2020届山东省菏泽一中高三3月线上模拟考试数学试题（解析版）

2020届山东省菏泽一中高三3月线上模拟考试数学试题

一、单选题

1．集合，，则为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】计算得到，，再计算得到答案.

【详解】

，，

故.

故选：.

【点睛】

本题考查了集合的交集运算，意在考查学生的计算能力.

2．设复数，若为实数，则（    ）

A．1 B． C．1或 D．2

【答案】C

【解析】先求得,由实数可知,其虚部为0,进而求解即可

【详解】

解:,

,

由为实数,则,即,

故选:C

【点睛】

本题考查已知复数的类型求参数,考查复数的乘法法则的应用

3．某校高三年级的学生参加了一次数学测试，学生的成绩全部介于60分到140分之间（满分150分），为统计学生的这次考试情况，从中随机抽取100名学生的考试成绩作为样本进行统计.将这100名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第三组，…….如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.则第七组的频数为（    ）

A．8 B．10 C．12 D．16

【答案】A

【解析】直接根据频率和为1计算得到答案.

【详解】

设第七组的频率为，

则，故.

故第七组的频数为：.

故选：.

【点睛】

本题考查了频率分布直方图，意在考查学生对于频率直方图的理解和掌握.

4．设函数的定义域为R，满足，且则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】取，代入，计算得到答案.

【详解】

.

故选：.

【点睛】

本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.

5．在直角梯形中，，，，，是的中点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由数量积的几何意义可得，，又由数量积的运算律可得

，代入可得结果.

【详解】

∵，

由数量积的几何意义可得：的值为与在方向投影的乘积，

又在方向的投影为=2，

∴，同理，

∴，

故选D.

【点睛】

本题考查了向量数量积的运算律及数量积的几何意义的应用，属于中档题.

6．一个箱子中装有4个白球和3个黑球，若一次摸出2个球，则摸到的球颜色相同的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用组合数计算得到基本事件总数和颜色相同的基本事件个数，由古典概型概率公式计算可得结果.

【详解】

从箱子中一次摸出个球共有种情况；颜色相同的共有种情况

摸到的球颜色相同的概率

故选：

【点睛】

本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到组合数的应用，属于基础题.

7．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】判断函数为偶函数，取特殊点，判断得到答案.

【详解】

，且，函数为偶函数

故选：D

【点睛】

本题考查了函数图像的判断，根据奇偶性和特殊点可以快速得到答案是解题的关键.

8．设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为(    ).

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】【详解】

当P是椭圆的上下顶点时,最大, 则椭圆的离心率的取值范围为,故选C.

【点睛】

本题考查了椭圆的几何意义,属于中档题目.在客观题求离心率取值范围时,往往利用图形中给出的几何关系结合圆锥曲线的定义,找出a,b,c之间的等量关系或者不等关系, 考查学生的数形结合能力,在主观题中多考查直线与圆锥曲线的位置关系,利用方程的联立和判别式解不等式求出离心率的范围.

二、多选题

9．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：

如图是某市12月1日-20日AQI指数变化趋势：

下列叙述正确的是（      ）

A．这20天中AQI指数值的中位数略高于100

B．这20天中的中度污染及以上的天数占

C．该市12月的前半个月的空气质量越来越好

D．总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好

【答案】ABD

【解析】根据折线图和AQI指数与空气质量对照表，结合选项，进行逐一分析即可.

【详解】

对A：将这20天的数据从小到大排序后，第10个数据略小于100，第11个数据约为120，

因为中位数是这两个数据的平均数，故中位数略高于100是正确的，故A正确；

对B：这20天中，AQI指数大于150的有5天，故中度污染及以上的天数占是正确的，

故B正确；

对C：由折线图可知，前5天空气质量越来越好，从6日开始至15日越来越差，

故C错误；

对D：由折线图可知，上旬大部分AQI指数在100以下，中旬AQI指数大部分在100以上，

故上旬空气质量比中旬的要好.故D正确.

故选：ABD.

【点睛】

本题考查统计图表的观察，属基础题；需要认真看图，并理解题意.

10．已知，，下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【解析】由指数函数的单调性可判断；由作差法和不等式的性质可判断；可根据换底公式，取，，运用对数函数单调性，可判断；运用作差法和不等式的性质，可判断.

【详解】

由，，可得，故正确；

由，， 可得 ， ，故错误；

由，，，，则，则，可得，故正确；

由，，可得，故正确.

故选:

【点睛】

本题考查不等式基本性质和利用指数函数、对数函数单调性比较大小，属于基础题.

11．已知定义域为R的奇函数，满足，下列叙述正确的是（      ）

A．存在实数k，使关于x的方程有7个不相等的实数根

B．当时，恒有

C．若当时，的最小值为1，则

D．若关于的方程和的所有实数根之和为零，则

【答案】AC

【解析】根据函数是奇函数，写出其解析式，画出该函数的图像，再结合选项，数形结合解决问题.

【详解】

因为该函数是奇函数，故在R上的解析式为：

绘制该函数的图像如下所示：

对A：如图所示直线与该函数有7个交点，故A正确；

对B：当时，函数不是减函数，故B错误；

对C：如图直线，与函数图交于，

故当的最小值为1时，，故C正确；

对D：时，若使得其与的所有零点之和为0，

    则，或，如图直线，故D错误.

故选：AC.

【点睛】

本题考查由函数的奇偶性求函数解析式，以及判断方程的根的个数，以及函数零点的问题，涉及函数单调性，属综合性基础题；另，本题中的数形结合是解决此类问题的重要手段，值得总结.

12．如图，矩形，为的中点，将沿直线翻折成，连接，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（    ）

A．存在某个位置，使得 B．翻折过程中，的长是定值

C．若，则； D．若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是.

【答案】BD

【解析】对于A，取的中点为，连接，设.通过证明平面平面，得.假设，得到，，这是不可能的，故不正确；对于B，在中，由余弦定理得是定值，故是定值，故正确；对于C，若，可证平面，得到，此时，由于，故不成立，故不正确；对于D，只有当平面平面时，三棱锥的体积最大，取的中点为，证明，故就是三棱锥的外接球的球心，故D正确.

【详解】

对于A，取的中点为，连接，设，如图所示

则平面平面，平面.

四边形是平行四边形，，同理可证平面.

又，且平面，平面平面.

平面，又平面，平面平面，

.

如果，则，由于，则，

由于三线共面且共点，这是不可能的，故不正确；

对于B，如图，由等角定理可得，又，

在中，由余弦定理得：

是定值，是定值，故正确；

对于C，如图所示

，即，设为中点，连接，则

若，由于，且平面，

平面，平面，

，则，

由于，故不成立，故不正确；

对于D，根据题意知，只有当平面平面时，

三棱锥的体积最大，取的中点为，为中点，

连接，如图

，，平面平面

平面平面，平面

平面，又平面，.

又，，，，

，，

.

的中点就是三棱锥的外接球的球心，球的半径为，

表面积是，故D正确；

故选：BD.

【点睛】

本题考查立体几何中的翻折问题，考查学生的空间想象能力,考查立体几何中的平行、垂直的判定定理和性质定理，考查余弦定理，属于难题.

三、填空题

13．函数的图象在点处的切线方程是_______________.

【答案】

【解析】借助求导公式求出,因为切线的斜率为,代入求得切点,即可求出切线方程.

【详解】

，∴且，所以函数的图象在处的切线方程是.

故答案为: .

【点睛】

本题考查了导数的几何意义,过曲线上一点的切线方程的求法,难度容易.

14．已知等比数列的前n项和为，.若，则______.

【答案】2；

【解析】根据等比数列公式化简得到，得到答案.

【详解】

，故，即，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了等比数列公式，意在考查学生的计算能力.

15．展开式的常数项为        ．（用数字作答）

【答案】-160

【解析】【详解】

由，令得，所以展开式的常数项为.

【考点】二项式定理.

16．已知，分别为双曲线的左、右焦点，点，点的坐标为，为的角平分线，则_______

【答案】6

【解析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．

【详解】

不妨设A在双曲线的右支上,

∵为的平分线，

∴，

又∵，解得，故答案为6.

【点睛】

本题考查内角平分线定理，考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义，属于中档题.

四、解答题

17．的内角的对边分别为，已知，.

（1）求角C；

（2）延长线段到点D，使，求周长的取值范围．

【答案】(1) (2)

【解析】(1)利用余弦定理化简整理再用角的余弦定理即可.也可以用正弦定理先边化角,再利用和差角公式求解.

(2)易得的周长等于,再利用正弦定理将用角表示,再利用三角函数的值域方法求解即可.

【详解】

解法一：（1）根据余弦定理得

整理得，

，

（2）依题意得为等边三角形，所以的周长等于

由正弦定理，

所以，

，，

，

，

所以的周长的取值范围是．

解法二：（1）根据正弦定理得

,

,

，

，

，

（2）同解法一

【点睛】

本题主要考查了正余弦定理求解三角形的问题,同时也考查了边角互化求解边长的取值范围问题等.属于中等题型.

18．已知数列，满足：，，，，.

（1）证明：数列为等差数列，数列为等比数列；

（2）记数列的前n项和为，求及使得的n的取值范围.

【答案】（1）证明见解析（2）；

【解析】（1）两式相加得到，两式相减得到，得到证明.

（2）计算，，解不等式得到答案.

【详解】

（1）由和相加得：

所以，因此数列是以2为公差的等差数列

由和相减得：，

所以，，因此数列是以为公比的等比数列

（2），，两式相加得：

所以

因为，所以

又因为，，

所以使得的n的取值范围为.

【点睛】

本题考查了等差数列，等比数列的证明，分组求和法，根据数列的单调性解不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.

19．如图，在三棱台中，，G，H分别为，上的点，平面平面，，.

（1）证明：平面平面；

（2）若，，求二面角的大小.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）证明，得到平面，得到答案.

（2）分别以，，所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，计算平面的一个法向量为，平面的一个法向量为

，计算夹角得到答案.

【详解】

（1）因为平面平面，平面平面，

平面平面，所以.

因为，所以四边形为平行四边形，所以，

因为，所以，H为的中点.

同理G为的中点，所以，因为，所以，

又且，所以四边形是平行四边形，所以，

又，所以.   

又，平面，，所以平面，

又平面，所以平面平面

（2），，，，，所以.

分别以，，所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.

设平面的一个法向量为，因为，

则，取，得.

设平面的一个法向量为，因为，

则，取，得.

所以，则二面角的大小为

【点睛】

本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

20．某学校共有教职工900人,分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如下表所示. 已知在全体教职工中随机抽取1名,抽到第二批次中女教职工的概率是0.16 .

（1）求的值；

（2）现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查, 问应在第三批次中抽取教职工多少名？

（3）已知，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率.

【答案】（1）144（2）12（3）

【解析】第一问中利用等概率抽样求解样本容量．可知由,解得

第二问中，由于用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查

因此先求第三批的人数，然后按比例抽样得到第三批中抽取的人数

第三问中，结合古典概型概率公式求解得到．

解: (1)由,解得. ……………3分

(2)第三批次的人数为,

设应在第三批次中抽取名，则，解得.

∴应在第三批次中抽取12名.                           ……………6分

（3）设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为，第三批次女教职工和男教职工数记为数对，

由（2）知，则基本事件总数有：

，共9个，

而事件包含的基本事件有：共4个，

∴. ……………………………………12分

21．已知过抛物线 的焦点，斜率为的直线交抛物线于 两点，且 .

（1）求抛物线的方程;

（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若 ，求的值.

【答案】（1）y2＝8x.（2）λ＝0，或λ＝2.

【解析】【详解】试题分析：第一问求抛物线的焦点弦长问题可直接利用焦半径公式，先写出直线的方程，再与抛物线的方程联立方程组，设而不求，利用根与系数关系得出，然后利用焦半径公式得出焦点弦长公式，求出弦长，第二问根据联立方程组解出的A、B两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C的坐标，由于点C在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值.

试题解析：

 (1)直线AB的方程是y＝2（x-），与y2＝2px联立，消去y得8x2－10px＋2＝0，

由根与系数的关系得x1＋x2＝ .由抛物线定义得|AB|＝＋p＝9，故p=4

(2)由(1)得x2－5x＋4＝0，得x1＝1，x2＝4，从而A(1，－2)，B(4，4)．

设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，

又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，

解得λ＝0或λ＝2.

【点睛】

求弦长问题，一般采用设而不求联立方程组，借助根与系数关系，利用弦长公式去求；但是遇到抛物线的焦点弦长问题时，可直接利用焦半径公式，使用焦点弦长公式，求出弦长.遇到与向量有关的问题，一般采用坐标法去解决，根据联立方程组解出的A、B两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C的坐标，由于点C在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值.

22．已知函数，且在处切线垂直于轴．

（1）求的值；

（2）求函数在上的最小值；

（3）若恒成立，求满足条件的整数的最大值．

（参考数据，）

【答案】（1）；（2）0；（3）2.

【解析】（1）依题意，，由此即可求得的值；

（2）求导，研究函数在，上的单调性，进而得到最值；

（3）先分析，再证明当时满足条件即可得到的最大值．

【详解】

（1）因为在处切线垂直于轴，则

因为，则，则

（2）由题意可得，注意到，

则则

因此单调递减，，

因此存在唯一零点使得，则在单调递增，

在单调递减，，则在上恒成立

从而可得在上单调递增，则

（3）必要条件探路

因为恒成立，令，则

因为，由于为整数，则，

因此

下面证明恒成立即可

①当时，由（1）可知，则

故，设，

则，则在单调递减

从而可得，由此可得在恒成立．

②当时，下面先证明一个不等式：，设

则，则在单调递减，在单调递增

因此，那么

由此可得

则，

因此单调递增，，

则在上单调递增，因此

综上所述：的最大值整数值为．

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明及先猜后证思想，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于难题．