2020届重庆市九校联盟高三上学期12月月考数学（理）试题（解析版）

2020届重庆市九校联盟高三上学期12月月考数学（理）试题

一、单选题

1．的实部为（    ）

A．-2 B．-1 C．1 D．2

【答案】B

【解析】直接化简得到，计算实部得到答案.

【详解】

，故实部为

故选：

【点睛】

本题考查了复数的化简，属于简单题.

2．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】分别计算，，再计算得到答案.

【详解】

，所以.

故选：

【点睛】

本题考查了并集的运算，属于简单题.

3．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据函数的定义域定义得到不等式解得答案.

【详解】

函数的定义域满足，解得

故选：

【点睛】

本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.

4．某地有两个国家AAAA级旅游景区——甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误的是（    ）

A．甲景区月客流量的中位数为12950人

B．乙景区月客流量的中位数为12450人

C．甲景区月客流量的极差为3200人

D．乙景区月客流量的极差为3100人

【答案】D

【解析】分别计算甲乙景区流量的中位数和极差得到答案.

【详解】

根据茎叶图的数据：

甲景区月客流量的中位数为12950人，乙景区月客流量的中位数为12450人.

甲景区月客流量的极差为3200人，乙景区月客流量的极差为3000人.

故选：

【点睛】

本题考查了茎叶图中位数和极差的计算，意在考查学生的应用能力.

5．若，，则（    ）

A． B．6 C． D．

【答案】C

【解析】根据得到，再利用和差公式展开得到答案.

【详解】

∴∴.

故选：

【点睛】

本题考查了正切的和差公式，意在考查学生的计算能力.

6．执行下边的程序框图，若输入的的值为5，则输出的的值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【解析】根据程序框图依次计算得到答案.

【详解】

执行程序框图：依次为，，，，∵

∴输出的的值为4.

故选：

【点睛】

本题考查了程序框图的计算，意在考查学生对于程序框图的理解能力.

7．函数的零点所在的区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】分别计算，，根据零点存在定理得到答案.

【详解】

因为，，且为增函数

故的零点所在的区间为.

故选：

【点睛】

本题考查了函数零点的范围，灵活使用零点存在定理是解题的关键.

8．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的（九章算术也有记载，所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有满足“勾3股4弦5”.其中.D为弦BC上一点（不含端点），且满足勾股定理.则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先由等面积得，利用向量几何意义求解即可

【详解】

由等面积法可得，依题意可得，，则在上的投影为，所以.

故选：D

【点睛】

本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，是基础题

9．已知等比数列的前n项和为，且，，则（    ）

A．16 B．19 C．20 D．25

【答案】B

【解析】利用，，成等比数列求解

【详解】

因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，，故.

故选：B

【点睛】

本题考查等比数列前n项性质，熟记性质是关键，是基础题

10．已知函数，则的图象的对称中心为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】化简得到，取，计算得到答案.

【详解】

令，得

则的图象的对称中心为.

故选：

【点睛】

本题考查了三角恒等变换，三角函数对称中心，化简得到是解题的关键.

11．已知函数在R上为增函数，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】函数在R上为增函数,等价于对恒成立，然后分离变量，得，求出的最小值，就能确定m的取值范围.

【详解】

因为函数在R上为增函数，所以对恒成立，即对恒成立，又因为，所以．

故选：A

【点睛】

本题主要考查利用函数的单调性求参数的取值范围，分离变量是解决本题的关键.

12．函数在上单调递增，且为奇函数.当时，，且，则满足的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】计算，，判断函数在上单调递增，将不等式变换为，计算得到答案.

【详解】

，所以，则.

，所以

.

在上单调递增，且为奇函数，所以在上单调递增.

所以.

故选：

【点睛】

本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合应用.

二、填空题

13．的展开式中的系数为______.

【答案】.

【解析】直接利用二项式定理计算得到答案.

【详解】

的展开式中：，取得的系数为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.

14．某人午觉醒来，发现手机没电自动关机了，他打开收音机，想听电台准点报时，则他等待的时间不少于20分钟的概率为______.

【答案】.

【解析】直接利用几何概型的求概率公式得到答案.

【详解】

根据几何概型的求概率公式得他等待的时间不少于20分钟的概率为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了几何概型，意在考查学生对于几何概型的掌握情况.

15．现有下列四个结论，其中所有正确结论的编号是___________.

①若，则的最大值为；

②若，，是等差数列的前项，则；

③“”的一个必要不充分条件是“”；

④“，”的否定为“，”.

【答案】①④

【解析】①根据基本不等式判断；②利用等差中项先计算出公差，即可求解出的值；③根据“小推大”的原则去推导属于相应的何种条件；④含一个量词的命题的否定方法：改量词，否结论，由此进行判断.

【详解】

①若，则，，

当且仅当时，等号成立，所以①正确；

②若，，是等差数列的前项，则，

所以，所以②不正确；

③因为，所以“”能推出“”，但是“”

不能推出“”，所示“”的一个充分不必要条件是“”，所以③不正确；

④因为特称命题的否定是全称命题，否定含一个量词的命题时，注意修改量词，否定结论.所以④正确.

故所有正确结论的编号是①④.

故答案为：①④.

【点睛】

本题考查命题真假的综合判断，难度一般.(1)运用基本不等式求解最值时，注意说明取等号的条件；(2)注意区分“是的必要不充分条件”、“的必要不充分条件是”这两者的区别.

16．在中，，，则当的面积取得最大值时，边上的高为______.

【答案】.

【解析】如图所示：以线段所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系，设，整理得，得到面积的最大值.

【详解】

以线段所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系，如图所示：

则，，因为，所以

设，则，整理得

则当面积取得最大值时，的坐标为，则边上的高为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了三角形面积的最值问题，建立坐标系是解题的关键，可以简化运算.

三、解答题

17．设，，分别为内角，，的对边，已知，.

（1）若，求；

（2）若，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）计算，利用正弦定理得到，再根据边的大小关系得到答案.

（2）直接利用余弦定理得到，再利用面积公式计算得到答案.

【详解】

（1）因为，所以.，所以

解得或，又，所以.

（2）由余弦定理，可得，即

解得（负根舍去），

故的面积为.

【点睛】

本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用.

18．某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.

（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.

（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.

（i）若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；

（ii）已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p的取值范围.

可能用到的参考数据：取，.

【答案】(1)60%；(2) （i）0.12 （ii）

【解析】（1）利用上线人数除以总人数求解；

（2）（i）利用二项分布求解；（ii）甲、乙两市上线人数分别记为X，Y，得，.，利用期望公式列不等式求解

【详解】

（1）估计本科上线率为.

（2）（i）记“恰有8名学生达到本科线”为事件A，由图可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6，

则.

（ii）甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X，Y，

依题意，可得，.

因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，

所以，即，

解得，

又，故p的取值范围为.

【点睛】

本题考查二项分布的综合应用，考查计算求解能力，注意二项分布与超几何分布是易混淆的知识点.

19．直线：与坐标轴的交点为，，以线段为直径的圆经过点.

（1）求圆的标准方程；

（2）若直线：与圆交于，两点，求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）先计算交点为，，根据得到，再计算圆心和半径得到答案

（2）计算圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算得到答案.

【详解】

（1）直线：与坐标轴的交点为，.

因为以线段为直径的圆经过点，所以，

所以，解得.

所以圆的圆心为线段的中点，其坐标为，半径，

圆的标准方程为.

（2）因为圆心到直线：的距离为，

所以.

【点睛】

本题考查了圆的标准方程，弦长，意在考查学生的计算能力.

20．在数列，中，，，.等差数列的前两项依次为，.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）根据递推公式计算，，利用等差数列公式计算得到答案.

（2）将题目中两式相加得到，故是首项为2，公比为2的等比数列，计算得到通项公式，再利用错位相减法计算得到答案.

【详解】

（1）∵，∴，，则的公差为

故的通项公式为.

（2），①

，②

①②得.

又，从而是首项为2，公比为2的等比数列，

故.

，

，

，

即，

即.

【点睛】

本题考查了通项公式，错位相减法，变换得到是解题的关键.

21．已知函数，曲线在点处的切线方程为.

（1）求，的值和的单调区间；

（2）若对任意的，恒成立，求整数的最大值.

【答案】（1），，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）3.

【解析】（1）求导得到，根据切线方程计算得到，，代入导函数得到函数的单调区间.

（2）讨论，两种情况，变换得到，设

，求函数的最小值得到答案.

【详解】

（1），由切线方程，知，，

解得，.

故，，

由，得；由，得.

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）①当时，恒成立，则.

②当时，恒成立等价于对恒成立.

令，，.

令，，

则对恒成立，所以在上单调递增.

又，，所以，.

当时，；当时，.

所以，又，

则，

故，整数的最大值为3.

【点睛】

本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.

（1）求，，的值；

（2）已知点的直角坐标为，与曲线交于，两点，求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据极坐标方程得到，根据参数方程得到答案.

（2）将参数方程代入圆方程得到，根据韦达定理得到，，计算得到答案.

【详解】

（1）由，得，则，即.

因为，，所以.

（2）将代入，得.

设，两点对应的参数分别为，，则，.

所以.

【点睛】

本题考查了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键.

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）分别计算，，三种情况，综合得到答案.

（2）化简得到，利用绝对值三角不等式得到

，解不等式计算得到答案.

【详解】

（1）当时，，解得；

当时，，解得，则；

当时，，解得，则.

综上所述：不等式的解集为.

（2）

，当时等号成立.

若对任意，不等式恒成立，即，

解得或.

【点睛】

本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式解决恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.