2021年高考艺术生数学基础复习 考点34 零点定理（教师版含解析）

考点34  零点定理

一．函数的零点

（1）零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的,实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

函数的零点不是函数y=f(x)与x轴的交点，而是y=f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数

（2）零点的几个等价关系：

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

二．函数的零点存在性定理

1.如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

2.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件

考向一 求零点

【例1】(2021·全国课时练习)函数的零点为(    )

A．或 B．

C． D．或(

【答案】B

【解析】函数的定义域为，

令，得，零点不是点，CD错误，故选：B.

【举一反三】

1．(2021·上海市西南位育中学=)函数的零点是___________.

【答案】和

【解析】令y=0，即，解得：和故答案为：和

2．(2020·巴彦淖尔市临河区第三中学高三月考(理))函数的零点是__________.

【答案】6或-1

【解析】解方程得或.

所以函数的零点是6或-1.故答案为：6或-1.

考向二 零点区间

【例2】(2021·四川高一开学考试)函数的零点所在区间为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由于函数、均为上的增函数，所以，函数为上的增函数，

因为，，则.

因此，函数的零点所在区间为.

故选：B.

【举一反三】

1．(2021·安徽省泗县第一中学)函数的零点所在的区间为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】易知函数在上为减函数，

，，则，

因此，函数的零点所在的区间为.故选：C.

2．(2021·浙江开学考试)函数的零点所在区间是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，函数，可函数为定义域上的单调递减函数，

又由，即，

根据零点的存在性定理，可得函数的零点所在的区间是.故选：D.

3．(2021·内蒙古包头市)函数的零点所在区间为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】函数为上的增函数，且，，

，，因此，函数的零点所在区间为.故选：B.

考向三 零点的个数

【例3】(2021·云南高三其他模拟)函数在上的零点个数为(    )

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】由，得，作出函数在上的图象如图所示，

因为，

所以由图可知直线与图象有3个交点，从而在上有3个零点.故选：B

【例3-2】(2021·江苏镇江市)方程的解的个数为(    )

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】在同一坐标系内，作出与的图象，

如图：

由图象可知，方程只有一个解.故选：B

【举一反三】

1．(2021·云南昆明市)已知，则在上的零点个数为(    )

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】由得，

又，∴或，共2个．故选：C．

2．(2021·云南丽江市·丽江第一高级中学)函数的零点个数是(    )

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】由，得，

作出函数与的图形如图，

由图可知，函数的零点个数是2．故选：C．

3(2021·江西吉安市)函数的零点个数是(    )

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】C

【解析】函数的定义域为，

因为函数在上递增，

所以在上递增，

又，

由零点存在定理得：函数的零点个数是1个数，故选：C

4．(2021·北京高三期末)已知函数，则函数的零点个数是(     )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】令，得，

则函数的零点个数等价于函数与函数的图象的交点个数，

，作出函数与函数的图象如下图所示：

由图象可知，两个函数图象的交点个数为，故函数的零点个数为.

故选：C.

1．(2021·陕西西安市·高三月考(文))函数的零点的个数是(    )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】，，，经检验是方程的解，有两个零点．

故选：B．

2．(2021·湖北开学考试)函数零点所在的整区间是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为函数为单调递增函数，且，

所以零点所在的区间是，故选：C．

3．(2021·四川资阳市)方程的根所在的区间为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】构造函数，则函数为上的增函数，

，，则，

因此，方程的根所在的区间为.故选：B.

4．(2020·全国课时练习)函数在下列区间内一定有零点的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为函数连续，

且，所以在区间内一定有零点，故选：C

5．(2021·广西河池市=)函数的零点所在的区间为(    )．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】函数为上的增函数，

由，，

可得函数的零点所在的区间为．故选：D.

6．(2021·全国高三开学考试(文))已知函数，则函数的零点个数为(    )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】令，当时，解得或.

在同一直角坐标系中分别作出，，的图象如图所示，观察可知，与有1个交点，与有2个交点，则的零点个数为3.

故选：C.

7．(2021·北京丰台区)已知函数则的零点个数为(    )

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】，令，

当时，，解得：或(舍去)；

当时，，解得：

所以有2个实数解，即函数的零点个数为2个.故选：C.

8．(2021·山西吕梁市)函数的零点，，则(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】已知，；，所以，可知函数零点所在区间为，故.故选：C.

9．(2021·安徽高三期末(文))设函数，，的零点分别为a，b，c，则(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设函数，，，，

则a是与图象交点的横坐标，

b是与图象交点的横坐标，

c是与图象交点的横坐标．

在同一坐标系中，作出，，，的图象，如图所示．

由图可知．

故选：A

10．(2021·山东威海市·高三期末)若关于的方程在上有两个不等的实数根，则实数的取值范围为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】故

则

设，

故

在上为减函数，.

故时；时.

故在上为增函数，在上为减函数.

，

且时；时

与的图象要有两个交点

则的取值范围为.

故选：B

11．(2021·兴义市第二高级中学高三期末(文))已知函数的零点为，则所在区间为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】在上单调递增，

，，

由零点存在性定理可得在有唯一零点，.

故选：D.

12．(2021·广西南宁市·南宁三中高三开学考试(理))已知函数若关于方程恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据函数，作出函数图象，如图.

方程恰有三个不同的实数解，即函数的图象与的图象有三个交点

如图，，

当时，函数的图象与的图象有三个交点

故选：D

13．(2020·重庆市凤鸣山中学高三月考)函数的零点所在的大致区间是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数的零点所在区间为(1，2)．故选：C

14．(2021·兴宁市第一中学高三期末)若，则( )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】设函数，则在上单调递增，

又，

，

所以有，，

所以由零点存在性定理可知函数的一个零点位于.

故选：C

15．(2021·上海)已知函数有两个零点，则实数的取值范围是___________．

【答案】

【解析】画出函数的图象如下：

函数有两个零点等价于函数的图象与直线有两个交点

所以故答案为：

16．(2021·全国=课时练习)函数零点的个数为___________.

【答案】2

【解析】当时，令，即，解得或(舍去)；

当时，令，即，解得，

所以函数有两个零点.

故答案为：2.

17．(2021·贵州毕节市)函数的零点个数是________.

【答案】2

【解析】当时，由解得，

当时，由解得，

所以函数的零点个数是2

故答案为：2

18．(2020·云南师大附中高三月考(文))函数的零点个数为__________．

【答案】2

【解析】令，当且仅当，所以有两个零点．故答案为：2.