上海市七宝中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含解析

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上海市2018-2019学年七宝中学高一上学期数学期中考试

一. 填空题

1.函数的定义域为________

【答案】

【解析】

【分析】

根据分母不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式组，解得定义域.

【详解】由题意得，即定义域为

【点睛】本题考查函数定义域，考查基本求解能力.

2.已知集合，，则________

【答案】

【解析】

【分析】

求出集合A,B，即可得到.

【详解】由题集合

集合

故.

故答案为.

【点睛】本题考查集合的交集运算，属基础题

3.不等式的解集是________

【答案】

【解析】

【详解】不等式，则

故答案为.

【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．

4.“若且，则”的否命题是__________________．

【答案】若或，则

【解析】

【分析】

根据原题与否命题的关系，写出否命题即可.

【详解】“若且，则”的否命题是“若或，则”.

即答案为：若或，则

【点睛】本题考查根据原命题写出否命题，属基础题.

5.已知，则的取值范围是________

【答案】

【解析】

【分析】

作出可行域，目标函数z=a-b可化为b=a-z，经平移直线可得结论．

【详解】作出所对应的可行域，即 （如图阴影），
目标函数z=a-b可化为b=a-z，可看作斜率为1的直线，
平移直线可知，当直线经过点A（1，-1）时，z取最小值-2，
当直线经过点O（0，0）时，z取最大值0，
∴a-b的取值范围是，
故答案为：．

【点睛】本题考查线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．

6.若，，且，则的取值范围是_

【答案】

【解析】

【分析】

对a进行分类讨论，根据A与B的交集为空集确定出a的范围即可．

【详解】由题，，且，

当时，，则；

当时， ，则可得

故的取值范围是.

【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

7.若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是____

【答案】

【解析】

略

8.若函数，则________

【答案】

【解析】

【分析】

设,求出的解析式，再将代入即可.

【详解】设,则 则 即

即答案为.

【点睛】本题考查函数解析式的求解，涉及换元和函数的性质，属中档题．

9.若关于的不等式在上恒成立，则实数的最小值是__

【答案】

【解析】

【分析】

关于的不等式在上恒成立，即求，将不等式式配凑成基本不等的形式，利用基本不等式求最小值，进而求得的最小值．

【详解】∵关于的不等式在上恒成立，
∴，
∵x＞，
∴

，当且仅当，即 时取等号，
∴，
∴，解得， ，
∴实数a的最小值为．
故答案为．

【点睛】本题考查函数的恒成立问题，以及应用基本不等式求最值．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离的方法进行处理，转化成函数的最值问题．在应用基本不等式求最值的时候，要特别注意不等式取等号的条件．属于基础题．

10.已知函数，（），若不存在实数使得和同时成立，则的取值范围是________

【答案】

【解析】

【分析】

通过f（x）＞1和g（x）＜0，求出集合A、B，利用A∩B=∅，求出a的范围即可．

【详解】由f（x）＞1，得＞1，化简整理得 ，解得 即的解集为A={x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．
由g（x）＜0得x2-3ax+2a2＜0，即（x-a）（x-2a）＜0，g（x）＜0的解集为B={x|2a＜x＜a，a＜0}．
由题意A∩B=∅，因此a≤-2或-1≤2a＜0，
故a的取值范围是{a|a≤-2或-≤a＜0}．

即答案为.

【点睛】本题考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，集合的交集运算，考查分析问题解决问题的能力．

11.当时，可以得到不等式，，，由此可以推广为，则________

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查归纳推理，要先考查前几个不等式，总结出规律再研究推广后的式子中的p值

【详解】∵x∈R+时可得到不等式 ，

∴在p位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方

即答案为.

【点睛】本题考查归纳推理，解题的关键是理解归纳推理的规律--从所给的特例中总结出规律来，以之解决问题，归纳推理是一个很重要的思维方式，熟练应用归纳推理猜想，可以大大提高发现新问题的效率，解题时善用归纳推理，可以为一题多解指明探究的方向

12.已知数集（，）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，现给出以下四个命题：①数集具有性质；②数集具有性质；③若数集具有性质，则；④若数集（）具有性质，则；其中真命题有________（填写序号）

【答案】②③④

【解析】

【分析】

利用ai+aj与aj-ai两数中至少有一个属于A．即可判断出结论．

【详解】①数集中，，故数集不具有性质；

②数集满足对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，故数集具有性质；

③若数列A具有性质P，则an+an=2an与an-an=0两数中至少有一个是该数列中的一项，
∵0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3，
而2an不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，
∴a1=0；故③正确；

④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，ai+a5＞a5，
由A具有性质P，a5-ai∈A，又i=1时，a5-a1∈A，
∴a5-ai∈A，i=1，2，3，4，5
∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5-a1＞a5-a2＞a5-a3＞a5-a4＞a5-a5=0，
则a5-a1=a5，a5-a2=a4，a5-a3=a3，
从而可得a2+a4=a5，a5=2a3，故a2+a4=2a3，

即答案为②③④.

【点睛】本题考查数列的综合应用，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属中档题．

二. 选择题

13.如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）

A.     B.

C.     D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据图中的阴影部分是M∩P的子集，但不属于集合S，属于集合S的补集，然后用关系式表示出来即可．

【详解】图中的阴影部分是： M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集,即是CUS的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩(∁US).

故选：C．

【点睛】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．

14.下列各组函数中，表示同一函数的是（    ）

A. 与

B. 与

C. 与

D. （）与 （）

【答案】D

【解析】

【分析】

若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对以关系都得相同，所以只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可．

【详解】对于A选项， f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数；

对于B选项的定义域为 的定义域为∴不是同一函数；

对于C选项，f（0）=-1，g（0）=1，f（0）≠g（0），∴不是同一函数．

对于B选项，f（x）的定义域为，g（x）的定义域为，且且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数.

故选D.

【点睛】本题主要考查了函数三要素的判断，只有三要素都相同，两函数才为同一函数，属于基础题．

15.已知，则“”是“”的（    ）

A. 充分非必要条件    B. 必要非充分条件

C. 充要条件    D. 既非充分又非必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断问题．在解答时，要先判断准条件和结论分别是什么．然后结合不等式的知识分别由条件推结论和由结论推条件，看是否正确即可获得问题解答．

【详解】由题意可知：a，b∈R+，若“a2+b2＜1”

则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2•b2，

∴（a+b）2＜（1+ab）2

∴ab+1＞a+b．

若ab+1＞a+b，当a=b=2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立．

综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件．

故选：A．

【点睛】本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断问题．在解答的过程当中充分体现了不等式的知识、充要条件的判断问题以及问题转化的思想．

16. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）

A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

【答案】D

【解析】

试题分析：对于A，消耗升汽油，乙车行驶的距离比千米小得多，故错；对于B, 以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲车消耗汽油最少，故错；对于C, 甲车以千米/小时的速度行驶小时，消耗升汽油, 故错；对于D,车速低于千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.故选D.

考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.

【此处有视频，请去附件查看】

三. 解答题

17.设集合，集合.

（1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围；

（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由“”是“”的必要条件，得B⊆A，然后分，m＞三种情况讨论求解实数m的取值范围；

（2）把中只有一个整数，分，m＞时三种情况借助于两集合端点值间的关系列不等式求解实数m的取值范围．

【详解】(1)若“”是“”，则B⊆A，

∵A={x|-1≤x≤2}，

①当时，B={x|2m＜x＜1}，此时-1≤2m＜1⇒ ；

②当 时，B=∅，有B⊆A成立；

③当时B=∅，有B⊆A成立；

综上所述，所求m的取值范围是．

(2)∵A={x|-1≤x≤2}，

∴∁RA={x|x＜-1或x＞2}，

①当时，B={x|2m＜x＜1}，

若(∁RA)∩B中只有一个整数，则-3≤2m＜-2，得

②当m当 时，不符合题意；

③当时，不符合题意；

综上知，m的取值范围是.

【点睛】在集合运算中，不等式的解集、函数的定义域、函数的值域问题，能解的先解出具体的实数范围，再结合数轴进行集合的运算，若端点位置不定时，要注意对端点的位置进行讨论求解，此题是中档题．

18.练习册第21页的题“，，求证：”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：（当且仅当时等号成立），∴.

学习以上解题过程，尝试解决下列问题：

（1）证明：若，，，则，并指出等号成立的条件；

（2）试将上述不等式推广到（）个正数、、、、的情形，并证明.

【答案】(1)见解析；（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据题设例题证明过程，类比可得证明；

（2）根据题设例题证明过程，类比可得证明；

【详解】（1），∴，当且仅当

时等号成立；

（2）

故.当且仅当 时等号成立；

【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查不等式的证明，考查求函数的最值，属于中档题．

19.某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：① 与和的乘积成正比；② 当时，；③，其中为常数，且.

（1）设，求出的表达式，并求出的定义域；

（2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】

（1）列出f（x）的表达式，求函数的定义域时，要注意条件③的限制性．
（2）本题为含参数的二次函数在特定区间上求最值，结合二次函数的图象及单调性解决，注意分类讨论．

【详解】（1）设，当 时，可得k=4，∴ ∴定义域为，t为常数，；

（2）因为定义域中

函数在上单调递减，故.

【点睛】本题考查函数的应用问题，函数的解析式、二次函数的最值及分类讨论思想，牵扯字母太多，容易出错．

20.设数集由实数构成，且满足：若（且），则.

（1）若，试证明中还有另外两个元素；

（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；

（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.

【答案】(1) ，;(2)见解析；（3）.

【解析】

【分析】

（1）根据集合的互异性进行求解，注意条件2∈A，把2代入进行验证；
（2）可以假设A为单元素集合，求出其等价条件，从而进行判断；
（3）先求出集合A中元素的个数，=1，求出x的值，从而求出集合A．

【详解】（1）证明：若x∈A，则

又∵2∈A，
∴
∵-1∈A，∴
∴A中另外两个元素为，；

（2），，，且，，

，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合；

（3）由，，可得

，所有元素积为1，∴，

、、，∴.

【点睛】本题考查了元素和集合的关系，考查集合的含义，分类讨论思想，是一道中档题．

21.已知，设，，（，为常数）.

（1）求的最小值及相应的的值；

（2）设，若，求的取值范围；

（3）若对任意，以、、为三边长总能构成三角形，求的取值范围.

【答案】（1），；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）代入利用基本不等式即可得出；

（2） ，若，即方程没有实根或没有正实根，由此可求的取值范围；

（3）由于b＞a＞0，可得＞＞0．由三角形的三边的大小关系可得 对x＞0恒成立，结合 即可得出．

【详解】（1） 。当且仅当时等号成立；

（2），，即方程没有实根或没有正实根，当方程没有实根时，

当方程没有正实根时， 解得

综上，.

（3）由于b＞a＞0，可得＞＞0．由三角形的三边的大小关系可得 ，即 对x＞0恒成立．
化为 对x＞0恒成立，

则 ，当且仅当时等号成立；

故

，故

综上.

【点睛】本题考查了基本不等式、三角形的三边大小关系、恒成立问题，一元二次方程根的分布等基础知识与基本技能方法，属于难题．