2020届湖北省宜昌市第二中学高三上学期10月月考数学（文）试卷

2020届湖北省宜昌市第二中学高三上学期10月月考

数学（文）试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1. 设，则“”是“”的(    )

A.充分而不必要条件               B.必要而不充分条件  

 C.充要条件                       D.既不充分也不必要条件

2. 已知复数z满足，则z对应的点位于　　

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 已知，则　　

A.  B.  C.  D.

4. 如图所示，向量在一条直线上，且,

则　　
A.         B.
C.         D.

5. 已知函数，以下命题中假命题是　　

A. 函数的图象关于直线对称
B. 是函数的一个零点
C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位得到
D. 函数在上是增函数

6. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F作斜率为1的直线交抛物线C于P、Q两点，则的值为　　

A.  B.  C. 1 D. 2

7. 若实数满足,则函数的零点所在的区间是(   )

A.        B.      C.        D.

8. 已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（    ）

A．        B．           C．   D．

9. 设,若,则 (    )

A.  2               B.  4              C.  6             D.  8

10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且则的面积的最大值为　　

A.  B.  C.  D.

11. 已知函数 ,在区间上是增函数，则实数a的取值范围是    

A.  B.  C.  D.

12. 丹麦数学家约翰·延森(Jihan Jensen)对数学分析作出了卓越的贡献,特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为在上的导函数为,若在上恒成立,则称函数在上为“凸函数”.已知在上为“凸函数”则实数t的取值范围是(   )

A.      B.      C.      D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝________.

14. 设函数 若为奇函数，则曲线在点

处的切线方程为__________.

15. 直线与圆相交于A，B两点，若，则________．

16. 已知函数h(x)＝xln x与函数g(x)＝kx－1的图象在区间上有两个不同的交点，则实数k的取值范围是__________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17.（本小题10分）已知函数．

(1)求的最小正周期；

(2)若在区间上的最大值为，求的最小值．

18.（本小题12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

19.（本小题12分）已知的内角A，B，C的对边a，b，c分别满足，

，又点D满足．
求a及角A的大小；
求的值．

20.（本小题12分）设函数，

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）求所有实数，使对恒成立．

21. 已知椭圆C: 的长轴长是短轴长的2倍,A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，且的面积为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，直线MB与轴交于点C，直线AM与轴交于点D，求证：四边形ABCD的面积为定值.

22.（本小题12分）已知函数，，为自然对数的底数.

（1）当时，判断零点个数并求出零点；

（2）若函数存在两个不同的极值点，，求实数的取值范围.

高三数学（文）试题答案

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1. 设，则“”是“”的(    )

A.充分而不必要条件  B.必要而不充分条件   C.充要条件   D.既不充分也不必要条件

【答案】B

2.已知复数z满足，则z对应的点位于　　

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

3.已知，则　　

A.  B.  C.  D.

【答案】B

，可得，
．故选：B．
4. 如图所示，向量在一条直线上，且,

则　　
A.  B.
C.  D.

【解析】解：由得．
，，故选：D．
5. 已知函数，以下命题中假命题是　　

A. 函数的图象关于直线对称
B. 是函数的一个零点
C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位得到
D. 函数在上是增函数

【解析】解：对于A，当时，函数为最大值，
的图象关于直线对称，A正确；
对于B，当时，函数，
是函数的一个零点，B正确；
对于C，函数，
其图象可由的图象向左平移个单位得到，C错误；
对于D，时，，
函数在上是增函数，D正确．故选：C．
6.已知抛物线C：的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C与P、Q两点，则的值为　　

A.  B.  C. 1 D. 2

【解析】解：抛物线C：的焦点为，过点F作斜率为1的直线l：，
可得，消去y可得：，可得，，
，，，
则．故选：C．
7. 若实数满足,则函数的零点所在的区间是(   )

A.       B.       C.       D.

【答案】解析：因为,所以,所以是增函数.又,,,，所以零点所在的区间为,故选B.

8. 已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（    ）

A．        B．           C．   D．

【答案】A

9. 设,若,则

A.  2        B.  4         C.  6         D.  8

【答案】C

10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且则的面积的最大值为　　

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】解：根据正弦定理可得，，，
，，
，，
，，可得：，
当且仅当时，等号成立，
，解得，,故选：C．
11.已知函数 ,在区间上是增函数，则实数a的取值范围是  

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解答】解： 因为在单调递增，

所以若单调递增，所以，解得．故选D．

12. 丹麦数学家约翰·延森(Jihan Jensen)对数学分析作出了卓越的贡献,特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为在上的导函数为,若在上恒成立,则称函数在上为“凸函数”.已知在上为“凸函数”则实数t的取值范围是(   )

A.  B.  C.  D.

解析：由函数,可得.因为在上为“凸函数”,所以在上恒成立,即在上恒成立.令,因为在上单调递增,所以.所以,即实数t的取值范围是,故选C.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝________.

【答案】λ＝.

14. 设函数 若为奇函数，则曲线在点 处的切线方程为__________.

【答案】．

15.直线与圆相交于A，B两点，若，则________．

【答案】

【解析】解 由题意．由得．

即．所以圆心到直线的距离为1，

因此，解得．故答案为．

16. 已知函数h(x)＝xln x与函数g(x)＝kx－1的图象在区间上有两个不同的交点，则实数k的取值范围是__________.

【答案】

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17.（本小题10分）已知函数．

(1)求的最小正周期；

(2)若在区间上的最大值为，求的最小值．

【解析】(1)

，所以的最小正周期为．

(2)由(1)知．因为，所以．

要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1．

所以，即．所以的最小值为．

18. （本小题12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

解　(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.

(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y＝＋10(x－6)2，

所以商场每日销售该商品所获得的利润为

f(x)＝(x－3)

＝2＋10(x－3)(x－6)2，3<x<6.

从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]

＝30(x－4)·(x－6)，

于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

由上表可得，x＝4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值，

所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.

故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.

19. （本小题12分）已知的内角A，B，C的对边a，b，c分别满足，

，又点D满足．
求a及角A的大小；
求的值．

【答案】解：由及正弦定理得
，即，
在中，，所以．又，所以．
在中，，由余弦定理得，
所以．
由，
得，所以．

20. （本小题12分）设函数，

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）求所有实数，使对恒成立．

【解析】（Ⅰ）因为

所以

由于，所以的增区间为，减区间为

（Ⅱ）【证明】：由题意得，

由（Ⅰ）知内单调递增，

要使恒成立，

只要，解得

21. 已知椭圆C: (a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍,A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，且△OAB的面积为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，直线MB与轴交于点C，直线AM与轴交于点D，求证：四边形ABCD的面积为定值.

22.（本小题12分）已知函数，，为自然对数的底数.

（1）当时，判断零点个数并求出零点；

（2）若函数存在两个不同的极值点，，求实数的取值范围.

【答案】（1）只有一个零点，零点为；（2）.

【解析】（1）由题知：，令，，

当，，所以在上单调递减，

因为，所以在上单调递增，在单调递减，

所以，故只有一个零点，零点为.

（2）由（1）知：不合题意，

当时，因为，；，；

又因为，所以；

又因为，因为函数，，，

所以，及，所以存在，满足，

所以，；，，，；

此时存在两个极值点，，符合题意.

当时，因为，；，；

所以；所以，在上单调递减，

所以无极值点，不合题意.综上可得：.