2020届湖北省黄冈市浠水县实验高级中学高三上学期8月月考数学（文）试题（解析版）

2020届湖北省黄冈市浠水县实验高级中学高三上学期8月月考数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则=（ ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】试题分析：集合，故选B.

【考点】集合的交集运算.

2．下列关于命题的说法错误的是（    ）

A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”

B．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件

C．扇形的周长为，则当其圆心角的弧度数为时，其面积最大

D．若扇形的周长为，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数为或

【答案】D

【解析】根据逆否命题与原命题的关系判断选项A中命题的正误；根据函数的单调性求出实数的取值范围，可判断选项B中命题的正误；设扇形的半径为，利用二次函数求出扇形面积的最大值，求出的值，可判断选项C中命题的正误；根据扇形圆心角弧度数小于可判断D选项中命题的正误.

【详解】

对于A选项，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，该命题正确；

对于B选项，若函数在区间上为增函数，则，所以，“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，该命题正确；

对于C选项，设扇形的半径为，则扇形的弧长为，扇形的面积为，

当时，扇形圆心角的弧度数为时，扇形的面积最大，该命题正确；

对于D选项，由于扇形的弧度数的范围是，且，该命题错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查命题真假的判断，涉及逆否命题、充分不必要条件的判断，以及扇形的面积，考查推理能力，属于中等题.

3．为虚数单位，复数在复平面内对应的点所在象限为（    ）

A．第二象限 B．第一象限 C．第四象限 D．第三象限

【答案】C

【解析】，复数在复平面内对应坐标为，所以复数在复平面内对应的点在第四象限，故选C.

4．化简（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用两角和正切公式的变形代入所求代数式，化简变形即可得出答案.

【详解】

原式.

故选：A.

【点睛】

本题考查正切函数值的计算，涉及两角和正切公式变形的应用，考查计算能力，属于中等题.

5．函数的图象是　　

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】先通过函数的零点排除C，D，再根据x的变化趋势和y的关系排除B，问题得以解决．

【详解】

令y=（2x﹣1）ex=0，解得x=，函数有唯一的零点，故排除C，D，

当x→﹣∞时，ex→0，所以y→0，故排除B，

故选：A．

【点睛】

本小题主要考查函数的性质对函数图象的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图象等问题．已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限.

6．已知函数在区间内单调递增，且，若，，，则、、的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由偶函数的性质可得出函数在区间上为减函数，由对数的性质可得出，由偶函数的性质得出，比较出、、的大小关系，再利用函数在区间上的单调性可得出、、的大小关系.

【详解】

，则函数为偶函数，

函数在区间内单调递增，在该函数在区间上为减函数，

，由换底公式得，由函数的性质可得，

对数函数在上为增函数，则，

指数函数为增函数，则，即，

，因此，.

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

7．已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，当，若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是（     ）

A．0 B．0或 C．或 D．0或

【答案】D

【解析】分析：先根据条件得函数周期，结合奇偶性画函数图像，根据函数图像确定满足条件实数的值.

详解：因为，所以周期为2，作图如下：

由图知，直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点时直线 点A(1,1)或与相切，即或

选D.

点睛：

对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（    ）

正（主）视图      侧（左）视图

俯视图

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】作出三棱锥的实物图，计算出三棱锥的底面积和高，然后利用锥体的体积公式可计算出该三棱锥的体积.

【详解】

如下图所示：

该几何体为三棱锥，底面为直角三角形，且，，

该三棱锥的高为，因此，该三棱锥的体积为.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用几何体的三视图计算体积，解题的关键就是画出几何体的实物图，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.

9．为得到函数的图象，只需将函数的图像

A．向左平移个长度单位  B．向右平移个长度单位

C．向左平移个长度单位      D．向右平移个长度单位

【答案】A

【解析】试题分析：将图像向左平移后得，所以A项正确

【考点】三角函数图像平移

点评：将向左平移个单位得，向右平移个单位得

10．设函数在区间上有两个极值点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】令，得出，将问题转化为直线与函数在区间上的图象有两个交点，利用数形结合思想可求出实数的取值范围.

【详解】

，则，

令，得，构造函数，其中，

则直线与函数在区间上的图象有两个交点，

，令，得，列表如下：

又，如下图所示：

由图象可知，当时，即当时，

直线与函数在区间上的图象有两个交点，

因此，实数的取值范围是.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用函数极值点的个数求参数的取值范围，一般转化为导函数的零点个数问题，并结合参变量分离法转化为两函数图象交点的个数问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

11．若函数在区间内没有最值,则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据题意可得函数在区间内单调，故可先求出函数的单调区间，再根据区间为单调区间的子集得到关于的不等式组，解不等式组可得所求．

【详解】

函数的单调区间为，

由，

得．

∵函数 在区间内没有最值，

∴函数 在区间内单调，

∴，

∴，解得．

由，得．

当时，得；

当时，得，又，故．

综上得的取值范围是．

故选B．

【点睛】

解答本题的关键有两个：一是对“函数在区间内没有最值”的理解，由此可得函数在该区间内单调；二是求出函数的单调区间后将问题转化为两个集合间的包含关系处理，并将问题再转化为不等式组求解，根据集合的包含关系得到不等式组时要注意不等号中要含有等号．

12．已知函数，，若成立，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】分析：设，则，把用表示，然后令，由导数求得的最小值．

详解：设，则，，，

∴，令，

则，，∴是上的增函数，

又，∴当时，，当时，，

即在上单调递减，在上单调递增，是极小值也是最小值，

，∴的最小值是．

故选A．

点睛：本题易错选B，利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求的最小值问题，通过构造新函数，转化为求函数的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错．

二、填空题

13．若，，则__________．

【答案】

【解析】将等式两边平方，可计算出，由得出，，然后将代数式平方，可计算出的值，联立方程组，解出和的值，然后利用同角三角函数的商数关系可求出的值.

【详解】

，，将等式两边平方得，

得，，则,

，所以，，

则有，解得，，因此，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用同角三角函数平方关系以及商数关系求值，在涉及值的计算时，一般将代数式平方来进行计算，考查计算能力，属于中等题.

14．__________．

【答案】

【解析】利用两角差的正弦公式计算即可得出答案.

【详解】

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用两角差的正弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.

15．已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为__________．

【答案】

【解析】如图所示，

由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，

∵∠MAN=60°，

∴|AP|=b，

∴|OP|=．

设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ，则tan θ=．

又tan θ=，

∴，解得a2=3b2，

∴e=．

答案：

点睛：

求双曲线的离心率的值（或范围）时，可将条件中提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，再根据和转化为关于离心率e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值（或取值范围）．

16．已知函数，若的解集中有且只有一个正整数，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【解析】由得出，构造函数，，利用导数求出的极大值为，利用数形结合思想得出，列出关于实数的不等式组，解出即可.

【详解】

，得，构造函数，，

则函数在函数图象上方部分中，只有一个横坐标为正整数的点，

，令，得，列表如下：

由于函数过定点，作出两个函数的图象如下图所示：

由图象可知，若使得不等式的解集中有且只有一个正整数，

则，即，解得.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用函数不等式解集中正整数点的个数求参数，利用数形结合思想找出一些关键点来分析是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

三、解答题

17．已知函数

（1）求的单调递增区间；

（2）求在上的最小值及取最小值时的的集合.

【答案】（1）；（2）最小值为，的集合为.

【解析】（1）利用平方差公式、二倍角公式以及辅助角公式得出，然后解不等式，解此不等式即可得出函数的单调递增区间；

（2）由求出的取值范围，结合正弦函数的基本性质得出函数的最小值，并求出对应的的值.

【详解】

（1），

解不等式，

得，

因此，函数的单调递增区间为；

（2），，

当时，即当时，函数取得最小值.

因此，函数的最小值为，对应的的集合为.

【点睛】

本题考查正弦型函数单调性区间与最值的求解，一般要利用三角恒等变换思想将函数解析式进行化简，考查运算求解能力，属于中等题.

18．函数的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为.

(Ⅰ)求函数的解析式和当时的单调减区间；

(Ⅱ)的图象向右平行移动个长度单位,再向下平移1个长度单位,得到的图象,用“五点法”作出在内的大致图象.

【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)图象见解析.

【解析】(Ⅰ) 由函数的最大值为,可求得的值，由图象相邻两条对称轴之间的距离为可求得周期，从而确定的值，然后利用正弦函数的单调性解不式可得单调减区间，取特殊值即可得结果；(Ⅱ)利用函数图象的平移变换法则，可得到的解析式，列表、描点、作图即可得结果.

【详解】

(Ⅰ)∵函数f(x)的最大值是3,

∴A+1=3,即A=2.

∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为,

∴最小正周期T=π,

∴ω=2.所以f(x)=2sin(2x-)+1

令+2kπ≤2x−≤+2kπ,kZ,

即+kπ≤x≤+kπ,kZ,∵x[0,π],

∴f(x)的单调减区间为[,].

(Ⅱ)依题意得g(x)=f(x-)-1=2sin(2x-),

列表得：

描点

连线得g(x)在[0,π]内的大致图象.

【点睛】

本题主要考查三角函数的解析式、单调性、三角函数的图象变换及“五点法”作图，属于中档题.函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.

19．已知.

（1）化简；

（2）若为第二象限角，且，求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用诱导公式化简即可；

（2）由可得出，然后利用两角和的余弦公式、二倍角正弦和余弦公式并结合弦化切的思想可求出的值.

【详解】

（1）由诱导公式得；

（2），.

.

【点睛】

本题考查利用诱导公式化简计算，同时也考查了利用二倍角公式以及同角三角函数的商数关系化简求值，考查运算求解能力，属于中等题.

20．已知函数

求曲线在点处的切线方程

若函数，恰有2个零点，求实数a的取值范围

【答案】(1) x+y-1=0.

(2) .

【解析】(1)求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；

(2) 函数恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形结合解题即可.

【详解】

（1）因为，所以.

   所以

   又

   所以曲线在点处的切线方程为

   即.（5分）

（2）由题意得，，

   所以.

   由，解得，

   故当时，，在上单调递减；

   当时，，在上单调递增.

   所以.

   又，，

若函数恰有两个零点，

   则解得.

 所以实数的取值范围为.

【点睛】

本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.

21．已知函数.

（1）若函数在上为增函数，求的取值范围；

（2）若函数有两个不同的极值点，记作，，且，证明：（为自然对数）.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】分析：（1）由题意可知，函数的定义域为，，因为函数在为增函数，所以在上恒成立，等价于，

由此可求的取值范围；

（2）求出，因为有两极值点，所以，

设令，则，上式等价于要证，令，根据函数的单调性证出即可．

详解：

（1）由题意可知，函数的定义域为，

，

因为函数在为增函数，所以在上恒成立，

等价于在上恒成立，即，

因为，所以，

故的取值范围为.

（2）可知，

所以，

因为有两极值点，所以，

欲证，等价于要证：，即，

所以，因为，所以原式等价于要证明：，①

由，可得，则有，②

由①②原式等价于要证明：，即证，

令，则，上式等价于要证，

令，则

因为，所以，所以在上单调递增，

因此当时，，即.

所以原不等式成立，即.

点睛：本题考查了函数的单调性，考查导数的应用以及不等式的证明，属难题．

22．在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为 （为参数），直线与曲线分别交于两点．

（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

（2）若点的极坐标为，，求的值．

【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为即，直线的普通方程为；（2）.

【解析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线的普通方程，极坐标方程两边同乘以利用 即可得曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.

【详解】

（1）由，得，

所以曲线的直角坐标方程为，

即， 直线的普通方程为.

(2)将直线的参数方程代入并化简、整理，

得. 因为直线与曲线交于，两点．

所以，解得.

由根与系数的关系，得，.

因为点的直角坐标为，在直线上.所以，

解得，此时满足.且，故.．

【点睛】

参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若函数的定义域为，求实数的取值范围.

【答案】(1) (2)

【解析】（1）分别在、和三种情况下去掉绝对值符号，解不等式求得结果；

（2）将问题转化为最小值大于；利用绝对值三角不等式可求得，根据求得结果.

【详解】

（1）由得：

当时，，解得：,

当时，，解得：,

当时，，解得：,解集为

综上所述，不等式的解集为

（2）令，要使函数的定义域为，只要的最小值大于即可，

又（当且仅当时取等号），

，解得：

实数的取值范围为

【点睛】

本题考查分类讨论求解绝对值不等式、绝对值三角不等式的应用；涉及到根据对数型复合函数的定义域求解参数范围的问题；关键是能够将问题转化为函数最值的求解，利用绝对值三角不等式求得最值.