为（　　）

A.        B.        C.           D.

4．已知等差数列中，，则的值为(　　)

A..        B.       C.    D.

5.己知是两个不重合的平面，直线，则“”是“”的 （　　）

A.充分不必要条件    B. 必要不充分条件   C.充分必要条件     D.既不充分也不必要条件

6.在中，角所对的边分别为，满足下列条件的不是唯一解的是（　　）

A.                 B.              

C.                   D.

7.设有两个命题：不等式的解集为R；：函数在R上是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数的取值范围是（　　）

A. B.   C. D.

8．已知，且，则的值为（    ）

A.            B.           C.             D.

9.二项式的展开式中含项的系数为（　　）

A.        B.     C.     D.

10.对任意函数的值恒大于零，则的取值范围是(　　)

A.        B.     C.      D.

11.已知函数在处取到最大值，则（　　）

A.奇函数   B. 偶函数    C.关于点中心对称    D. 关于轴对称

12．如图几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为，若该几何体有半径为的外接球，且球心为，则不正确的是（　）

A.如果圆锥的体积为圆柱体积的，则圆锥的体积为.

B..  C.如果，则与重合.

D.如果，则圆柱的体积为.

第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）

二、填空题：本题共 4 个小题，每题 5 分，共计 20 分.把答案填在答题卡相应位置.

13．写出一个最小正周期为的偶函数________．

14．已知向量，向量与向量共线，且•＝，则________．

15．已知是双曲线的左右焦点，点为双曲线的左支上一点，

点满足，且，则该双曲线的离心率________．

16．已知,若关于的不等式恒成立，则的最大值为_______.

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤

17．已知各项均为正数的数列满足，且.

（1）证明：数列是等差数列；

（2）数列的前项和为，求证：．

18．某市居民用天然气实行阶梯价格制度，具体见表：

从该市随机抽取10户（一套住宅为一户）同一年的天然气使用情况，得到统计表如表：

（1）求一户居民年用气费（元）关于年用气量（立方米）的函数关系式；

（2）现要在这户家庭中任意抽取户，求抽到的年用气量超过立方米而不超过立方米的用户数的分布列与数学期望；

（3）若以表中抽到的户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市中依次抽取户，其中恰有户年用气量不超过立方米的概率为，求取最大值时的值．

19．如图在三棱柱中，侧面是边长为的菱形，，平面平面，分别为的中点，．

（1）证明：∥平面；

（2）求二面角的余弦值．

20．已知椭圆方程:的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线与以右焦点为圆心，以长半轴为半径的圆相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）设点是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点与点关于原点对称，设直线的斜率分别为，且.

①求的值；

②求的值.

21.已知函数其中

(1)证明：有唯一零点；

(2)设为函数的零点，证明:

①;

②（参考数据）

请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按照所做第一题记分.答题时用 2B 铅笔在

答题卡上把所选的题号涂黑.

22.已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆的极坐标方程为，且直线经过椭圆右焦点.

（1）求椭圆的内接矩形面积的最大值；

（2）若直线与椭圆交于两点，求的值.

23.已知对任意实数，都有恒成立.

（1）求实数的范围；

（2）若的最大值为，当正数满足时，求的最小值.

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2021年高三联合模拟考试

数学（理科）参考答案                            

一、选择题   ACBDA   CACDB   BC

二、填空题  ;  ;  ; 

三、解答题：

17.解：（1）由得

则，所以数列是等差数列；

19解：（1）由题意，…………………3分

（2）由题知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，

设取到年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为ξ，则ξ可取0，1，2，3．

，

，

故ξ的分布列是：

…………8分

（3）由题知，

由，

解得．

∴当时，概率最大．   …………12分

18．解：（1）证明：取A1B1中点D，连接DC1、DB，

四边形A1DBM为平行四边形，所以A1M∥DB，

因为DM∥B1B，DM＝B1B，又B1B∥C1C，B1B＝C1C，

所以DM∥C1C，DM＝C1C，

所以四边形DMCC1为平行四边形，所以DC1∥MC，

A1M∩MC＝M，BD∩DC1＝D，所以平面BC1D∥平面A1CM，

又因为BC1⊂平面BC1D，所以BC1∥平面A1CM；

（2）因为侧面ABB1A1是边长为2的菱形，∠ABB1＝120°，所以△A1AB为正三角形，

所以A1M⊥AB，又因为平面AA1B1B⊥平面ABC，

所以A1M⊥平面ABC，所以A1M⊥MC，因为AC＝BC＝，所以CM⊥AB，于是MB、MC、MA1两两垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：

，，，，

，设平面的法向量为．

，令，，平面的法向量为，

所以．故二面角M﹣AC﹣N的余弦值为．

20．解：（1）设椭圆E的右焦点为，则圆的方程为，所以圆心到直线的距离为，又因为两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，

所以，代入上式解得，所以椭圆方程为

（2）①设，所以

②由，则，所以

即，所以

又因为

故，所以

21.解：（1）函数定义域为，求导得,所以函数在上单调递减，又，由零点存在定理在上有唯一零点.

(2)①先证明(略），由（1）可设函数的零点为

而

，则，则

所以在上为增函数，则

则，而函数在上单调递减，则成立；

②由即

而,再证明成立，从而得

令，且得

22.解：（1）椭圆化为，所以，则.

设椭圆的内接矩形中，的坐标为，

所以

所以椭圆的内接矩形面积最大值为.

（2）由椭圆的方程，得椭圆的右焦点，由直线经过右焦点，得，易得直线的参数方程可化为（为参数）），代入到，

整理得，，所以，即.

23.解（1）因为对任意实数，都有恒成立，

又所以；

（2）由（1）知，所以由柯西不等式知：

当且仅当时取等号，所以的最小值为.