2020届重庆市第八中学高三上学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

2020届重庆市第八中学高三上学期第一次月考数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，则（　  　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据并集和交集的定义，计算即可．

【详解】

解：集合，

；

又集合，

．

故选：．

【点睛】

本题考查了集合的定义与交并运算，属于基础题．

2．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据函数的单调性及特殊值即可比较三数的大小.

【详解】

因为，，，

所以

故选：D

【点睛】

本题主要考查了指数函数，对数函数的单调性，及特殊值在比较大小中的应用，属于中档题.

3．已知复数，则（　  　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由商的模等于模的商求出，再由求解．

【详解】

解：，

故选：．

【点睛】

本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，属于基础题．

4．已知等比数列满足，则（　  　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用等比数列的通项公式即可得出．

【详解】

解：设等比数列的公比为，

，

，

化为，

解得，

解得．

则．

故选：．

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

5．的展开式中的系数为（　  　）

A． B． C．、 D．

【答案】C

【解析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数．

【详解】

解： ，

故它的展开式中含的项有的和

故的系数为，

故选：．

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．

6．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设、在放射性同位素铯衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位：年）满足函数关系：，则铯含量在时的瞬间变化率为（　  　）

A．（太贝克/年） B．（太贝克/年）

C．（太贝克/年） D．（太贝克/年）

【答案】A

【解析】求出函数的导函数，令即可得到含量在时的瞬间变化率．

【详解】

解：依题意，

，

所以铯含量在时的瞬间变化率为：（太贝克年），

故选：．

【点睛】

本题考查了复合函数的导数的计算，对数函数的导数，导数与瞬时变化率，属于基础题．

7．已知且”是“函数在上单调”的（　　  ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】函数在上单调或在上恒成立，利用二次函数的图象与性质即可得出．

【详解】

解：，

函数在上单调

或在上恒成立

，或，即．

“”是“函数在上单调”的充要条件．

故选：．

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性、二次函数的图象与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

8．已知函数，则（　  　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】可以求出，从而可得出，从而可求出．

【详解】

解：

，

．

故选：．

【点睛】

考查对数的运算性质，奇函数的定义，以及分子有理化的方法．

9．重庆已经成为中外游客旅游的热门目的地之一，比如洪崖洞，长江索道，李子坝穿楼轻轨已经成为网红景点，旅游的必到打卡地．现有名外地游客来重庆旅游，若每个人只能从上述三个网红景点中选择一处进行游览，则每个景点都有人去游玩的概率为（　  　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】基本事件总数，每个景点都有人去游玩包含的基本事件个数，由此能求出每个景点都有人去游玩的概率．

【详解】

解：洪崖洞，长江索道，李子坝穿楼轻轨已经成为网红景点，旅游的必到打卡地．

现有名外地游客来重庆旅游，若每个人只能从上述三个网红景点中选择一处进行游览，

则基本事件总数，

每个景点都有人去游玩包含的基本事件个数，

则每个景点都有人去游玩的概率为．

故选：．

【点睛】

本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

10．设函数，若在区间上的值域为则实数的取值范围是（　  　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】画出函数的图象，数形结合易得答案．

【详解】

所以函数的图象如图所示，令，解得

结合图象易得

当时，

．

故选：．

【点睛】

本题考查了函数的值域和定义域的关系，关键是画图，属于基础题．

11．已知双曲线 的左右焦点分别为为坐标原点，点在双曲线右支上，且，若直线的倾斜角为且，则双曲线的离心率为（　　  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】证明，用和表示出到两焦点的距离，根据三角变换公式即可求出的值．

【详解】

解：设的中点为，则，

，

，

又是△的中位线，

，

．

又，，

，，

由双曲线的定义可知，即，

，

，

，

故．

故选：．

【点睛】

本题考查了双曲线的定义与性质，向量数量积与向量垂直的关系，考查三角恒等变换，属于中档题．

12．设函数．过点作函数图象的所有切线，则所有切点的横坐标之和为（  　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据题意，所有切线过点，显然点不一定为切点，因此先设切点，，对求导，得切线斜率，从而写出切线方程，点坐标代入，得到关于的方程：

，注意到函数与函数都关于点对称，因此推出所有切点的横坐标也关于点成对出现，每对和为，当，时，数出共2019对，即可得出结论．

【详解】

解：函数，

；

设切点为，切线的斜率为

故切线方程为：；

；

，

令 ；

这两个函数的图象关于对称，

所以他们交点的横坐标关于点对称；

从而所做所有切点的横坐标也关于点成对出现；

又在区间内共有对，每对和为，

所有切点的横坐标之和为．

故选：．

【点睛】

本题考查了函数曲线上切线方程的求法，转化思想，数形结合的思想方法，属于难题．

二、填空题

13．函数的最大值是_____．

【答案】

【解析】利用同角三角函数基本关系式以及换元法，结合二次函数的性质求解函数的最大值即可．

【详解】

解：函数，

令；

所以，当时，函数取得最大值： ．

故答案为： ．

【点睛】

本题考查三角函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．

14．已知是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为_____．

【答案】-1

【解析】由题设条件可先由函数在上是奇函数求出参数的值，求出函数的解板式，再由奇函数的性质得到，代入解析式即可求得所求的函数值．

【详解】

解：由题意，是定义在上的奇函数，当时为常数），

，解得，故有时．

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查函数奇偶性质，解题的关键是利用求出参数的值，再利用性质转化求值，本题考查了转化的思想，方程的思想，是中档题．

15．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，有下列四个命题：

①若，则；②若，则

③若，则；

④若与所成角相等，则．

其中正确的命题有_____．（填写所有正确命题的编号）

【答案】③

【解析】由两个平面的位置关系，结合面面垂直的定义可判断①；由面面垂直的性质和线线的位置关系可判断②；由面面平行的性质定理可判断③；由线面角的定义和面面的位置关系可判断④．

【详解】

解：是两条不同的直线，是三个不同的平面，

①，若，可能相交或，故①错误；

②，若，可能平行或相交或异面，故②错误；

③，若，由面面平行的性质定理可得，故③正确；

④，若与所成角相等，可能相交或平行，故④错误．

故答案为：③．

【点睛】

本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．

16．如图有一个帐篷，它下部的形状是高为（单位：米）的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为（单位：米）的正六棱锥．则帐篷的体积最大值为_____立方米．

【答案】

【解析】设出顶点到底面中心的距离，再求底面边长和底面面积，求出体积表达式，利用导数求出高为何时体积取得最大值．

【详解】

解：设为，．

则由题设可得正六棱锥底面边长为：．

于是底面正六边形的面积为，

帐篷的体积为．

可得：．

求导数，得．

令，解得（舍去），．

当时，，为增函数；

当时，，为减函数．

当时，有最大值为．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．

三、解答题

17．如图1，在六边形中，．如图2，将分别沿着折起，使点，点恰好重合于点．

（1）求证：平面平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析 (2)

【解析】（1）推导出，，由，得，从而平面，由此能证明平面平面．

（2）取中点，连结，则，从而平面，且，取中点，连结，由，则，且，设到平面的距离为，由，得，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．

【详解】

解：（1）证明：由已知，得，

，同理，，

又

，平面，平面，

平面，

平面面平面；

（2）解：取中点，连结，

，则

又平面平面于，则平面，且，

又取中点，连结，由，

则，且，

设B到平面的距离为，

由，得，

解得，

设直线与平面所成角为，

则直线与平面所成角的正弦值．

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．

18．某省数学学会为选拔一批学生代表该省参加全国高中数学联赛，在省内组织了一次预选赛，该省各校学生均可报名参加.现从所有参赛学生中随机抽取人的成绩进行统计，发现这名学生中本次预选赛成绩优秀的男、女生人数之比为，成绩一般的男、女生人数之比为.已知从这名学生中随机抽取一名学生，抽到男生的概率是

（1）请将下表补充完整，并判断是否有的把握认为在本次预选赛中学生的成绩优秀与性别有关？

（2）以样本估计总体，视样本频率为相应事件发生的概率，从所有本次预选赛成绩优秀的学生中随机抽取人代表该省参加全国联赛，记抽到的女生人数为，求随机变量的分布列及数学期望.

参考公式：，其中；

临界值表供参考：

【答案】（1）填表见解析,有的把握认为二者有关；（2）详见解析

【解析】(1)由已知概率和比例完善列联表，进行独立性检验得解；

(2)随机变量服从二项分布，根据二项分布的数据特征值求解.

【详解】

解析：（1）根据表中所给数据计算可得：

，

故有的把握认为二者有关；

（2）由题知，故的分布列为：

.

【点睛】

本题考查独立性检验和二项分布，属于中档题.

19．已知函数．

（1）求的解析式；

（2）设，若对任意，求的取值范围．

【答案】(1) (2)

【解析】（1）求导，求出，代入即可；

（2），显然成立，，分离参数，构造，求出的最小值，即可求出的范围．

【详解】

解：（1）．

，由，得，

所以，

（2）若对任意，，即，

当时，；

当时，参变分离，恒成立，

令，，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以，

故．

综上，．

【点睛】

考查求导法求解析式，和分离参数求函数的最值，属于中档题．

20．已知椭圆 的离心率为，且过点是椭圆的左、右顶点，直线过点且与轴垂直．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设是椭圆上异于的任意一点，作轴于点，延长到点使得，连接并延长交直线于点，点为线段的中点，判断直线与以为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．

【答案】(1) (2) 直线与以为直径的圆相切． 证明见解析

【解析】（1）利用离心率和，，的平方关系，即可求出椭圆的标准方程；

（2）设，，则，，联立直线的直线方程与，求出点的坐标，再求出点的坐标，从而求出直线的方程，再求出到直线的距离，因为，所以直线与以为直径的圆相切．

【详解】

解：（1）椭圆 的离心率为，且过点，

，解得，

椭圆的标准方程为： ；

（2）设，则，

直线的方程为，

联立，解得，点，

点，

则直线的方程为，

即，

，直线的方程可化为，

到直线的距离为，

故直线与以为直径的圆相切．

【点睛】

本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．

21．已知函数．

（1）若存在最大值，证明：；

（2）函数，且只有一个极值点，求的取值范围，并证明：

【答案】(1) 证明见解析(2) ,证明见解析

【解析】（1）先求函数的导数，分的范围讨论函数是否有最大值，并且在有最大值时根据函数的单调性求（a）的最小值等于零即可；

（2）求函数的导数，且只有一个根，且定义域内根的两边区间的符合相反，求出根，并证明的最小值大于等于即可．

【详解】

解：（1）由题意：，

当时，恒成立，函数单调递增，无最大值；

当，在单调递增，，上单调递减，

所以函数在最大值为，

所以，

下面证明，即证：，令， ，

所以在，单调递减，在单调递增，

所以，所以，证毕．

（2），所以，设，，

①当时，令，解得，，，单调递增，，，单调递减，

若，恒成立，无极值；

若，，而，，此时函数有两个极值点：

故不符合题意

②时，，，单调递减，，，单调递增，

所以函数有唯一的极小值点，；

③当，恒成立，单调递增，取满足，且时，，而，此时又零点存在定理知：有唯一的零点，只有一个极值点，且，由题知，又，

，

，

设，

，当，， 单调递减，

，

成立，

综上：函数只有一个极值点取值范围，，且．

【点睛】

考查用导数研究函数的单调性，并几次用导数来求最值，属于难题．

22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足|，求点的轨迹的直角坐标方程；

（2）射线与曲线分别交于两点，求．

【答案】(1) (2)

【解析】（1）设点，，点，，由，得到，由此能求出点的轨迹的直角坐标方程．

（2）设点，，点，，分别代入，的极坐标方程中，解得，，由此能求出．

【详解】

解：（1）设点，点，

为曲线上的动点，点在线段上，且满足，

，

，代入点的轨迹方程为：，

，

点的轨迹的直角坐标方程为．

（2）设点，点，

分别代入的极坐标方程中，

则，

解得，

【点睛】

本题考查点的轨迹的直角坐标方程的求法，考查线段长的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

23．已知，且．

（1）求的最小值；

（2）若成立，求的取值范围．

【答案】(1) 最小值为．(2)

【解析】（1）利用柯西不等式即可求解；

（2）利用柯西不等式即可求解.

【详解】

（1）由柯西不等式，

得：

即：，

，当且仅当时等号成立，

故：的最小值为．

（2）由柯西不等式，

得：．

即： ，

当且仅当时取等号，只需，

解得：．

故：的取值范围为：

【点睛】

本题考查了柯西不等式的运用能力，考查学生的计算能力．属于基础题