2021新泰一中老校区（新泰中学）高三上学期第一次月考数学试题含答案

高三数学第一次阶段性测试答案

1-5：1C  2 C 3 D 4C 5A 6-8：ACC 9．ABD 10.ABD 11. BC    12.ABD

13. (0,1)   14.676    15.     16.3千米

17. （1），；（2）

18. 【详解】

解：（1）在中，因为，

由正弦定理得，

所以，即，

又因为，所以

因为是三角形的内角，所以或

（2）由（1）知，因为，

所以为等腰三角形，且，在中，设，

在中，由余弦定理得，解得

所以，所以，

所以三角形的面积为

19. （1）当时，，；

当时，，①

，②

①②得，，，，

数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以．　

（2）由（1）得，

，①

，②

①②，得

．

所以．　

20. 解：（I）设，又

所以

所以

所以当时，最小值为．

（II）由题意得，

则

因为，所以

所以当时，即时，取得最大值1

所以时，取得最小值

所以的最小值为，此时

21. （1）由图可知函数的图象过点，

；

（2）由（1）知，当时，，，

又在中，，；

（3）由（2）可知  易知矩形草坪面积最大时，Q在OD上．

如图：，，，

又，

矩形草坪的面积为：，

又，故当  即时，有.

综上所述，当时，矩形草坪面积最大．

 22．解：（1）当a=1时，f（x）=ex+x2–x，则 f (x) =ex+2x–1．

故当x∈（–∞，0）时， f (x) <0；当x∈（0，+∞）时， f (x) >0． 所以f（x）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．

（2） f (x)  1 x3  1等价于(1 x3   ax2   x 1)e x   1 .

2 2

设函数 g(x)  (1 x3   ax2   x 1)e x (x  0) ，则

2

g(x)  (1 x3  ax2  x 1 3 x2  2ax 1)e x

2 2

  1 x[x2  (2a  3)x  4a  2]e x

2

  1 x(x  2a 1)(x  2)e x .

2

（i）若2a+1≤0，即a  1 ，则当x∈（0，2）时， g(x) >0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）=1，

2

故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意.

（ii）若0<2a+1<2，即  1  a  1 ，则当x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当x∈(2a+1，2)时，g'(x)>0.

2 2

所以g(x) 在(0 ， 2a+1) ， (2 ， +∞) 单调递减， 在(2a+1 ， 2) 单调递增. 由于g(0)=1 ，所以g(x)≤1 当且仅当

7  e2

g(2)=(7−4a)e−2≤1，即a≥ .

4

所以当

7  e2 

a  1 时，g(x)≤1.

4 2

（iii）若2a+1≥2，即a  1 ，则g(x)≤ (1 x3   x  1)e x .

2 2

由于0 [ 7  e  , 1 ) ，故由（ii）可得(1 x3   x 1)e x ≤1.

4 2

故当a  1 时，g(x)≤1.

2

2