2020届重庆市第八中学高三第四次月考（12月）数学（理）试题（解析版）

2020届重庆市第八中学高三第四次月考（12月）数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】直接通过解不等式求出.

【详解】

解：集合，

故选：C.

【点睛】

本题考查集合补集的运算，是基础题.

2．若复数是纯虚数，其中是实数，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由纯虚数的定义可得m＝0，故，化简可得．

【详解】

复数z＝m（m+1）+（m+1）i是纯虚数，故m（m+1）＝0且（m+1）≠0，

解得m＝0，故z＝i，故i．

故选：B．

【点睛】

本题考查复数的分类和复数的乘除运算，属基础题．

3．设数列前n项和为，已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用得出，先求出，再利用递推式求出即可.

【详解】

解：当时，，

整理得，

又，得，

，得，

，得，

故选：C.

【点睛】

本题考查数列递推式的应用，是基础题.

4．设，，若双曲线的离心率为2，则双曲线的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【解析】先通过的离心率求出的关系，利用的关系进一步可求出的离心率.

【详解】

解：对于有，得，

对于有，得，

故选：B.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的计算，是关键是找到的关系，是基础题.

5．已知函数，则（    ）

A．的图像关于直线对称 B．的图像关于点对称

C．在单调递减 D．在上不单调

【答案】B

【解析】观察函数的特点，求出定义域，在定义域内根据选项代入特殊值判断函数的对称性和单调区间，再进一步证明.

【详解】

解：，得函数定义域为，

，

，

所以，排除A；，排除C；

在定义域内单调递增，在定义域内单调递减，

故在定义域内单调递增，故排除D；

现在证明B的正确性：

，

所以的图像关于点对称，

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的基本性质，定义域、单调性、对称性，是中档题.

6．已知向量，若，则向量与向量的夹角为（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由向量平行的坐标运算得到参数值，再根据得到两个向量垂直.

【详解】

，因为，所以，解得，

当时，，所以向量与向量的夹角为．

故选D

【点睛】

这个题目考查了向量平行的坐标运算以及向量点积的坐标运算，向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.

7．过点作圆与圆的切线，切点分别为A，B，若，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．5

【答案】B

【解析】通过切线长定理得出点在线段的垂直平分线上，求出线段的垂直平分线方程，代入点坐标，进一步代入，利用二次函数的性质求其最小值即可.

【详解】

如图：

由圆的切线的性质：，

又，

，

所以点在线段的垂直平分线上，

的垂直平分线为，即，

点在，所以点的坐标满足，

，

的最小值为，

故选：B.

【点睛】

本题考查圆的切线问题，关键是将目标式转化为一个变量的函数，求函数的最值即可，难度不大，考查了学生的计算能力.

8．已知函数的图象经过点，且的相邻两个零点的距离为，为得到的图象，可将图象上所有点（　　）

A．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的，纵坐标不变

B．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的，纵坐标不变

C．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变

D．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变

【答案】A

【解析】由题意可知，，，∵，∴，，∵，∴，可得：，∴将的图象先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，故选A.

9．A，B，C，D，E，F六名同学参加一项比赛，决出第一到第六的名次.A，B，C三人去询问比赛结果，裁判对A说：“你和B都不是第一名”；对B说“你不是最差的”；对C说：“你比A，B的成绩都好”，据此回答分析：六人的名次有（    ）种不同情况.

A．720 B．240 C．180 D．128

【答案】C

【解析】根据裁判所说，AB不是第一，B不是第六，C比AB成绩都好，对C的名次分类讨论求出结果.

【详解】

C比AB成绩都好且AB不是第一，所以C不可能是第六，第五，

当C是第四名时，B只能第五，A只能第六，共种；

当C是第三名时，共种，

当C是第二名时，共种，

当C是第一名时，共种，

综上：总共种，

故选：C.

【点睛】

本题考查分类计数原理，重点要理清裁判的话，进行分类讨论，是中档题.

10．若函数在区间最大值是M，最小值是m，则（    ）

A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关

C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关

【答案】B

【解析】设，则，则，结合二次函数的图象和性质，设函数在处取的最大值，在处取的最小值，，且，则，即可得到答案

【详解】

解：设，则，
∴，
设函数在处取的最大值，在处取的最小值，

，且，
，
，
∴与a有关，但与b无关，
故选：B．

【点睛】

本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．

11．已知水平地面上有一篮球，球的中心为，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，椭圆中心O为原点，设椭圆的方程为，篮球与地面的接触点为H，则的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】在平行光线照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，过球心向地面做垂线，垂足是，得到一个直角三角形，可得要求的结果．

【详解】

解：在照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，
由图
，由是中点故有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，
过球心向地面做垂线，垂足是，

在构成的直角三角形中，，
，
故选：B．

【点睛】

本题考查圆锥曲线的实际背景及作用，解决本题的关键是看清楚在平行光线的照射下，投影中和球的量中，变与不变的量．

12．已知从2开始的连续偶数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为2，第一行为46，第三行为12，10，8，第四行为14，16，18，20.如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为，比如，，，，若，则（    ）

A．65 B．70 C．71 D．72

【答案】C

【解析】由题意正偶数为等差数列，由图摆放找每一行所放的数，及每一行的数字总数与本数列的每一项的关系即可发现规律

【详解】

解：由图可知，第一行放1个偶数，第二行放2个偶数，第3行放3个偶数…
又因为指图中摆放的第行第列，
所以先求第行的最后一个偶数，
该偶数小于2020且是最接近的，并且还能成为每一行最后一个数字的，

，

当时，，

第44行的最后一偶数是1980，又第45行的第45个偶数为1982，
利用等差数列的任意两项之间关系可知2020应出在该行的第45-19=26列，故，
所以．
故选：C．

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式，任意两项之间及项与项数之间的关系，考查学生的观察与分析能力，考查简单的合理推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．

二、填空题

13．设为直线与圆的交点，则________.

【答案】-1

【解析】将坐标代入直线和圆的方程，消去可得的值.

【详解】

解：因为为直线与圆的交点，

将坐标代入直线和圆的方程得，

①， ②

将①②得，得，

故答案为：

【点睛】

本题考查直线和圆的的交点问题，是基础题.

14．已知函数为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为________.

【答案】

【解析】求出时的函数的解析式，计算，的值，求出切线方程即可．

【详解】

解：∵函数是奇函数，
，
当时，，
不妨设，则，
故，
故时，，
故，
故，，
故切线方程是：，
整理得：，
故答案为：．

【点睛】

本题考查了函数的奇偶性问题，考查求函数的切线方程，是一道中档题．

15．在边长为1的正方形ABCD中，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若，则的最大值为________.

【答案】3

【解析】根据题意，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，可得A、B、C、D的坐标以及直线BD的方程，进而可得圆C的方程，据此设P的坐标为；由向量的坐标公式可得的坐标，又由向量的坐标计算公式可得，进而可得的表达式，相加后分析可得答案．

【详解】

解：根据题意，如图，

以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系：
则，
则BD的方程为x＋y＝1，
点C为圆心且与BD相切的圆C，其半径，
则圆C的方程为；
P在圆C上，设P的坐标为，
则，
若，则，
则有；
，
即的最大值为3；
故答案为：3．

【点睛】

本题考查直线与圆方程的应用，涉及平面向量的基本定理，注意建立坐标系，分析P的坐标与的关系，是中档题．

16．在中，D是BC边上一点，，，且与面积之比为，则________.

【答案】

【解析】根据题意画出图形，结合图形求得的值，再利用余弦定理求得AC、AB的值，最后利用三角形的面积公式求得AD的值．

【详解】

解：中，∠BAD＝∠DAC＝60°，如图所示；

；
由余弦定理得，，
，
解得AC＝6，
∴AB＝10；

；
，
解得．
故答案为：．

【点睛】

本题考查了解三角形的应用问题，是基础题．

三、解答题

17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

（1）求A；

（2）若，求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】(1)已知等式利用正弦定理化简，整理后求出的值，即可确定出角A的大小；
(2)由的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出bc的最大值，即可确定出三角形ABC面积的最大值．

【详解】

解：（1）由可得：，

由正弦定理可得：

∴，

∵，

∴，

∵，

∴；

（2）由（1）知，由余弦定理得，

即

∵，所以（当且仅当时取等号）

∴，

所以面积的最大值为.

【点睛】

此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及两角和与差的正弦函数公式，基本不等式的应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

18．设等差数列的公差为d前n项和为，，等比数列的公比为q，已知，，，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）当时，记，求数列的前n项和.

【答案】（1），或，；（2）

【解析】(1)由已知求得公差和首项即可；
(2) ，①，②利用错位相减法①−②可得．

【详解】

解：（1）由，则或，

当时，，；

当时，，；

（2）当时，由（1）可得，，，则，

∴

∴，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式，及错位相减法求和，属于基础题．

19．已知动圆过定点，且在x轴上截得的弦长为4.

（1）求动圆圆心M的轨迹方程C；

（2）设不与x轴垂直的直线l与轨迹C交手不同两点，.若，求证：直线l过定点.

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】（1）设动圆圆心为，利用垂径定理列方程即可得轨迹方程；

（2）设，将其和轨迹C联立，得到根与系数的关系，代入，可得的关系，代入，即可找到定点．

【详解】

解：（1）设动圆圆心为，则，化简得；

（2）易知直线l的斜率存在，设，则

由，得，

由韦达定理有：，.

从而，

即，则

则直线，

故直线过定点.

【点睛】

本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线恒过定点问题，考查了学生的运算能力，是中档题．

20．已知函数.

（1）若，求k；

（2）确定k的所有可能取值，使得存在，对任意的，恒有.

【答案】（1）；（2）k的取值范围是

【解析】（1）先验证不合题意，当，通过导数确定单调性及最值来求得的值；

（2）分，讨论，构造函数，利用导数求其单调性及最值，进而可得k的取值范围.

【详解】

解：（1），.

若，由，得不符合题意；

若，，

当时，，单调递增；当时，，单调递减；

则

令，，在单调递增；在单调递减；

，则.

（2）由（1）知，当时，对于，

则，从而不存在满足题意；

当时，，，

则有.

由得，，

则（舍），.

当时，，故在上单调速增.

从而当时，，即.

综上，k的取值范围是.

【点睛】

本小题主要考查导数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、化归与转化思想，是一道难度较大的题目．

21．已知椭圆与直线有且只有一个交点，点P为椭圆C上任一点，，.若的最小值为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设直线与椭圆C交于不同两点A，B，点O为坐标原点，且，当的面积S最大时，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）设点，利用向量的坐标运算研究的最小值，建立方程，求出的值，即可得椭圆C的标准方程；

（2）设，，，将直线与椭圆C联立，可得和，求出点O到直线l的距离，即可求出的面积S的表达式，利用基本不等式，求面积S的最大值，根据最大值的成立条件和前面求出的和，可得点M的轨迹方程，进而可得的范围，将转化为，利用导数研究单调性即可求出的取值范围.

【详解】

解：（1）设点，由题意知，，则

，

当时，取得最小值，即，

，故椭圆C的标准方程为；

（2）设，，，则

由得，

，，

点O到直线l的距离，

，

S取得最大值，当且仅当即，①

此时，，

即，代入①式整理得，，

即点M的轨迹为椭圆，

且点，为椭圆的左、右焦点，即，

记，则，

从而，则，

令可得，即在T在单调递减，在单调递增，

且，，

故T的取值范围为.

【点睛】

本题考查直线和椭圆的位置关系，考查根与系数的关系的应用，考查最值问题，难度较大，对计算能力要求较高，考查了学生综合分析问题的能力.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数，），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.点.

（1）写出曲线的普通方程和参数方程；

（2）曲线交曲线于A，B两点，若，求曲线的普通方程.

【答案】（1）曲线的普通方程为：，参数方程为：（为参数）；（2）曲线的普通方程为：或

【解析】（1）利用，将极坐标方程化为普通方程，进而可化为参数方程；

（2）曲线的参数方程代入曲线的普通方程，利用根与系数的关系列方程求出的值，进而可得曲线的普通方程．

【详解】

解：（1）

所以，曲线的普通方程为：

曲线的参数方程为：（为参数）

（2）将曲线的参数方程为代入曲线的普通方程为：

得：

或

所以曲线的普通方程为：或

【点睛】

本题考察极坐标方程和普通方程的互化，普通方程和参数方程的互化，考查了直线参数方程的应用，是基础题．

23．已知.

（1）求不等式的解集；

（2）的最小值为M，，，求的最小值.

【答案】（1）或；（2）

【解析】（1）将，求出的范围，进而可得的范围；

（2）首先求出的最小值，即可得的值，利用柯西不等式和基本不等式求的最小值.

【详解】

解：（1）∵，

，

不等式的解集为：；

（2），

所以，，

.

【点睛】

本题考查解绝对值不等式以及柯西不等式和基本不等式的应用，是中档题.