2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三下学期第一次调研考试数学（理）试题（解析版）

2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三下学期第一次调研考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A

【解析】由可确定集合中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.

【详解】

由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4种情况，所以选A项.

【点睛】

考查集合并集运算，属于简单题.

2．已知的共轭复数是，且（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（   ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】设，整理得到方程组，解方程组即可解决问题．

【详解】

设，

因为，所以，

所以，解得：，

所以复数在复平面内对应的点为，此点位于第四象限.

故选D

【点睛】

本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识，考查了方程思想，属于基础题．

3．设a，b，c为正数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不修要条件

【答案】B

【解析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】

解：，，为正数，

当，，时，满足，但不成立，即充分性不成立，

若，则，即，

即，即，成立，即必要性成立，

则“”是“”的必要不充分条件，

故选：．

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．

4．已知数列的前项和为，且，，则(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据已知条件判断出数列是等比数列，求得其通项公式，由此求得.

【详解】

由于，所以数列是等比数列，其首项为，第二项为，所以公比为.所以，所以.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题.

5．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】化简为，求出它的图象向左平移个单位长度后的图象的函数表达式，利用所得到的图象关于轴对称列方程即可求得，问题得解。

【详解】

函数可化为：，

将函数的图象向左平移个单位长度后，

得到函数的图象，又所得到的图象关于轴对称，

所以，解得：，即：，

又，所以.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了两角和的正弦公式及三角函数图象的平移、性质等知识，考查转化能力，属于中档题。

6．函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】用排除B，C；用排除；可得正确答案.

【详解】

解：当时，，，

所以，故可排除B，C；

当时，，故可排除D．

故选：A．

【点睛】

本题考查了函数图象，属基础题．

7．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（   ）

A．20 B．27 C．54 D．64

【答案】B

【解析】设大正方体的边长为，从而求得小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，利用概率模拟列方程即可求解。

【详解】

设大正方体的边长为，则小正方体的边长为，

设落在小正方形内的米粒数大约为，

则，解得：

故选：B

【点睛】

本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题。

8．若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为(    )

A．2 B． C． D．

【答案】C

【解析】利用圆心到渐近线的距离等于半径即可建立间的关系.

【详解】

由已知，双曲线的渐近线方程为，故圆心到渐近线的距离等于1，即，

所以，.

故选：C.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.

9．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（　　）

A．若,,则 B．若，,则

C．若,,则 D．若,,则

【答案】C

【解析】在A中，与相交或平行；在B中，或；在C中，由线面垂直的判定定理得；在D中，与平行或．

【详解】

设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则：

在A中，若，，则与相交或平行，故A错误；

在B中，若，，则或，故B错误；

在C中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确；

在D中，若，，则与平行或，故D错误．

故选C．

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．

10．已知定义在R上的偶函数满足，当时，，函数（），则函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为（    ）

A．2 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】由函数的性质可得：的图像关于直线对称且关于轴对称，函数（）的图像也关于对称，由函数图像的作法可知两个图像有四个交点，且两两关于直线对称，则与的图像所有交点的横坐标之和为4得解.

【详解】

由偶函数满足，

可得的图像关于直线对称且关于轴对称，

函数（）的图像也关于对称，

函数的图像与函数（）的图像的位置关系如图所示，

可知两个图像有四个交点，且两两关于直线对称，

则与的图像所有交点的横坐标之和为4.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了函数的性质，考查了数形结合的思想，掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题.

11．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且,则直线的斜率的最大值为(    )

A． B． C． D．1

【答案】C

【解析】试题分析：设，由题意，显然时不符合题意，故，则

，可得：

，当且仅当时取等号，故选C．

【考点】1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．

【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件，利用向量的运算可知，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．

12．已知函数且，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】构造函数，判断出的单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集.

【详解】

构造函数，由解得，所以的定义域为，且，所以为奇函数，而，所以在定义域上为增函数，且.由得，即，所以.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.

二、填空题

13．平面直角坐标系中,O为坐标原点,己知A(3,1),B(-1,3),若点C满足,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为   

【答案】

【解析】根据向量共线定理得A,B,C三点共线，再根据点斜式得结果

【详解】

因为,且α+β=1，所以A,B,C三点共线，

因此点C的轨迹为直线AB:

【点睛】

本题考查向量共线定理以及直线点斜式方程，考查基本分析求解能力，属中档题.

14．满足约束条件的目标函数的最小值是        .

【答案】-2

【解析】【详解】

可行域是如图的菱形ABCD，

代入计算，

知为最小.

15．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加淮南文明城市创建志愿服务活动，服务活动共有“走进社区”、“环境监测”、“爱心义演”、“交通宣传”等四个项目，每人限报其中一项，记事件为“4名同学所报项目各不相同”，事件为“只有甲同学一人报走进社区项目”，则的值为______.

【答案】

【解析】根据条件概率的求法，分别求得，再代入条件概率公式求解.

【详解】

根据题意得

所以

故答案为：

【点睛】

本题主要考查条件概率的求法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

16．四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为______

【答案】

【解析】由题意画出图形，补形为长方体，求其对角线长，可得四面体外接球的半径，则表面积可求．

【详解】

解：如图，在四面体中，底面，，，

可得，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，，

则长方体的对角线长为，则三棱锥的外接球的半径为1．

其表面积为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查多面体外接球表面积的求法，补形是关键，属于中档题．

三、解答题

17．在平面四边形中，已知，.

（1）若，求的面积；

（2）若求的长.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）在三角形中，利用余弦定理列方程，解方程求得的长，进而由三角形的面积公式求得三角形的面积.

（2）利用诱导公式求得，进而求得，利用两角差的正弦公式，求得，在三角形中利用正弦定理求得，在三角形中利用余弦定理求得的长.

【详解】

（1）在中，

，

解得，

.

（2）

在中，，

.

.

【点睛】

本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.

18．如图,三棱柱中,底面是等边三角形,侧面是矩形,是的中点,是棱上的点,且.

（1）证明：平面；

（2）若,求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）连结BM，推导出BC⊥BB1，AA1⊥BC，从而AA1⊥MC，进而AA1⊥平面BCM，AA1⊥MB，推导出四边形AMNP是平行四边形，从而MN∥AP，由此能证明MN∥平面ABC．

（2）推导出△ABA1是等腰直角三角形，设AB，则AA1＝2a，BM＝AM＝a，推导出MC⊥BM，MC⊥AA1，BM⊥AA1，以M为坐标原点，MA1，MB，MC为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣CM﹣N的余弦值．

【详解】

（1）如图1，在三棱柱中，连结，因为是矩形，

所以，因为，所以，

又因为，，所以平面，

所以，又因为，所以是中点，

取中点，连结，，因为是的中点，则且，

所以且，所以四边形是平行四边形，所以，

又因为平面，平面，所以平面.

（图1）                                  （图2）

（2）因为，所以是等腰直角三角形，设，

则，.在中，，所以.

在中，，所以，

由（1）知，则，，如图2，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，.

所以，则，，

设平面的法向量为，

则即

取得.故平面的一个法向量为，

因为平面的一个法向量为，

则.

因为二面角为钝角，

所以二面角的余弦值为.

【点睛】

本题考查线面平行的证明，考查了利用空间向量法求解二面角的方法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

19．某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记分，“不合格”记分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示：

（Ⅰ）若测试的同学中，分数段内女生的人数分别为，完成列联表，并判断：是否有以上的把握认为性别与安全意识有关？

（Ⅱ）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取人进行座谈，现再从这人中任选人，记所选人的量化总分为，求的分布列及数学期望；

（Ⅲ）某评估机构以指标（，其中表示的方差）来评估该校安全教育活动的成效，若，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在（Ⅱ）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？

附表及公式：，其中.

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）不需要调整安全教育方案.

【解析】（I）根据题目所给数据填写好列联表，计算出的值，由此判断出在犯错误概率不超过的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关.（II）利用超几何分布的计算公式，计算出的分布列并求得数学期望.（III）由（II）中数据，计算出，进而求得的值，从而得出该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.

【详解】

解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，得分在的频率为，故抽取的学生答卷总数为，.

性别与合格情况的列联表为：

即在犯错误概率不超过的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关.

（Ⅱ）“不合格”和“合格”的人数比例为，因此抽取的人中“不合格”有人，“合格”有人，所以可能的取值为,

.

的分布列为：

所以. 

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：    .

故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.

【点睛】

本小题主要考查列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列、数学期望和方差的计算，所以中档题.

20．已知椭圆的左、右焦点分别为直线垂直于轴，垂足为，与抛物线交于不同的两点，且过的直线与椭圆交于两点，设且 .

（1）求点的坐标；

（2）求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设出的坐标，代入，结合在抛物线上，求得两点的横坐标，进而求得点的坐标.

（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，结合，求得的表达式，结合二次函数的性质求得的取值范围.

【详解】

（1）可知，

设

则，

又，

所以

解得

所以.

（2）据题意，直线的斜率必不为

所以设将直线方程代入椭圆的方程中，

整理得，

设

则①

②

因为

所以且

将①式平方除以②式得

所以

又解得

又，

所以

令，

则

所以

【点睛】

本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查向量模的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.

21．某公司欲投资一新型产品的批量生产，预计该产品的每日生产总成本价格)(单位:万元)是每日产量(单位:吨)的函数:.

（1）求当日产量为吨时的边际成本(即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数)；

（2）记每日生产平均成本求证：；

（3）若财团每日注入资金可按数列(单位:亿元)递减，连续注入天，求证:这天的总投入资金大于亿元.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】（1）求得函数的导函数，由此求得求当日产量为吨时的边际成本.

（2）将所要证明不等式转化为证明，构造函数，利用导数证得，由此证得不等式成立.

（3）利用（2）的结论，判断出，由此结合对数运算，证得.

【详解】

（1）因为

所以

当时，

（2）要证，

只需证，即证，

设

则

所以在上单调递减，

所以

所以，即；

（3）因为

又由（2）知，当时，

所以

所以

所以

【点睛】

本小题主要考查导数的计算，考查利用导数证明不等式，考查放缩法证明数列不等式，属于难题.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为.

（1）求的直角坐标方程和的直角坐标；

（2）设与交于，两点，线段的中点为，求.

【答案】（1），（2）

【解析】（1）利用互化公式把曲线C化成直角坐标方程，把点P的极坐标化成直角坐标；

（2）把直线l的参数方程的标准形式代入曲线C的直角坐标方程，根据韦达定理以及参数t的几何意义可得．

【详解】

（1）由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ＝2，将ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入上式并整理得曲线C的直角坐标方程为y2＝1，

设点P的直角坐标为（x，y），因为P的极坐标为（，），

所以x＝ρcosθcos1，y＝ρsinθsin1，

所以点P的直角坐标为（1，1）．

（2）将代入y2＝1，并整理得41t2+110t+25＝0，

因为△＝1102﹣4×41×25＝8000＞0，故可设方程的两根为t1，t2，

则t1，t2为A，B对应的参数，且t1+t2，

依题意，点M对应的参数为，

所以|PM|＝||．

【点睛】

本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．

23．已知函数的最大值为，其中.

（1）求实数的值；

（2）若求证:.

【答案】（1）1；（2）证明见解析.

【解析】（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此求得的最大值，进而求得的值.

（2）利用（1）的结论，将转化为，求得的取值范围，利用换元法，结合函数的单调性，证得，由此证得不等式成立.

【详解】

（1）

当时，取得最大值.

（2）证明:由（1）得，，

，当且仅当时等号成立，

令，

则在上单调递减

当时，

.

【点睛】

本小题主要考查含有绝对值的函数的最值的求法，考查利用基本不等式进行证明，属于中档题.