数学必修42.1 平面向量的实际背景及基本概念综合训练题

能 力 提 升

一、选择题

1．下列命题中正确的是(　　)

A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合

B．模相等的两个平行向量是相等向量

C．若a和b都是单位向量，则a＝b

D．两个相等向量的模相等

[答案]　D

2．下列说法中，不正确的是(　　)

A．向量的长度与向量的长度相等

B．任何一个非零向量都可以平行移动

C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量

D．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同

[答案]　D

[解析]　很明显选项A，B，C正确，共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D不正确．

3．已知非零向量a、b满足a∥b，则下列说法错误的是(　　)

A．a＝b   B．它们方向相同或相反

C．所在直线平行或重合   D．都与零向量共线

[答案]　A

4．数轴上点A、B分别对应－1、2，则向量的长度是(　　)

A．－1   B．2 

C．1   D．3

[答案]　D

5．(2011～2012·临沂高一检测)以下说法错误的是(　　)

A．零向量与任一非零向量平行

B．零向量与单位向量的模不相等

C．平行向量方向相同

D．平行向量一定是共线向量

[答案]　C

6．下列说法正确的是(　　)

A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相等且方向相同或相反

B．若向量、满足||>||，且与同向，则>

C．若a≠b，则a与b可能是共线向量

D．若非零向量与平行，则A、B、C、D四点共线

[答案]　C

二、填空题

7．如图ABCD是菱形，则在向量、、、、和中，相等的有________对．

[答案]　2

[解析]　＝，＝.其余不等．

8．(海南三亚调研)把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于____________．

[答案]　3π

[解析]　这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.

9．(江苏泰州高一期末)设O是正方形ABCD的中心，则①＝；②∥；③与共线；④＝.其中，所有正确表示的序号为____________．

[答案]　①②③

[解析]　根据正方形的特征，结合相等向量，平行向量作出判断，只有④是错误的，与只是模相等，由于方向不相同，所以不是相等向量．

三、解答题

10．在如图所示的方格纸上(每个小方格边长均为1)，已知向量a.

(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；

(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．

[分析]　用有向线段表示向量，注意起点、方向、长度．

[解析]　(1)根据相等向量的定义，所作向量应与a平行，且长度相等，如图所示．

(2)满足条件的向量c可以是图中的.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，如图．

11．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行1000km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？

[解析]　如图所示，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC为正三角形，∴AC＝2000km.

又∵∠ACD＝45°，CD＝1000，∴△ACD为直角三角形，即AD＝1000km，∠CAD＝45°.

答：丁地在甲地的东南方向，距甲地1000km.

12．如图所示，四边形ABCD中，＝，N、M是AD、BC上的点，且＝.

求证：＝.

[解析]　∵＝，∴||＝||且AB∥CD.

∴四边形ABCD是平行四边形．

∴||＝||，且DA∥CB.

又∵与的方向相同，∴＝.

同理可证：四边形CNAM是平行四边形，∴＝.

∵||＝||，||＝||，

∴||＝||，DN∥MB，即与的模相等且方向相同．∴＝.