2020届重庆市九校联盟高三上学期12月月考数学（文）试题（解析版）

2020届重庆市九校联盟高三上学期12月月考数学（文）试题

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用并集定义直接求解．

【详解】

解：集合，，

．

故选：．

【点睛】

本题考查并集的求法，考查并集的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

2．的实部为（    ）

A．-2 B．-1 C．1 D．2

【答案】B

【解析】直接化简得到，计算实部得到答案.

【详解】

，故实部为

故选：

【点睛】

本题考查了复数的化简，属于简单题.

3．设函数，若是奇函数，则（    ）

A．-4 B．-2 C．2 D．4

【答案】B

【解析】根据分段函数的解析式可知，又是奇函数，故

即可得解.

【详解】

解：

是奇函数，且

.

故选：

【点睛】

本题考查函数的奇偶性以及函数值的计算，属于基础题.

4．某地有两个国家AAAA级旅游景区——甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误的是（    ）

A．甲景区月客流量的中位数为12950人

B．乙景区月客流量的中位数为12450人

C．甲景区月客流量的极差为3200人

D．乙景区月客流量的极差为3100人

【答案】D

【解析】分别计算甲乙景区流量的中位数和极差得到答案.

【详解】

根据茎叶图的数据：

甲景区月客流量的中位数为12950人，乙景区月客流量的中位数为12450人.

甲景区月客流量的极差为3200人，乙景区月客流量的极差为3000人.

故选：

【点睛】

本题考查了茎叶图中位数和极差的计算，意在考查学生的应用能力.

5．若，，则（    ）

A． B．6 C． D．

【答案】C

【解析】根据得到，再利用和差公式展开得到答案.

【详解】

∴∴.

故选：

【点睛】

本题考查了正切的和差公式，意在考查学生的计算能力.

6．某人午觉醒来，发现手机没电自动关机了，他打开收音机，想听电台准点报时，则他等待的时间不少于20分钟的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意知这是一个几何概型，利用对应时间的比求出所求的概率值．

【详解】

解：由题意知这是一个几何概型，

电台整点报时，事件总数包含的时间长度是60，

满足他等待的时间少于20分钟的事件包含的时间长度是20，

故所求的概率值为．

故选：．

【点睛】

本题考查了几何概型的概率计算问题，属于基础题．

7．执行下边的程序框图，若输入的的值为5，则输出的的值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【解析】根据程序框图依次计算得到答案.

【详解】

执行程序框图：依次为，，，，∵

∴输出的的值为4.

故选：

【点睛】

本题考查了程序框图的计算，意在考查学生对于程序框图的理解能力.

8．已知M是抛物线上一点，F是C的焦点，过M作C的准线的垂线，垂足为N，若（O为坐标原点），的周长为12，则（   ）

A．4 B． C． D．5

【答案】A

【解析】根据抛物线的定义可知，又可得是等边三角形，根据三角形的周长，可求.

【详解】

解：因为，所以.又M是抛物线C上一点，所以，则是等边三角形，

又的周长为12，

则.

故选：

【点睛】

本题考查抛物线的定义，属于基础题.

9．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的（九章算术也有记载，所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有满足“勾3股4弦5”.其中.D为弦BC上一点（不含端点），且满足勾股定理.则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先由等面积得，利用向量几何意义求解即可

【详解】

由等面积法可得，依题意可得，，则在上的投影为，所以.

故选：D

【点睛】

本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，是基础题

10．已知命题：在中，若，则，命题：在等比数列中，若，则.下列命题是真命题的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】先判断命题是真命题和命题是假命题，再判断为真命题得到答案.

【详解】

设，则，因为，所以，

所以，则，即，故命题是真命题.

因为，所以，所以，则命题是假命题.

故是真命题；，，为假命题.

故选：

【点睛】

本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.

11．已知函数，则的图象的对称中心为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】化简得到，取，计算得到答案.

【详解】

令，得

则的图象的对称中心为.

故选：

【点睛】

本题考查了三角恒等变换，三角函数对称中心，化简得到是解题的关键.

12．若函数（，且）有最大值，且最大值不小于-1，则a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令，可知，要使（，且）有最大值，则，且，根据最大值不小于，得到不等式，即可解得.

【详解】

解：设

，

又因为（，且）有最大值，且最大值不小于，

所以，

所以，

解得

故选：.

【点睛】

本题考查对数函数的单调性及最值，属于中档题.

二、填空题

13．不等式组，表示的可行域的面积为______.

【答案】3

【解析】由题画出可行域,进而求得面积即可

【详解】

作出可行域,如图所示,可行域的面积为

故答案为：3

【点睛】

本题考查二元一次不等式组表示平面区域的应用问题,属于基础题

14．若等差数列的前10项和为100，且，则________.

【答案】23.

【解析】根据等差数列的和可求得数列的公差，根据等差数列的通项公式的推广式即可求得.

【详解】

解：，

，

又，

.

故答案为：

【点睛】

本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.

15．若函数在上为减函数，则的取值范围为___________.

【答案】

【解析】将问题转化为导函数在上恒小于零，从而根据恒成立思想求解出的取值范围.

【详解】

由题意可知，即对恒成立，

所以，所以即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据函数的单调性求解参数范围，难度一般.已知函数为指定区间的单调增(或减)函数，则在指定区间上恒成立.

16．过双曲线的右焦点F作双曲线C的一条弦AB，且有，若以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，则双曲线C的离心率为________.

【答案】2.

【解析】由题意可得为线段的中点，由双曲线关于轴对称，可得轴，令，求得，再由直径所对的圆周角为直角，设双曲线的左顶点，则，化简整理，运用双曲线的离心率公式可得所求值．

【详解】

解：，可得为线段的中点，由双曲线关于轴对称，可得轴，

可令，则，即，可设，

以为直径的圆经过双曲线的左顶点，

可得为等腰直角三角形，则，

即，化为，

则

故答案为：．

【点睛】

本题考查双曲线的方程和性质，直径所对的圆周角为直角，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

三、解答题

17．在等比数列中，，且.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由数列是等比数列，及，且，两式相除得到公比，再代入可求，则通项公式可求.

（2）利用分组求和求出数列的前n项和.

【详解】

解：（1）因为等比数列中，，且.

所以公比，

所以，

即，

故.

（2）因为

所以，

所以

.

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式的计算与等比数列前项和公式的应用，属于基础题.

18．设，，分别为内角，，的对边，已知，.

（1）若，求；

（2）若，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）计算，利用正弦定理得到，再根据边的大小关系得到答案.

（2）直接利用余弦定理得到，再利用面积公式计算得到答案.

【详解】

（1）因为，所以.，所以

解得或，又，所以.

（2）由余弦定理，可得，即

解得（负根舍去），

故的面积为.

【点睛】

本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用.

19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宜传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：t）的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费x（万元）和年销售量y（单位：t）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.

（1）根据表中数据建立年销售量y关于年宣传费x的回归方程.

（2）已知这种产品的年利润（万元）与x，y的关系为根据（1）中的结果回答下列问题：

①当年宣传费为10万元时，预测该产品的年销售量及年利润；

②估计该产品的年利润与年宣传费的比值的最大值.

附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.

参考数据：.

【答案】（1）；（2）①约为22.5万元，②0.35.

【解析】（1）由已知求得与的值，则线性回归方程可求；

（2）①在（1）中求得的线性回归方程中，取求得值，进一步得到年利润的预报值；

②写出年利润与年宣传费的比值的函数式，利用基本不等式求最值．

【详解】

（1）.

设y关于x的线性回归方程为，

则,

故y关于x的线性回归方程为.

（2）①由（1）知，当时，

，则该产品的年销售量约为,

，则该产品的年利润约为22.5万元.

②，

.

,

当且仅当,即时取等号，

，

该产品的年利润与年宣传费的比值的最大值为0.35.

【点睛】

本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．

20．已知函数的图象在点处的切线方程为.

（1）求a，b的值；

（2）若对恒成立，求m的取值范围.

【答案】（1）,

（2）

【解析】（1）求导可得,由题,切线方程斜率为,解得,代回函数求得,即,可求得；

（2）如果求对恒成立,即求,利用导数判断单调性求得最小值即可求解不等式

【详解】

解：（1）,

因为在处的切线方程为,即,此时切线斜率,

则,解得,

所以,

所以,则,解得

（2）由（1）知,

,

设函数,则,所以在为增函数,因为,

令,得；令,得,

所以当时,；当时,,

所以,

从而,即

【点睛】

本题考查利用导数的几何意义求值,考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查转化思想,考查运算能力

21．已知椭圆的离心率，且圆经过椭圆C的上、下顶点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l与椭圆C相切，且与椭圆相交于M，N两点，证明：的面积为定值（O为坐标原点）.

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】（1）根据圆经过椭圆C的上、下顶点，可得，再根据离心率即可求得椭圆方程.

（2）分斜率存在与否两种情况讨论，分别计算出的面积，即可得证.

【详解】

（1）解：因为圆过椭圆C的上、下顶点，所以.

又离心率，所以，则.

故椭圆C的方程为.

（2）证明：椭圆，

当直线l的斜率不存在时，这时直线l的方程为，

联立，得，即，

则.

当直线l的斜率存在时，设，

联立，得，

由，可得.

联立，得.

设，所以，

则.

因为原点到直线l的距离，

所以.

综上所述，的面积为定值.

【点睛】

本题考查求椭圆的标准方程以与椭圆中弦长的计算及三角形面积公式的应用，属于中档题.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.

（1）求，，的值；

（2）已知点的直角坐标为，与曲线交于，两点，求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据极坐标方程得到，根据参数方程得到答案.

（2）将参数方程代入圆方程得到，根据韦达定理得到，，计算得到答案.

【详解】

（1）由，得，则，即.

因为，，所以.

（2）将代入，得.

设，两点对应的参数分别为，，则，.

所以.

【点睛】

本题考查了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键.

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）分别计算，，三种情况，综合得到答案.

（2）化简得到，利用绝对值三角不等式得到

，解不等式计算得到答案.

【详解】

（1）当时，，解得；

当时，，解得，则；

当时，，解得，则.

综上所述：不等式的解集为.

（2）

，当时等号成立.

若对任意，不等式恒成立，即，

解得或.

【点睛】

本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式解决恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.